2021-2022学年四川省凉山州西昌市高一（上）期末数学试卷（含答案解析）

这是一份2021-2022学年四川省凉山州西昌市高一（上）期末数学试卷（含答案解析），共15页。

A. (1,+∞)B. (−∞,2)C. (1,2)D. (1,2]
如果θ是第二象限角，那么θ2是( )
A. 第一或第四象限角B. 第一或第三象限角
C. 第二或第三象限角D. 第二或第四象限角
已知扇形圆心角为π3，面积为2π3cm2，则扇形半径为( )
A. 12cmB. 1cmC. 2cmD. 4cm
已知角θ的终边经过点P(−12,−32)，则角θ可以为( )
A. 7π6B. 2π3C. 4π3D. 5π3
下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )
A. y=exB. y=sinxC. y=lg3|x|D. y=x13
已知a=202212021，b=sin1，c=lg202212021，则a，b，c的大小关系为( )
A. b>a>cB. a>b>cC. c>a>bD. a>c>b
已知函数f(x)=2x,x≤1lg4x,x>1，则f(f(3))=( )
A. 3B. 3C. 23D. 34
设函数f(x)=cs(2x+π3)+1，则下列结论正确的是( )
A. f(x)的一个单调增区间是[−π6,π2]
B. 周期为π2
C. 将f(x)图象向右平移π6个单位，所得图象关于点(0,1)对称
D. x=π3是函数f(x)的一条对称轴
西昌市某公司为了提高销售部业务制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元；销售额x为64万元时，奖励4万元；该公司拟定销售额x与奖励金额y(万元)之间函数关系为y=alg4x+b(a,b∈R)，某业务员得到6万元奖励，则他的销售额应为( )(万元)
A. 128B. 256C. 512D. 1024
已知函数f(x)的图象图如所示，则f(x)的解析式可能为( )
A. f(x)=4x−csx
B. f(x)=x(4x+4−x)
C. f(x)=4x+4−x−2
D. f(x)=x2(csx−x2)
偶函数f(x)满足对任意x∈R都有f(x+3)=−f(x)成立，且当x∈[1,2)时，f(x)=2x，则f(2021)的值是( )
A. 2B. 1C. −1D. −2
已知函数f(x)=|2x−1|,x≤25−x,x>2，若方程[f(x)]2−(m+1)f(x)+m=0有五个不同的实数根，则实数m的取值范围为( )
A. 0B. (0,1)C. [0,1)D. (1,3)
已知非零实数x满足x+x−1=4，则x2+x−2=______.
已知函数f(x)=ax−1+2020(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标为______.
设函数f(x)=sinωx(ω>0)，若将函数f(x)图象向左平移π6个单位长度后所得图象关于y轴对称，则ω的最小值是______.
已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，对任意m，n∈[0,+∞)都有f(m)−f(n)m−n>0(m≠n)，且f(1)=1.若f(lg3a)+(lg13a)≥2，则实数a的取值范围是______.
计算下列各式的值：
(1)(3−π)2+1.5−2×(−338)23；
(2)3lg32+2lne+lg11000.
已知函数f(α)=2sin(π−α)+sin(π2−α)cs(2π−α)+cs(π2+α)(α∈(π2,π))，且f(α)=−1.求：
(1)tanα的值；
(2)sinαcsα的值．
已知集合A={x|2x>4}，集合B={x|lg2(x−1)≤2}，集合C={x|a≤x≤4a−3}.
(1)求A⋂B；
(2)若B⋂C=C，求实数a的取值范围．
已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，周期T=π，f(0)=3.
(1)求f(x)的解析式及f(x)≥1成立的x的取值范围；
(2)函数y=f(x)−k在[0,3π4]上有两个不同的零点x1，x2，求实数k的取值范围及x1+x2的值．
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)部分图象如下图所示．
(1)求函数f(x)的解析式，并写出f(x)单调递增区间；
(2)函数g(x)=4f(x)−a⋅2f(x)+3(a∈R)，若对任意x∈[π4,π2]，都有g(x)≥0恒成立，求实数a取值范围．
已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=2x.
(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；
(2)判断f(x)在R上的单调性，并用定义证明；
(3)函数h(x)=f(|x2+8x+11|)+f(−k|x+1|)在R上恰有两个零点，求实数k的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：要使原函数有意义，则x−1>02−x≥0，即1∴函数f(x)=lg(x−1)+2−x的定义域是(1,2].
