2021-2022学年四川省乐山市高一(下)期末数学试卷(Word解析版)
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题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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一、单选题(本大题共12小题,共60分)
- 过点、的直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
- 过点且与直线垂直的直线方程为( )
A. B. C. D.
- 已知、、、,下列命题正确的是( )
A. 若,则 B. 若,,则
C. 若,则 D. 若,则
- 的内角,,的对边分别为,,已知,则( )
A. B. C. D.
- 在正项等比数列中,,则( )
A. B. C. D.
- 已知向量,则( )
A. B. C. D.
- 直线与圆相切,则( )
A. B. C. 或 D. 或
- 小王用篱笆围成一个一边靠墙且面积为的矩形菜园,墙长为,小王需要合理安排矩形的长宽才能使所用篱笆最短,则最短的篱笆长度为参考数据:( )
A. B. C. D.
- 圆关于直线对称的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
- 锐角的内角,,所对的边分别为,,,已知,,,则( )
A. B. C. D.
- 已知数列为等差数列,公差为,为其前项和,若满足,,给出下列说法:;;;当且仅当时,取得最大值.其中正确说法的个数为( )
A. B. C. D.
- 向量,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共4小题,共20分)
- 不等式的解集为______ .
- 点与圆的位置关系是______填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”
- 如图所示,点为上靠近的四等分点,若,则______.
- 数列满足,,若,数列的前项和为,则使不等式成立的的最小值为______.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
- 已知为坐标原点,.
若,求的值;
若、、三点共线,求的值. - 在等差数列中,,,为的前项和.
求的通项公式;
求. - 如图,为测量山高,选择和另一座山的山顶为测量观测点,从点测得点的仰角,点的仰角以及;从点测得已知山高,求山高.
- 已知直线过点交圆:于、两点.
当直线的倾斜角为时,求的长;
当最小时,求直线的方程. - 某水库堤坝因年久失修,发生了渗水现象,当发现时已有的坝面渗水,经测算知渗水现象正在以每天的速度扩散,当地政府积极组织工人进行抢修,已知每个工人平均每天可抢修渗水面积,每人每天所消耗的维修材料费元,劳务费元,另外给每人发放元的服装补贴,每渗水的损失为元.现在共派去名工人,抢修完成共用天.
写出关于的函数关系式;
要使总损失最小,应派多少名工人去抢修总损失渗水损失政府支出. - 已知数列的前项和为,,且.
求数列的通项公式;
设数列满足,记数列的前项和为,若,对任意恒成立,求实数的取值范围.
答案和解析
1.【答案】
【解析】解:、,
过、的斜率为,即该直线的倾斜角为.
故选:.
先求出直线的斜率,再结合斜率与倾斜角的关系,即可求解.
本题主要考查斜率与倾斜角的关系,属于基础题.
2.【答案】
【解析】解:直线的斜率,因为,故的斜率,
故直线的方程为,即.
故选:.
直接利用垂直关系的应用求出直线的方程.
本题考查的知识要点:直线的方程,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题.
3.【答案】
【解析】解:、、、,
对于,若,则当时不成立,故A错误;
对于,若,,则当,,,时,不成立,故B错误;
对于,若,则当,时不成立,故C错误;
对于,因为,所以有,即成立.
故选:.
举反例否定选项A,,;利用不等式的性质证明选项D正确.
本题考查命题真假的判断,考查不等式的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
4.【答案】
【解析】解:,
由余弦定理得,
即,解得,或舍去.
故选:.
根据已知条件,直接运用余弦定理,即可求解.
本题主要考查余弦定理,属于基础题.
5.【答案】
【解析】解:数列为等比数列,
,
又,则,
,
故选:.
利用等比数列的性质求解.
本题考查等比数列的性质,属于基础题.
6.【答案】
【解析】解:,
,又,,
故选:.
根据向量夹角的计算公式直接求解.
本题考查了运用坐标运算求向量的夹角,是基础题.
7.【答案】
【解析】解:圆的圆心坐标为,半径为
又直线与圆相切,
则,解之得或,
故选:.
利用题给条件列出关于的方程,解之即可求得的值.
本题考查圆的性质、直线与圆的位置关系、圆心坐标、半径等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
8.【答案】
【解析】解:设矩形的长、宽分别为 ,,篱笆的长为,
则,且,
则,当且仅当,符合题意,
即长、宽分别略为、时,篱笆的最短长度为.
故选:.
设矩形的长、宽分别为,,篱笆的长为,则,且,再结合基本不等式的公式,即可求解.
本题主要考查不等式的实际应用,考查转化能力,属于基础题.
9.【答案】
【解析】解:圆的圆心坐标为,半径为,
设点关于直线的对称点为,
则,解之得,
则圆关于直线对称的圆的圆心坐标为,
则该圆的方程为,
故选:.
