考点03 二次根式-2022年中考数学高频考点专题突破 （全国通用）（解析版）

这是一份考点03 二次根式-2022年中考数学高频考点专题突破 （全国通用）（解析版），共26页。学案主要包含了解题技巧等内容，欢迎下载使用。


基础知识点：
知识点1-1二次根式及性质
1）二次根式的定义：一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式。
2）二次根式的基本性质：① (a≥0)； ② (a≥0)； ③ (a取全体实数)。
3）立方根的基本性质：①(a取全体实数)； ② (a取全体实数)。
知识点1-2二次根式的相关概念
1）最简二次根式：
最简二次根式满足的条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤： eq \\ac(○,1)如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。 eq \\ac(○,2)如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
2）同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
知识点1-3二次根式的运算
1）二次根式的加减：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
2）二次根式的乘法：①； ② (a≥0， b≥0)。
3）二次根式的除法：①； ② (a≥0， b＞0)。
4）分母有理化：
5）二次根式混合运算：二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。
题型1 二次根式有意义的条件
【解题技巧】（1）对于二次根式有意义的条件求取值范围类题型，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数以及分式分母不为零．（2）对于解决此类型的题目关键从被开方数中找出一对相反数，利用二次根式的被开方数是非负数进行求解即可.
1．（2020·广东中考真题）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次根式里面被开方数即可求解．
【解析】解：由题意知：被开方数，解得：，故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0．
2．（2020·四川绵阳·中考真题）若有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1B．a≤1C．a≥0D．a≤﹣1
【答案】A
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解析】解：若有意义，则，解得：．故选：．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
3．（2020·湖南中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】x＞3
【分析】本题考查二次根式是否有意义以及分式是否有意义，按照对应自变量要求求解即可．
【解析】因为二次根式有意义必须满足被开方数为非负数所以有．
又因为分式分母不为零所以．故综上：＞ 则：．故答案为：x＞3
【点睛】二次根式以及分式的结合属于常见组合，需要着重注意分母不为零的隐藏陷阱．
4．（内蒙古赤峰·中考真题）能使式子成立的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
根据题意得：，解得：1≤x≤2．故选C．
考点：函数自变量的取值范围.
5．（2020·四川成都市中考模拟）若，则的值为_________．
【答案】
【分析】利用二次根式和分式有意义的条件求出x的值，再代入原式求出y的值，最后算．
【解析】解：∵，
根据二次根式的性质，且，则，即，
根据分式分母不为零的性质，即，∴，
将代入原式得，∴．故答案是：．
【点睛】本题考查二次根式的性质和分式的性质，解题的关键是掌握这两个式子有意义的条件．
6．（山东济宁·中考真题）若在实数范围内有意义，则x满足的条件是
A． B．C．D．
【答案】C
【解析】要使有意义，则必满足2x-1≥0，且1-2x≥0，故，故选C.
考点：二次根式有意义的条件.
7．（2020·甘肃省庆阳市中考模拟）若都是实数，且，则_______．
【答案】2
【分析】根据二次根式有意义的条件可得关于x的不等式组，解不等式组可求得x的值，继而可求得y的值，将x、y的值代入所求式子进行计算即可．
【解析】因为，所以，解得：x=1，所以y=4，
所以，故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，算术平方根等，正确求出x、y的值是解题的关键．
题型2利用二次根式的性质化简
【解题技巧】在中，因为无论a为正还是负，一定是非负数，所以根据无法判断a的正负性。
又因为二次根式的结果必须为非负，所以
对于解决此类型的题目关键根据被开方数为非负数确定相关字母的符号，利用二次根式的性质即可化简。
1．（2019·四川内江·中考真题）若，则_____．
【答案】1002．
【分析】根据绝对值的性质和二次根式的性质，即可解答
【解析】∵，∴．
由，得，
∴，∴．∴．故答案是：1002．
【点睛】此题考查绝对值的非负性，二次根式的性质，解题关键在于掌握运算法则
2．（2020·四川攀枝花·中考真题）实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）．
A．B．0C．D．
【答案】A
【分析】根据实数a和b在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案．
【解析】由数轴可知-2＜a＜-1，1＜b＜2，∴a+1＜0，b-1＞0，a-b＜0，
∴===-2故选A.