故选：D.
由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．
本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵θ是第二象限角，
∴θ∈(2kπ+π2,2kπ+π)，k∈Z，
∴θ2∈(kπ+π4,kπ+π2)，k∈Z.
∴θ2是第一或三象限角．
故选：B.
由θ的范围判断θ的一半的范围，先写出角的范围，再除以2，求出角的一半的范围，看出角的范围．
本题考查了角的范围，考查象限角，解题的关键是写出象限角的范围，根据不等式的做法，写出要求的角的范围．
3.【答案】C
【解析】解：设扇形的圆心角大小为α(rad)，半径为r，扇形的面积为S，
可得S=12r2α.
则：r2=2Sα=2×2π3π3=4.解得r=2，
故选：C.
利用扇形的面积即可求出扇形的半径．
本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵角θ的终边经过点P(−12,−32)，则sinθ=−32，csθ=−12，
∴θ=2kπ+4π3，k∈Z，
故选：C.
由题意，利用任意角的三角函数的定义，求得θ的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：y=ex为非奇非偶函数，不符合题意；
y=sinx在定义域R上不单调，不符合题意；
y=lg3|x|为偶函数，不符合题意；
根据幂函数的性质可知y=x13为单调递增的奇函数，符合题意．
故选：D.
结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：∵202212021>20220=1,0∴a>b>c.
故选：B.
根据指数函数和对数函数的单调性即可得出a，b，c的大小关系．
本题考查了指数函数和对数函数的单调性，增函数的定义，正弦函数的图象，考查了计算能力，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：根据题意，函数f(x)=2x,x≤1lg4x,x>1，则f(3)=lg43，
则f(f(3))=2lg43=3，
故选：A.
根据题意，由函数的解析式计算可得答案．
本题考查函数值的计算，涉及分段函数的求值，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：A.当x∈[−π6,π2]时，2x∈[−π3,π]，2x+π3∈[0,4π3]，此时f(x)不是单调函数，故A错误，
B.函数的周期T=2π2=π，故B错误，
C.将f(x)图象向右平移π6个单位，得到y=cs[2(x−π6)+π3]+1=cs(2x)+1，关于x=0对称，则关于点(0,1)不对称，故C错误，
D.当x=π3时，2x+π3=2×π3+π3=π，此时函数f(x)取得最小值，即x=π3是函数f(x)的一条对称轴，故D正确，
故选：D.
根据三角函数的单调性，周期性以及对称性分别进行判断即可．
本题主要考查三角函数的图像和性质，利用三角函数的单调性，周期性和对称性进行判断是解决本题的关键，是中档题．
9.【答案】B
【解析】解：函数模型为y=alg4x+b(a,b∈R)，把点(8,1)，(64,4)代入，
1=alg48+b4=alg464+b，解得a=2，b=−2，
故y=2lg4x−2，令2lg4x−2=6，解得x=256，
故某业务员得到6万元奖励，则他的销售额应为256万元．
故选：B.
把点(8,1)，(64,4)代入函数模型为y=alg4x+b(a,b∈R)，求得函数解析式，令y=6，解得x，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于基础题．
10.【答案】C
【解析】解：由图知，f(x)为偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，
选项A，f(x)=4x−csx是非奇非偶函数，不符合题意；
选项B，f(x)=x(4x+4−x)是奇函数，不符合题意；
选项D，f(0)=0，f(π)=(π2)2[csπ2−(π2)2]=−(π2)4<0，不符合在(0,+∞)上单调递增，即D错误，
利用排除法，可知选项C正确．
故选：C.
根据函数的奇偶性可排除选项A和B，根据函数的单调性可排除选项D.
本题考查函数的图象与性质，熟练掌握函数的单调性和奇偶性是解题的关键，考查逻辑推理能力，属于基础题．
11.【答案】A
【解析】解：根据题意，函数f(x)满足对任意x∈R都有f(x+3)=−f(x)成立，则f(x+6)=−f(x+3)=f(x)，即f(x)是周期为6的周期函数，
f(2021)=f(−1+6×337)=f(−1)，
又由f(x)为偶函数且当x∈[1,2)时，f(x)=2x，则f(−1)=f(1)=2，
故选：A.
