2021-2022学年四川省凉山州高二（下）期末数学试卷（理科）（Word解析版）

2021-2022学年四川省凉山州高二（下）期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 设集合，，则集合(    )

A.  B.  C.  D.

2. 复数，则的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知某个数据的平均数为，方差为，现又加人一个新数据则这个数据的平均数和方差分别为(    )

A. ， B.  C.  D.

4. 中国的技术领先世界，技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率取决于信道带宽，经科学研究表明：与满足，其中为信噪比．若不改变带宽，而将信噪比从提升到，则大约增加了附：(    )

A.  B.  C.  D.

5. 若双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，则双曲线的离心率是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知、表示两个不同的平面，、是两条不同的直线，则下列命题中正确的是(    )

A. ，，
B. ，
C. ，，
D. ，，

7. 已知函数，若在上有且仅有一个极值点，则整数的最大值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知命题：函数在上单调递减；命题：，都有若为真命题，为假，则实数的取值范围为(    )

A.  B.
C. ， D. ，

9. 平面直角坐标系中，角的终边经过点，则(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知等差数列，，，则数列的前项和为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知抛物线：的焦点为，点是抛物线的准线与坐标轴的交点，点在抛物线上，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

12. 若实数，满足，，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 已知向量，，若，则______．
14. 如果曲线在点处的切线与直线垂直，则______．
15. 的展开式中，的系数是______ ．
16. 函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论：
    函数的最小正周期为；
    若，则；
    函数在区间上单调递增；
    函数，所有零点之和为．
    其中，所有正确结论的序号是______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 在中，已知，，，
    求出角和；
    求的面积．
18. 已知等比数列的前项和
    求该数列首项和公比；  
    若，求数列的前项和．
19. 年月日，第届冬奥会在中国北京和张家口举行．冬奥会闭幕后，某学校从全校学生中随机抽取了名学生，对其是否收看冬奥会进行了问卷调查，统计数据如下：

根据上表说明，能否有的把握认为，收看冬奥会与性别有关？
现从参与问卷调查且没收看冬奥会的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取人参加冬季运动宣传培训会．若从这人中随机选取人，求选取的人中有名男生名女生的概率．
附：，其中．

20. 如图，在四棱锥中，平面，，，，．
    若为的中点，求证平面；
    求直线与平面所成角的正弦值．

21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，且离心率为．
    求的方程；
    直线交于，两点，直线，分别与轴交于点，，求证：，，，四点共圆．
22. 已知函数．
    讨论的单调性；
    证明：若，，则．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，
则，
故，
故选：．
利用指数函数性质解出，即可．
本题考查了集合的交集相关知识，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：复数，故的虚部为．
故选：．
利用复数的计算法则可解．
本题考查复数运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：这个数据的平均数．
方差．
故选：．
由一组数据的平均数定义和方差的定义即可求得答案．
本题主要考查数据的平均数和方差，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：当时，．
当时，．
则，所以大约增加了．
即大约增加了．
故选：．
将与代入，作差后得到，进而求出大约增加了．
本题主要考查对数运算，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为双曲线的两条渐近线方程是，
所以可设双曲线的方程为，
又双曲线经过点，所以，即，
所以双曲线的方程为，即，
所以，，所以，
所以离心率．
故选：．
根据双曲线的渐近线方程可设其方程为，代入点，可得的值，再写出，，的值，由，得解．
本题考查双曲线的方程与几何性质，熟练掌握双曲线的渐近线方程，离心率是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：对于选项，若，，，则、的位置关系不确定，错；
对于选项，若，，则与的位置关系不确定，错；
对于选项，，，，则、平行或异面，错．
对于选项，设，过直线上的点在平面内作，如下图所示：

