考点17相交线与平行线（解析版）-2022年数学中考一轮复习考点透析（北京版）

考点17相交线与平行线

考点总结

一、相交线

直线的位置关系：在同一平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。

垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。

表示方法：

如图，a ⊥ b，垂足为Ｏ．

记作：a ⊥ b于点Ｏ．

【注意事项】

1.线段与线段，线段与射线，线段与直线，射线与射线，射线与直线垂直，是特指它们所在的直线互相垂直。

2.两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角；若两条直线的夹角为直角，则这两条直线互相垂直。

垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

垂线的画法：一落、二移、三画。

注意：经过一点画射线或线段的垂线，是指它们所在直线的垂线，垂足的位置不固定，可能会出现在射线的反向延长线或线段的延长线上。

垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

注意：

1、  垂线是一条直线，而垂线段是一条线段。

2、经过直线外一点到这条直线的垂线段有且只有一条。

点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离

二、相交线中的角

邻补角与对顶角的知识点

两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：

注意点：

（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；

（2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角；

（3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角；

（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个.

同位角、内错角与同旁内角的知识点

同位角：在两条直线的上方，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。（同旁同侧）

如：∠1和∠5。

内错角：在在两条直线之间，又在直线EF的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。（内部异侧）

如：∠3和∠5。

同旁内角：在在两条直线之间，又在直线EF的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。（同旁内侧）如：∠3和∠6。

三线八角:指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对，同旁内角有2对。

三、平行线

平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示，

如：直线与直线互相平行，记作∥，读作a平行于b。

平行线的画法：一落、二靠、三移、四画。

判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：

①有且只有一个公共点，两直线相交；

②无公共点，则两直线平行；

③两个或两个以上公共点，则两直线重合

平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

几何描述 ：∵∥，∥

　　　　   ∴∥

平行线的判定

判定方法 1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行

　　　　     简称：同位角相等，两直线平行

判定方法 2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行

　　　　     简称：内错角相等，两直线平行

判定方法 3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行

　　　　     简称：同旁内角互补，两直线平行

几何符号语言：

∵　∠3＝∠2

∴　AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

∵　∠1＝∠2

∴　AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

∵　∠4＋∠2＝180°

∴　AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

平行线的性质

性质1：两直线平行，同位角相等；

性质2：两直线平行，内错角相等；

性质3：两直线平行，同旁内角互补.。

几何符号语言：

∵AB∥CD

∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）

∵AB∥CD

∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）

∵AB∥CD

∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）

四、 图形平移

平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换 (简称平移)，平移不改变物体的形状和大小。

平移的性质：

1、把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.

2、新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点

3、连接各组对应点的线段平行且相等。

作平移图形的一般步骤：

1、确定平移的方向和距离。

2、确定图形的关键点。

3、过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段，得到关键点的对应点。

4、依次连接关键点，作出平移后的新图形。

真题演练

一、单选题

1．如图，点在直线上，．若，则的大小为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

由题意易得，，进而问题可求解．

【详解】

解：∵点在直线上，，

∴，，

∵，

∴，

∴；

故选A．

2．如图，∠B=43°，∠ADE=43°，∠AED=72°，则∠C的度数为（    ）

A．72° B．65° C．50° D．43°

【答案】A

【分析】

由同位角相等判定两直线平行，然后利用平行线的性质求解．

【详解】

解：∵∠B=43°，∠ADE=43°，

∴∠B=∠ADE

∴DE∥BC

∴∠C=∠AED=72°

故选：A

3．如图，l1∥l2，点O在直线l1上，将三角板的直角顶点放在点O处，三角板的两条直角边与l2交于A，B两点，若∠1＝35°，则∠2的度数为（   ）

A．35° B．45° C．55° D．65°

【答案】C

【分析】

先求出∠OBA，然后根据对顶角相等即可得出∠2．

【详解】

∵l1∥l2，

∴∠1+∠BOA+∠OBA=180°，

∵∠1=35°，∠BOA=90°，

∴∠OBA=55°，

∴∠2=∠OBA=55°，

故选：C．

4．下列图形中，线段的长表示点A到直线距离的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

点到直线的距离是指垂线段的长度．

【详解】

解：线段AD的长表示点A到直线BC距离的是图D，

故选：D．

5．如图，两条直线AB，CD交于点O，射线OM是∠AOC的平分线，若∠BOD＝80°，则∠BOM等于（　　）

A．140° B．120° C．100° D．80

【答案】A

【分析】

先根据对顶角相等得出∠AOC＝80°，再根据角平分线的定义得出∠COM＝40°，最后解答即可.