根据题意，先分析函数的周期，则有f(2021)=f(−1)，结合函数的奇偶性和解析式计算可得答案．
本题考查函数奇偶性和周期性的综合应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
12.【答案】B
【解析】解：当x≤0时，f(x)=|2x−1|=1−2x<1，
由[f(x)]2−(m+1)f(x)+m=0可得f(x)=1或f(x)=m，
由题意可知，关于x的方程f(x)=1、f(x)=m共有五个根，
作出函数f(x)的图象如下图所示：
由图可知，方程f(x)=1只有2个根，
故方程f(x)=m有3个根，
则0故选：B.
作出函数f(x)的图象，由图象可知，方程f(x)=1只有2个根，则方程f(x)=m有3个根，数形结合可得出实数m的取值范围．
本题考查了函数的零点及数形结合思想，难点在于作出f(x)的图象，属于中档题．
13.【答案】14
【解析】解：∵x+x−1=4，
∴x2+x−2=(x+x−1)2−2=16−2=14，
故答案为：14.
利用完全平方公式求解即可．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，以及完全平方公式的应用，属于基础题．
14.【答案】(1,2021)
【解析】解：函数f(x)=ax−1+2020(a>0,且a≠1)，
令x−1=0得x=1，此时y=a0+2020=1+2020=2021，
∴函数f(x)的图象恒过定点P(1,2021)，
故答案为：(1,2021).
令x−1=0，结合a0=1即可求出函数f(x)的图象过的定点坐标．
本题主要考查了指数型函数过定点问题，属于基础题．
15.【答案】3
【解析】解：函数f(x)=sinωx的图象向左平移π6个单位，得到g(x)=sin(ωx+ωπ6)的图象，
所得到的的函数的图象关于y轴对称，
故ωπ6=kπ+π2，
当k=0时，ω的最小值为3；
故答案为：3.
直接利用函数的图象的平移变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
16.【答案】(0,13]⋃[3,+∞)
【解析】解：对任意m，n∈[0,+∞)都有f(m)−f(n)m−n>0(m≠n)，
可得f(x)在[0,+∞)上递增，
若f(lg3a)+(lg13a)≥2，即为f(lg3a)+f(−lg3a)=2f(lg3a)≥2，
即有f(lg3a)≥1=f(1)，
可得|lg3a|≥1，即lg3a≥1或lg3a≤−1，
解得0故答案为：(0,13]⋃[3,+∞).
由单调性的定义可得f(x)在[0,+∞)上递增，由偶函数的定义可得f(lg3a)≥1=f(1)，再由偶函数的性质和对数函数的单调性，解不等式可得所求取值范围．
本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用，以及对数不等式的解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)原式=π−3+(23)2×(−32)3×23=π−3+1=π−2.
(2)原式=2+1+lg10−3=2+1−3=0.
【解析】(1)利用有理数指数幂的运算性质求解．
(2)利用对数的运算性质求解．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由f(α)=2sin(π−α)+sin(π2−α)cs(2π−α)+cs(π2+α)(α∈(π2,π))，且f(α)=−1，
得2sinα+csαcsα−sinα=2tanα+11−tanα=−1，∴tanα=−2.
(2)sinαcsα=sinαcsαsin2α+cs2α=tanαtan2α+1=−25.
【解析】(1)由已知利用同角三角函数基本关系式及诱导公式求解；
(2)利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．
19.【答案】解：(1)∵集合A={x|2x>4}，集合B={x|lg2(x−1)≤2}，
∴A={x|x>2}，B={x|1∴A⋂B={x|2(2)∵B={x|1∴C⊆B，
当C=⌀时，4a−3当C≠⌀时，4a−3≥aa>14a−3≤5，解得1综上实数a的取值范围是(−∞,1)⋃(1,2]
【解析】(1)求出集合A，B，利用交集定义能求出A⋂B；
(2)由C⋂B=C，得C⊆B，当C=⌀时，4a−314a−3≤5，由此能求出实数a的取值范围．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
20.【答案】解：(1)ω=2πT=2，f(0)=2sinφ=3，
∴sinφ=32，|φ|<π2，
∴φ=π3，f(x)=2sin(2x+π3)，
f(x)≥1⇒sin(2x+π3)≥12⇒2kπ+π6≤2x+π3≤2kπ+5π6(k∈Z)⇒kπ−π12≤x≤kπ+π4(k∈Z)；
(2)列表得：
作出f(x)在[0,3π4]上图像，如图示：
函数y=f(x)−k零点即函数y=f(x)与y=k图象交点横坐标，
如上图可得k∈(−2,−1]⋃[3,2)，
当k∈[3,2)时，x1+x2=2×π12=π6，
当k∈(−2,−1]时，x1+x2=2×7π12=7π6.