【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断．
3．（2020·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】根据数轴上a点的位置，判断出（a−1）和（a−2）的符号，再根据非负数的性质进行化简．
【解析】解：由图知：1＜a＜2，∴a−1＞0，a−2＜0，
原式＝a−1-＝a−1＋（a−2）＝2a−3．故选D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a−1＞0，a−2＜0是解题关键．
4．（2020·甘肃金昌·中考真题）已知，当分别取1，2，3，……，2020时，所对应值的总和是__________．
【答案】
【分析】先化简二次根式求出y的表达式，再将x的取值依次代入，然后求和即可得．
【解析】
当时，
当时，
则所求的总和为
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键．
5．（2020·安徽初三其他）化简二次根式 的结果是（ ）
A．B．－C．D．－
【答案】B
【分析】首先根据二次根式有意义的条件求得a、b的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可
【解析】故选B
【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．
6．（2020·湖南益阳·中考真题）若计算的结果为正整数，则无理数的值可以是__________．（写出一个符合条件的即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据为12，即可得到一个无理数的值．
【解析】解：∵，∴时的结果为正整数，故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次根式，注意是解题的关键．
7．（2020·湖北武汉·中考真题）计算的结果是_______.
【答案】3
【分析】根据二次根式的性质进行求解即可.
【解析】==3，故答案为3.
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.
8．（2020·广东潮阳·初二期末）计算: =_________.
【答案】
【分析】先利用二次根式的性质，再判断的大小去绝对值即可.
【解析】因为，所以故答案为
【点睛】此题考查的是二次根式的性质和去绝对值.
题型3 复合二次根式化简
【解题技巧】将化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2=a且mn=，则a+2可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简．
注：主要思想是将根式下面的整体构造成完全平方的形式，再用二次根式的性质（）开方即可。
1．（2020·湖北丹江口·初二期末）先阅读下列的解答过程，然后作答：
形如的化简，只要我们找到两个数、使，，
这样，，于是.
例如：化简.
解：这里，，由于，，即，，
.
由上述例题的方法化简：（1）；（2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据材料里提供的方法化简即可得解；（2）根据材料里提供的方法化简即可得解.
【解析】（1）原式，（2）原式.
【点睛】本题考查了复合二次根式的化简，关键是确定两个数、，然后根据二次根式的性质化简.
2．（2020·重庆初三其他）数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y’)给出如下定义：若则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题：（1）点的“横负纵变点”为 ，点的“横负纵变点”为 ；
（2）化简：；
【答案】（1），；（2）；
【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义即可解决问题．（2）模仿例题解决问题即可．
【解析】解：（1）根据题目意思， ∵和，
点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为，
故答案为：，；
（2）∵∴；
【点睛】双重二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿解决问题，属于中考常考题型．
3．（2020·山东泗水·中考模拟）阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn=，则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简．
例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2
∴==+
请你仿照上例将下列各式化简：（1），（2）．
【答案】（1）1+；（2）.
【分析】参照范例中的方法进行解答即可.
【解析】解：（1）∵，∴；
（2）∵，∴.
4．（2020·安徽安庆·中考二模）阅读理解题，下面我们观察：
反之，
所以，所以
完成下列各题：（1）在实数范围内因式分解：；（2）化简：；（3）化简：．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可；
（2）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可；
（3）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可．
【解析】解：（1）
（2）
（3）．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确理解二次根式化简的意义是解题关键．
5．（2020·安徽无为·初三期末）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明利用完全平方公式进行了以下探索：
．请你仿照小明的方法解决下列问题：
（1），则____，____；（2）已知是的算术平方根，求的值；（3）当时，化简_______．
【答案】（1）2，1；（2）－2018；（3）2．
【分析】（1）根据题目所给方法对变形即可；（2）根据题意结合所给方法求出，然后对所求式子变形，整体代入计算即可；（3）根据题目所给方法，将写成的形式，然后根据二次根式的性质化简即可．
【解析】解：（1）∵，∴a＝2，b＝1；
（2）∵是的算术平方根，
∴，
∴；
（3）∵，∴，
，
．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是正确理解题中所给方法，将根号内的式子变形为完全平方式的形式．
6．（贵州黔西·中考真题）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中均为整数），则有．
∴．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
当均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示，得＝ ，＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数，填空： ＋ ＝( ＋ )2；
（3）若，且均为正整数，求的值．
【答案】（1），；（2）13,4，2，1（答案不唯一）；（3）＝7或＝13．
【解析】 (1)∵，∴，
∴a＝m2＋3n2，b＝2mn．故答案为m2＋3n2，2mn．
(2)设m＝1，n＝2，∴a＝m2＋3n2＝13，b＝2mn＝4．故答案为13，4，1，2(答案不唯一)．
(3)由题意，得a＝m2＋3n2，b＝2mn．∵4＝2mn，且m、n为正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，∴a＝22＋3×12＝7，或a＝12＋3×22＝13．
题型4最简二次根式的识别与运用
【解题技巧】最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不
含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
1．（2020·山东济宁·中考真题）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【解析】解：A、是最简二次根式，故选项正确；B、=，不是最简二次根式，故选项错误；
C、，不是最简二次根式，故选项错误；D、，不是最简二次根式，故选项错误；
故选A.