【详解】

解：∵∠BOD＝80°，

∴∠AOC＝80°，∠COB＝100°，

∵射线OM是∠AOC的平分线，

∴∠COM＝40°，

∴∠BOM＝40°+100°＝140°，

故选A．

6．如图所示，∥，则平行线与间的距离是（    ）

A．线段AB的长度 B．线段BC的长度

C．线段CD的长度 D．线段DE的长度

【答案】B

【分析】

根据平行线之间距离的定义对各选项进行逐一分析即可．

【详解】

∵CB⊥于点B，
∴与两平行线间的距离就是线段BC的长度，故B选项正确；
∵线段AB、线段CD、线段DE都不是与之间的垂线段，故选项A、C、D都错误；

故选：B．

7．如图，小明从A处出发沿北偏东方向行走至B处，又从B处沿南偏东方向行走至C处，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据方位角和平行线性质求出∠ABE，再求出∠EBC即可得出答案．

【详解】

解：如图：

∵小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿南偏东70°方向行走至点C处，
∴∠DAB=40°，∠CBE=70°，
∵向北方向线是平行的，即AD∥BE，
∴∠ABE=∠DAB=40°，
∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=40°+70°=110°，

故选：C．

8．如图，点，是上的定点，点为优弧上的动点（不与点，重合），在点运动的过程中，以下结论正确的是（    ）

A．的大小改变 

B．点到弦所在直线的距离存在最大值

C．线段与的长度之和不变 

D．图中阴影部分的面积不变

【答案】B

【分析】

根据圆周角定理，点到直线的距离的定义、极限思想和三角形三边关系、三角形面积公式等进行逐一判断即可．

【详解】

解：A、因为点，是上的定点，所以所对的圆周角的大小不变，故A错误；

B、连接PO，当PO⊥AB时，此时点到弦所在直线的距离最大，故B正确；

C、当点P无限接近点B时，线段与的长度之和无限接近AB，而当点P从点B向点A移动过程中，线段与的长度之和发生变化，故C错误；

D、阴影部分面积分为弓形AB面积和△ABP面积之和，弓形面积不变，而点P到AB距离不一定，所以△ABP面积非定值，故阴影部分面积随着点P的移动发生变化，故D选项错误；

故选：B．

9．如图，直线，直线与直线，分别交于点，点，于点，交直线于点．如果，那么的度数为(　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

先根据平行线的性质求出∠BAD的度数，再根据垂直的定义和余角的性质求出∠2的度数；

【详解】

解：如图：

∵直线∥，

∴∠1+∠BAD=180°，

∵AC⊥AB于点A，∠1=34°，

∴∠2=180°−90°−34°=56°，

故选：B．

10．如图，直线AB∥CD，∠3＝70°，则∠1＝（　　）

A．70° B．100° C．110° D．120°

【答案】C

【分析】

直接利用平行线的性质得出∠1＝∠2，进而得出答案．

【详解】

∵直线AB∥CD，

∴∠1＝∠2，

∵∠3＝70°，∠2+∠3=180°，

∴∠2＝180°﹣∠3=180°﹣70°＝110°，

∴∠1＝110°．

故选：C．

二、填空题

11．阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

小凡利用两块形状相同的三角尺进行如下操作：

老师说：“小凡的作法正确．”

请回答：小凡的作图依据是________．

【答案】内错角相等，两直线平行

【分析】

根据平行线的判定方法即可解决问题；

【详解】

解：如图所示：

∵两块形状、大小相同的三角尺，将第二块三角尺沿第一块三角尺移动，使其另一边经过点A，

∴∠1＝∠2，

∴AB∥直线l（内错角相等，两直线平行），

故答案为：内错角相等，两直线平行．

12．如图所示，，表示直线与之间距离的是线段__________的长度．

【答案】BP

【分析】

从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案．

【详解】

解：由图可得，a∥b，BP⊥a，
∴直线a与直线b之间的距离是线段BP的长度，
故答案为：BP．

13．如图是由射线、、和线段、组成的平面图形，且，则______．

【答案】180°

【分析】

延长DE交BA的延长线于点F，根据平行线的性质，对顶角相等以及三角形内角和定理可得结论．

【详解】

解：延长DE交BA的延长线于点F，如图，

∵

∴

又

∴

故答案为：180°

14．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果图中是，那么的度数是_________．

【答案】

【分析】

由平行线的性质可求得∠ABC+∠1=180°，∠ABC=∠2，据此可求得∠2.

【详解】

如图，

∵AD// BC，

∴∠2=∠ABC，

∵AB// CD，

∴∠1+∠ABC= 180° ,

∴∠ABC= 180°-∠1=180°-70°=110°

∴∠2=110°，

故答案为: 110°.