【解析】(1)根据周期求出ω的值，结合f(0)=3，求出φ，从而求出f(x)的解析式，解不等式，求出不等式的解集即可；
(2)画出函数f(x)在[0,3π4]上的图象，结合函数零点的个数求出k的范围以及x1+x2的值．
本题考查了三角函数的图象和性质，考查函数的单调性，零点问题，考查不等式问题以及数形结合思想，转化思想，是中档题．
21.【答案】解：(1)由图可知T=4(5π12−π6)=π，
∴2πω=π⇒ω=2，
∵f(5π12)=1，∴2×5π12+φ=2nπ+π2，n∈Z，
φ=2nπ−π3(n∈Z)，又|φ|<π2，∴φ=−π3，
∴f(x)=sin(2x−π3)，
由2kπ−π2≤2x−π3≤2kπ+π2(k∈Z)⇒kπ−π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z，
∴f(x)单调递增区间为：[kπ−π12,kπ+5π12]，k∈Z；
(2)π4≤x≤π2⇒π6≤2x−π3≤2π3⇒f(x)∈[12,1]，
令t=2f(x)，则t∈[2,2]，g(t)=t2−at+3，t∈[2,2]，
法一：只需g(t)min≥0即可，g(t)对称轴为t=a2，开口向上，
故a2≤2g(2)≥0或22g(2)≥0，解得：a≤22a≤2.52或a>22a≤23⇒a≤23，
法二：g(t)=t2−at+3≥0，t∈[2,2]恒成立
⇔a≤t+3t，t∈[2,2]恒成立，
由双勾函数得h(t)=t+3t在[2,3]单减，在[3,2]单增，
∴h(t)min=23，
∴a≤23，即a的取值范围是(−∞,23].
【解析】(1)结合图象求出T，从而求出ω的值，代入点的坐标以及φ的范围，求出φ的值，从而求出函数的解析式，求出函数的递增区间即可；
(2)求出f(x)的取值范围，结合二次函数的性质求出a的取值范围即可．
本题考查了三角函数的性质，考查函数的单调性，最值问题，考查二次函数的性质，是中档题．
22.【答案】解：(1)f(−x)+g(−x)=2−x⇒−f(x)+g(x)=2−x，①
f(x)+g(x)=2x，②
联立①②解得：g(x)=12(2x+2−x)，f(x)=12(2x−2−x)
(2)f(x)在R单调递增，
证明：∀x1，x2∈R，且x1f(x1)−f(x2)=12(2x1−2x2+12x2−12x1)=12(2x1−2x2+2x1−2x22x1x2)=12(2x1−2x2)2x1+x2+12x1+x2，
∵x1∴2x1<2x2，2x1+x2+1>0，2x1+x2>0，
∴f(x1)−f(x2)<0∴f(x)在R单调递增；
(3)h(x)=f(|x2+8x+11|)+f(−k|x+1|)有两个不同零点等价于方程f(|x2+8x+11|)+f(−k|x+1|)=0在R上有两个不同的根，
∵f(x)为奇函数，
∴等价于f(|x2+8x+11|)=f(k|x+1|)在R上有两个不同的根，
由(2)知f(x)在R单调递增，
∴|x2+8x+11|=k|x+1|在R上有两个不同的根，
显然x=−1不满足条件，
∴k=|x2+8x+11x+1|=|x+1+4x+1+6|，
结合双沟函数图像及函数图像变换得k∈(2,10)⋃{0}.
【解析】(1)利用奇偶性得到关系式，结合题干中的条件，解出函数f(x)和g(x)的解析式；
(2)利用定义证明函数单调性步骤：取值，作差，判号，下结论；
(3)结合第一问和第二问求解的单调性和奇偶性，得到等量关系，参变分离后结合函数图象及对勾函数进行求解．
本题考查了函数的奇偶性、单调性及数形结合思想、转化思想，属于中档题．
x
0
π12
π3
7π12
3π4
f(x)
3
2
0
−2
−1