因为，，，，则，
，则，又因为，，所以，，对；
故选：．
利用已知条件判断线线、线面位置关系，可判断选项的正误；利用面面垂直的性质定理以及线面平行的判定定理可判断选项．
本题主要考查空间中的垂直关系，空间中的平行关系等知识，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：函数，
又在上有且仅有一个极值点，
则，
故，
得：，
故整数的最大值为，
故选：．
利用辅助角公式将化简，再利用三角函数性质计算．
本题考查三角函数相关知识，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：函数在上单调递减，则，
若对，都有，则，即．
若为真命题，为假，则与一真一假，
若真假，则；若假真，则．
综上可知，实数的取值范围为．
故选：．
分别求出、为真命题的的范围，再由为真命题，为假，可得与一真一假，然后分类求解得答案．
本题考查复合命题的真假判断，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
又角的终边经过点，则为第一象限角，
故，，
所以，
故选：．
利用诱导公式、二倍角公式和三角函数定义可求．
本题考查了利用诱导公式、二倍角公式和三角函数定义相关知识，属于中档题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由，可得公差，所以，
因此，
所以前项和为，
故选：．
根据等差数列的性质可求公差，进而可求，根据裂项求和即可求解．
本题考查了等差数列的通项公式以及裂项相消求和，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：过作垂直于直线于，
在直角三角形中，，
则，即，
在抛物线中，，
 在中，，
即，得，
故选：．
根据抛物线的性质，结合正弦定理进行转化求解即可．
本题主要考查抛物线性质的应用，根据抛物线的性质利用正弦定理进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，
当且仅当时取等号，，
，，，
令，，则，，
，
，，
，，，
．
故选：．
根据对数的运算性质，结合基本不等式能证明，由此能证明，再构造函数，，证明其值小于，结合指数函数的单调性证明，由此能求出结果．
本题考查三个数的大小的判断，考查对数的运算性质，基本不等式、构造法、函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：向量，，
，
又，则，即，得，
故答案为：．
利用向量坐标运算算出，再利用垂直可解．
本题考查了向量的坐标运算，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由，得，
可得，
曲线在点处的切线与直线垂直，
，即．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由两直线垂直与斜率的关系列式求解．
本题考查导数的几何意义及应用，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：的展开式中，通项公式为：
，
令，
解得，
的系数为：
．
故答案为：．
利用二项展开式的通项公式求出第项，令的指数为，即得系数．
本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为是定义域为的奇函数，满足，
所以，
所以，
所以，
所以函数的最小正周期为，故错误；
因为是定义域为的奇函数，
所以，
因为，
所以的图像关于直线对称，
所以，，
因为函数的最小正周期为，
所以，则，故正确；
因为当时，，
所以在上单调递增，
因为函数是定义域为的奇函数，
所以在，
所以在区间上单调递增，故正确；
由，得，
所以的零点为函数与的图像交点的横坐标，
周期为，图像也关于直线对称，
在同一坐标系中画出两函数的图像，如图所示：

由图像可知函数图像在上的交点的横坐标为，，，，其和为，
所以函数，所有零点之和为，故正确，
故答案为：．
由是定义域为的奇函数，满足，可得函数的周期，即可判断是否正确；由是定义域为的奇函数，得，，，进而可得函数的最小正周期为，即可判断是否正确；当时，，可得函数的单调性，进而可判断是否正确；
由，得，则的零点为函数与的图像交点的横坐标，即可判断是否正确．
本题考查函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

17.【答案】解：由正弦定理可得，
，，，

，，，此时，或者，此时；

，；，． 

【解析】先根据正弦定理以及大角对大边求出角，再根据三角形内角和为即可求出角．
分情况分别代入三角形的面积计算公式即可得到答案．
本题主要考查三角形中的几何计算．解决本题的关键在于根据正弦定理以及大角对大边求出角．
 

18.【答案】解：由，得；
，，
则等比数列的公比；
由，，得，
．
数列的前项和为． 

【解析】在数列的前项和中取求得首项，再求得，则可求，公比可求；
求出等比数列的通项公式，代入，利用对数的运算性质求得，然后利用等差数列的前项和公式求和．
本题考查了等比数列的通项公式，考查了等差数列的前项和，是基础题．
 

19.【答案】解：，
有的把握认为收看冬奥会与性别有关．
采用按性别分层抽样的方法，选取人，
则男生有人，女生有人，
故选取的人中有名男生名女生的概率为． 

【解析】根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及超几何分布的概率公式，即可求解．
本题主要考查独立性检验公式，以及超几何分布的概率公式，属于基础题．
 

20.【答案】证明：如图所示，设中点为，连接，，
为的中点，且，
又，，为平行四边形，即，
又平面，平面，
所以平面．
解：在中，，
在中，，
，，由得，
则，所以，
又因为平面，
以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
所以，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，所以，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值是． 

【解析】设中点为，连接，，利用中位线定理可证得四边形为平行四边形，所以，再利用线面平行的判定定理可证得平面．
在和中，由余弦定理可得，再由勾股定理可得，所以平面，以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求出直线与平面所成角的正弦值．
本题主要考查了线面平行的判定定理，考查了利用空间向量求直线与平面的夹角，属于中档题．
 

21.【答案】解：由题意知，解得，，，
所以的方程为：；
证明：设点不妨设，则点，
由，整理可得：，
所以，，
所以直线的方程为，
因为直线与轴交于点，令得，
即，同理可得点，
所以，，
所以，
所以，同理，
则以为直径的圆恒过焦点，，即，，，四点共圆．
综上所述，可证得，，，四点共圆． 

【解析】由左顶点的坐标和离心率的值及，，之间的关系求出，，的值，进而求出椭圆的方程；
由题意联立直线与椭圆的方程，可得，的坐标，进而求出直线，的方程，由题意可得，的坐标，求出向量，的坐标，可得数量积为，可得，同理，可证得，，，四点共圆．
本题考查求椭圆的方程求法，直线与椭圆的综合应用，四点共圆的证法，属于中档题．
 

22.【答案】解：由，得．
当时，，；
当时，，，，．
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
证明：因为，即，
又，所以要证，只需证，
即证，
设，，则，
所以在上单调递增，
因为，所以，不等式成立，
即成立． 

【解析】对求导，然后分和两种情况判断的单调性即可；
由，可得，根据，可知要证，只需证明，再构造函数证明即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用分析法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．