【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．
2．（2019·山西中考真题）下列二次根式是最简二次根式的是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的概念逐一进行判断即可.
【解析】A. ，故A选项不符合题意；B. ，故B选项不符合题意；
C. ，故C选项不符合题意；D. 是最简二次根式，符合题意，故选D.
【点睛】本题考查最简二次根式的识别，熟练掌握二次根式的化简以及最简二次根式的概念是解题的关键.
3．（甘肃兰州·中考真题）下列二次根式中，是最简二次根式的是
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
【解析】A、不是最简二次根式，错误；B、是最简二次根式，正确；
C、不是最简二次根式，错误；D、不是最简二次根式，错误，故选B．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
4．（上海中考真题）下列式子中，属于最简二次根式的是
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件 (1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.
【解析】∵，∴属于最简二次根式.故选B.
5．（山东烟台·中考真题）与最简二次根式5是同类二次根式，则a=_____．
【答案】2
分析：先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同可得出关于a的方程，解出即可．
【解析】∵与最简二次根式5是同类二次根式，且=2，
∴a+1=3，解得：a=2．故答案为2．
点睛：本题考查了同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
6．（2020·山东阳谷·中考模拟）已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方式相同，若a是正整数，则a的最小值为（ ）
A．23B．21C．15D．5
【答案】D
【分析】由，且与是同类二次根式知23﹣a＝2n2，分别取n＝1、2、3即可得答案．
【解析】解：∵，且与是同类二次根式，
∴23﹣a＝2时，a＝21；23﹣a＝8时，a＝15；23﹣a＝18时，a＝5；23﹣a＝32时，a＝﹣9（不符题意，舍）；
∴符合条件的正整数a的值为5、15、21．∴a的最小值为5．故选D．
【点睛】本题主要考查最简二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的概念．
7．（2020·江苏宝应·初三二模）最简根式与是同类二次根式，则a=____．
【答案】﹣1．
【分析】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解．
【解析】解：∵最简根式与是同类二次根式，∴a+6=a2﹣4a，解得：a=6或﹣1．
∵当a=6时，2，
∴此时与不是最简根式，∴a=6(不符题意，舍去)．
∵当a=﹣1时，，
∴此时与是最简根式，∴a=﹣1符合题意．故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
8．（2020·商丘综合实验中学初中部初二月考）下列根式中，不能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】能与合并的二次根式是的同类二次根式，把四个选项的二次根式化为最简二次根式，分别验证四个选项哪个不是的同类二次根式即可得到答案．
【解析】A．=，故可以与合并；B．=，故可以与合并；
C．，故可以与合并；D．=，故不可以与合并；
故选D．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的概念，要判断两个二次根式是否能和合并，需要先化简为最简二次根式，再看是否同类二次根式；掌握二次根式的化简是解题的关键．
题型5二次根式的估算
【解题技巧】通常利用平方法，结合“夹逼法”确定平方根的范围，即a<1．（2020·天津中考真题）估计的值在（ ）
A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间
【答案】B
【分析】因为，所以在4到5之间，由此可得出答案.
【解析】解：∵，∴．故选：B
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
2．（2020·山东临沂·中考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先估计的范围，再得出a的范围即可.
【解析】解：∵4＜7＜9，∴，∴，即，故选C.
【点睛】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握无理数的估算方法.
3．（2020·贵州黔南·中考真题）已知，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先估算出的范围，即可得出答案．
【解析】解：∵，∴，∴在3和4之间，即．故选：C．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小．能估算出的范围是解题的关键．
4．（2020·四川达州·中考真题）下列各数中，比3大比4小的无理数是（ ）
A．3.14B．C．D．
【答案】C
【分析】根据无理数的定义找出无理数，再估算无理数的范围即可求解．
【解析】解：∵四个选项中是无理数的只有和，而17＞42，32＜12＜42
∴＞4，3＜＜4∴选项中比3大比4小的无理数只有．故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义和估算，解题时注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
5．（2019·四川绵阳·中考真题）已知是整数，当取最小值时，的值是( )
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】根据绝对值的意义，找到与最接近的整数，可得结论．
【解析】解：∵，∴，且与最接近的整数是5，
∴当取最小值时，的值是5，故选：A．
【点睛】本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键．
6（2020·内蒙古赤峰·中考真题）估计的值应在 （ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
【答案】A
【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算，再估算无理数的大小.