先求得圆关于直线对称的圆的圆心坐标,进而即可得到该圆的方程.
本题考查圆关于直线对称的圆的性质、圆的圆心坐标、圆半径等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
10.【答案】
【解析】解:,
则,即,
因为,所以,解得:,
由正弦定理得,所以,
又为锐角,所以,
故选:.
根据进行化简得到,求出,利用正弦定理得到,从而求出.
本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦定理的应用,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题.
11.【答案】
【解析】解:由,可得,故正确;
又,所以,从而,即,所以,故正确;
因为,,所以,故错误;
因为,所以,故错误,
故选:.
利用等差数列的前项和公式逐个判断各个选项即可.
本题主要考查了等差数列的前项和公式,考查了等差数列的性质,属于基础题.
12.【答案】
【解析】解:,设,
,
,,,,
,
又,在上单调递减,所以,,
,,
,
故选:.
依题意设,根据数量积的坐标表示及三角函数的性质求出,再将变形为,根据对勾函数及二次函数的性质计算可得.
本题考查了数量积的坐标表示以及二次函数相关知识,属于中档题.
13.【答案】
【解析】解:且,
解得,
即不等式的解集为,
故答案为:.
根据题意,原不等式等价于且,再得到不等式的解集.
本题考查分式不等式的解法,注意将分式不等式变形为整式不等式,属于基础题.
14.【答案】在圆内
【解析】解:圆的圆心坐标为,半径为,
点到圆心的距离,
因为,
所以点在圆内.
故答案为:在圆内.
利用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系去判断点与圆的位置关系,即可求解.
本题主要考查点与圆的位置关系,考查两点之间的距离公式,属于基础题.
15.【答案】
【解析】解:点为上靠近的四等分点,,
,
,
则,
.
故答案为:.
利用平面向量的线性运算,平面向量基本定理得到,再与已知对比,求出、的值即可.
本题考查平面向量的线性运算,平面向量基本定理,属于基础题.
16.【答案】
【解析】解:依题意,,由得,即数列为等差数列,
设公差为,有,解得,
从而,即,
所以,
此时,
解得,,
所以的最小值为.
故答案为:.
根据数列的递推关系,探求数列的性质并求出通项,再利用裂项相消法求解作答.
本题考查数列求和,属于中档题,裂项法求和是解题关键.
17.【答案】解:,
,
,即.
由可知,
、、三点共线,
与共线,即,解得.
【解析】根据已知条件,结合向量垂直的性质,即可求解.
根据已知条件,结合向量共线的性质,即可求解.
本题主要考查向量垂直、共线的性质,属于基础题.
18.【答案】解:设等差数列的公差为,
,,,
由,得,,
所以.
.
【解析】求出等差数列的公差及首项,即可求解.
利用等差数列前项和公式计算作答.
本题考查了等差数列的通项公式,等差数列的前项和公式,是基础题.
19.【答案】解:在中,因,,,则,
在,,,则,
由正弦定理可得,即,解得,
在中,,,
则.
所以山高为.
【解析】在中求出,在中运用正弦定理求出,再在中求解作答.
本题考查正弦定理在实际生活中的应用,属中档题.
20.【答案】解:圆:的圆心,半径,
因为直线的斜率为,
则过点的直线的方程为,即,
则圆心到直线的距离,
所以.
由题知,当直线时,最小,此时,
故直线的方程为,即.
【解析】利用垂径定理去求的长;
利用过圆内一点的最短弦长求法去求直线的方程.
本题考查垂径定理、直线的斜率、圆的性质、直线与圆的位置关系、圆心到直线的距离、直线与直线垂直的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
21.【答案】解:由题意知:抢修天时,维修工人抢修的面积之和为,而渗水的面积为,
所以有,可得且
设总损失为,
则,
当且仅当时,即时,等号成立,
所以应派名工人去抢修,总损失最小.
【解析】根据抢修的面积等于渗水的面积列出方程,求出且;
求出总损失关于的关系式,再利用基本不等式求出最小值,得到答案.
本题主要考查函数的实际应用,掌握基本不等式是解本题的关键,属于中档题.
22.【答案】解:当时,,解得,
当时,由有,两式相减可得,
即是以为首项,以为公比的等比数列,
所以;
由得,
所以,
,
两式相减得,
所以,
由,得,
即恒成立,
当时,,即,
当时,不等式恒成立,
当时,,即,
综上,.
【解析】利用与的关系,分,讨论,得到数列为等比数列,即得;
利用错位相减法求出,然后分类讨论分离参数,转化为与关于的函数的范围关系,即可求解.
本题考查了数列的递推式和错位相减求和,属于中档题.
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