【解析】==2+，
∵4<6<6.25， 2<<2.5， ∴4<2+<5，故选：A.
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的运算法则、会进行无理数的大小估算是解题的关键.
7．（2020·北京中考真题）写出一个比大且比小的整数______．
【答案】2（或3）
【分析】先分别求出与在哪两个相邻的整数之间，依此即可得到答案．
【解析】∵1＜＜2，3＜＜4，∴比大且比小的整数是2或3．故答案为：2（或3）
【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，也考查了无理数的估算的知识，分别求出与在哪两个相邻的整数之间是解答此题的关键．
8．（2020·江苏南通·）若m＜2＜m+1，且m为整数，则m＝_____．
【答案】5
【分析】利用二次根式的估值方法进行计算即可．
【解析】解：，∵，∴5＜＜6，
又∵m＜＜m+1，∴m＝5，故答案为：5．
【点睛】本题考查了二次根式的估值求参数值的问题，熟练掌握二次根式的估值计算是解题的关键．
9．（云南昆明·中考真题）黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算﹣1的值（ ）
A．在1.1和1.2之间 B．在1.2和1.3之间 C．在1.3和1.4之间 D．在1.4和1.5之间
【答案】B
【分析】根据4.84<5<5.29，可得答案．
【解析】∵4.84<5<5.29，∴2.2<<2.3，∴1.2<-1<1.3，故选B．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用≈2.236是解题关键．
题型6分母有理化与分子有理化
【解题技巧】二次分母有理化就是通过分子和分母同时乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的．
1．（2019·江苏常州·中考真题）下列各数中与的积是有理数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平方差公式可知与的积是有理数的为；
【解析】；故选：D．
【点睛】本题考查分母有理化；熟练掌握利用平方差公式求无理数的无理化因子是解题的关键．
2．（2019·湖北中考真题）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题中给的方法分别对和进行化简，然后再进行合并即可.
【解析】设，且，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴原式，故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键.
3．（贵州毕节·中考真题）观察下列运算过程：
……
请运用上面的运算方法计算：
=_____．
【答案】
【分析】先分母有理化，然后合并即可．
【解析】原式=（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣），=（﹣1+﹣+…+﹣）=．故答案为．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质.
4．（2020·湖南炎陵·初三其他）化简时，甲的解法是：==，乙的解法是： ==，以下判断正确的是（ ）
A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确
C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确
【答案】C
【解析】甲的做法是将分母有理化，去分母；
乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分去分母．均正确．故选C．
5．（2020·广东顺德·初三三模）“分母有理化”是根式运算的一种化简方法，如：；除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简，可以先设，再两边平方得，又因为，故x＞0，解得，，根据以上方法，化简的结果是（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】直接利用有理化因式以及二次根式的性质、完全平方公式分别化简得出答案．
【解析】解：原式＝+﹣
＝++﹣（﹣）＝3﹣2++﹣+＝3．故选：D．
【点睛】此题主要考查了分母有理数，正确化简二次根式是解题关键．
6．（2020·安徽天长·中考模拟）比较大小：___
【答案】＜
【分析】利用分子有理化即可比较大小．
【解析】解： ==
==
∵＞∴∴＜故答案为：＜．
【点睛】此题考查的是实数的比较大小，掌握利用分子有理化比较大小是解决此题的关键．
7．（2020·北京市第十三中学分校中考模拟）阅读下述材料：
我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”:
与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：
比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：

因为，所以
再例如：求的最大值．做法如下：
解：由可知，而
当时，分母有最小值2，所以的最大值是2．
解决问题：（1）比较和的大小；（2）求的最大值和最小值．
【答案】（1）；（2）的最大值为2，最小值为．
【分析】（1）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小；
（2）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最大值1，有最大值1得到所以的最大值；利用当时，有最小值，有最下值0得到的最小值．
【解析】解：（1），
，
而，，，；
（2）由，，得，，
∴当时，有最小值，则有最大值1，此时有最大值1，所以的最大值为2；
当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为．
【点睛】本题考查了非常重要的一种数学思想：类比思想．解决本题关键是要读懂例题，然后根据例题提供的知识点和方法解决问题．同时要注意所解决的问题在方法上类似，但在细节上有所区别．
题型7二次根式的混合运算
【解题技巧】二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答．
掌握二次根式的乘除法法则是解决此类题的关键，①两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变；②两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
二次根式的混合运算可以说是二次根式乘、除法、加、减法的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点：
①观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的；
②在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”；
1．（2020·山东聊城·中考真题）计算的结果正确的是（ ）．
A．1B．C．5D．9
【答案】A
【分析】利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果．
【解析】解：，故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2．（2020·江苏泰州·中考真题）下列等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的运算法则即可逐一判断．
【解析】解：A、3和不能合并，故A错误；B、，故B错误；
C、，故C错误；D、，正确；故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握基本的运算法则．
3．（辽宁大连·中考真题）计算：（ +2）2﹣+2﹣2
【答案】
【分析】按顺序分别利用完全平方公式展开，化简二次根式，利用负指数幂进行计算，然后再按运算顺序进行计算即可．
【解析】原式=3+4+4﹣4+=．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
4．（2020·湖南中考真题）计算：﹣＝_____．
【答案】3
【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．
【解析】解：原式＝﹣+2＝3．故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解答的关键.
5．（2020·湖南株洲·中考真题）计算的结果是________．
【答案】2
【分析】利用二次根式的乘除法则运算．
【解析】解：原式====2.故答案是：2.
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
6．（2020·山东青岛·中考真题）计算的结果是___．
【答案】4
【分析】根据二次根式的混合运算计算即可.
【解析】解：.故答案为4.
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键.
7．（2020·内蒙古中考真题）计算：______．
【答案】
【分析】先将乘方展开，然后用平方差公式计算即可．
【解析】解：==
=．故答案为．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及平方差公式的应用，掌握二次根式混合运算的运算法则和平方差公式是解答本题的关键．
8．（2020·山西中考真题）计算： ________．
【答案】5
【解析】原式=2+2+3−2=5.故答案为5.
题型8二次根式的运用
【解题技巧】该根题型没有固定模式，据题意灵活分析再结合二次根式解题即可。
1．（2019·湖北宜昌·中考真题）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为如图，在中，，，所对的边分别记为，，，若，，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用阅读材料，先计算出的值，然后根据海伦公式计算的面积；
【解析】，，．，
的面积；故选A．
【点睛】考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大．
2．（2018·山东枣庄·中考真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为______．
【答案】1
【分析】把题中的三角形三边长代入公式求解.
【解析】∵S=，∴△ABC的三边长分别为1，2，，
则△ABC的面积为：S==1，故答案为1．
【点睛】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．
3．（山东莱芜·中考真题）如图，正三角形和矩形具有一条公共边，矩形内有一个正方形，其四个顶点都在矩形的边上，正三角形和正方形的面积分别是2和2，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】2．
【分析】由正方形的面积公式和正三角形的面积公式求得图中大矩形的宽和长，然后求大矩形的面积，从而求得图中阴影部分的面积．
【解析】因为正三角形和正方形的面积分别是2和2，则正方形的边长为
设正三角形的边长为a，则a2×=2，解得a=2．则图中阴影部分的面积=2×-2=2．
故答案是：2．
【点睛】考查了二次根式的应用．解题的关键是根据图中正三角形和正方形的面积求得大矩形的长和宽．
4．（2020·河北中考真题）已知：，则_________．
【答案】6
【分析】根据二次根式的运算法则即可求解．
【解析】∵∴a=3,b=2∴6故答案为：6．
【点睛】此题主要考查二次根式的运用，解题的关键是熟知其运算法则．
5．（2020·湖南邵阳·中考真题）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为________．
【答案】
【分析】先将表格中最上一行的3个数相乘得到，然后中间一行的三个数相乘以及最后一行的三个数相等都是，即可求解．
【解析】解：由题意可知，第一行三个数的乘积为：，
设第二行中间数为x，则，解得，
设第三行第一个数为y，则，解得，
∴2个空格的实数之积为．故答案为：．
【点睛】本题考查二次根数的运用，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解决此类题的关键．
6．（四川眉山·中考真题）已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值是（ ）．
A．3B．5C．15D．25
【答案】C
【解析】解：，若是整数，则也是整数，
∴n的最小正整数值是15，故选C．
7．（2020·江苏宿迁·中考真题）在△ABC中，AB=1，BC=，下列选项中，可以作为AC长度的是（ ）
A．2B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根据三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，可以得到AC的长度可以取得的数值的取值范围，从而可以解答本题．
【解析】∵在△ABC中，AB=1，BC=，∴﹣1＜AC＜+1，
∵﹣1＜2＜+1，4＞+1，5＞+1，6＞+1，∴AC的长度可以是2，
故选项A正确，选项B、C、D不正确；故选：A．
【点睛】本题考查了三角形三边关系以及无理数的估算，解答本题的关键是明确题意，利用三角形三边关系解答．
2
1
6
3