15．如图所示，在正方形网格中，点A，B，C，D为网格线的交点，线段与交于点O．则的面积与面积的大小关系为：_________（填“＞”，“＝”或“＜”）．

【答案】=

【分析】

首先根据勾股定理的逆定理判断出△ABD与△ABC为直角三角形，则推出AD∥BC，从而利用平行线间的距离处处相等得到，从而推出结论即可．

【详解】

由题意，，，，

∵，

∴△ABD为直角三角形，∠BAD=90°，

同理，对于△ABC，也满足，

∴△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，

∴∠BAD+∠ABC=180°，

∴AD∥BC，

∵平行线间的距离处处相等，

∴，

∴，

即：，

故答案为：=．

三、解答题

16．如图，为的直径，点C，点D在上，且点C是的中点，是的切线且交的延长线于点E，连接．

（1）求证：是等边三角形；

（2）若，求的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）4．
 

【分析】

（1）连接OD，根据点C是的中点得到∠AOC=∠COD，再根据是的切线且得到OD∥AE，得到∠ACO=∠COD=∠AOC, 再由OA=OC，得到∠ACO=∠CAO=∠AOC即可证明；

（2）连接CD，由（1）证得三角形OAC为等边三角形，同理也可证明三角形COD为等边三角形，从而得到∠CDE=30°，再根据三角函数求解即可．

【详解】

解：（1）如图所示，连接OD

∵点C是的中点

∴∠AOC=∠COD

又∵是的切线且

∴OD⊥DE，AE∥OD

∴∠ACO=∠COD=∠AOC

∵OA=OC

∴∠ACO=∠CAO=∠AOC

即三角形AOC为等边三角形．

（2）如图所示，连接CD

由（1）证得三角形AOC是等边三角形

∴∠ACO=∠COD=∠AOC=60°

又∵OD=OC

∴三角形COD为等边三角形

∴∠CDO=60°

又∵∠ODE=90°

∴∠CDE=30°

∴

17．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于点F．

（1）求证：∠BAD＝∠CBE；

（2）过点A作AB的垂线交BE的延长线于点G，连接CG，依据题意补全图形；若∠AGC＝90°，试判断BF、AG、CG的数量关系，并证明．

【答案】（1）见解析；（2），见解析．

【分析】

（1）先根据等腰三角形的性质得到∠ABD=∠C，然后利用等角的余角相等即可证明；

（2）如图：先根据题意补全图形，再连接CF，再证明∠ACF=∠ABG=∠GAC，可得AG//FC，再根据平行线的性质可得∠FCG=∠AGC=90°，进一步证得∠GAF=∠GFA，即AG=FG，然后利用勾股定理得到CF2+CG2=FG2即可证明．

【详解】

（1）解：∵AB＝AC，AD⊥BC

∴∠BAD＝∠CAD

∠CBE＋∠BFD＝90°

∵BE⊥AC

∴∠CAD＋∠AFE＝90°

∵∠BFD＝∠AFE

∴∠CBE＝∠CAD

∠BAD＝∠CBE；

（2）依据题意补全图形；

结论：

证明：连结CF．

∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，AF＝AF

∴△ABF≌△ACF

∴∠ACF＝∠ABG，BF＝FC

∵∠BAG＝90°，

∴∠GAE＋∠BAC＝90°

∵∠ABG＋∠BAC＝90°

∴∠ACF＝∠ABG＝∠GAC．

∴AG//FC

∴∠FCG＝∠AGC＝90°

∵∠GAF＋∠BAD＝90°

∠GFA＋∠DAC＝90°

∴∠GAF＝∠GFA

∴AG＝FG

在Rt△FCG中，

∵

∴．

18．如图1，，在、内有一条折线．

（1）求证：；

（2）如图2，已知的平分线与的平分线相交于点，试探索与之间的关系．

（3）已知，，有与的关系为________．（直接写结论）

【答案】(1)见详解；（2）∠EPF+2∠EQF=360°；（3）∠P+n∠Q=360°．

【分析】

（1）首先过点P作PG∥AB，然后根据AB∥CD，PG∥CD，可得∠AEP=∠1，∠CFP=∠2，据此判断出∠AEP+∠CFP=∠EPF即可．

（2）首先由（1），可得∠EPF=∠AEP+CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，推得∠EQF=12×(360°−∠EPF)，即可判断出∠EPF+2∠EQF=360°．

（3）首先由（1），可得∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ；然后根据∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，推得∠Q=×（360°-∠P），即可判断出∠P+n∠Q=360°．

【详解】

（1）证明：如图1，过点P作PG∥AB，

∵AB∥CD，

∴PG∥CD，

∴∠AEP=∠1，∠CFP=∠2，

又∵∠1+∠2=∠EPF，

∴∠AEP+∠CFP=∠EPF．

（2）如图2，

由（1），可得∠EPF=∠AEP+CFP，∠EQF=∠BEQ+∠DFQ，

∵∠BEP的平分线与∠DFP的平分线相交于点Q，

∴∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，

∴∠EQF=∠BEQ+∠DFQ=（∠BEP+∠DFP）

又∵∠BEP=180°-∠AEP，∠DFP=180°-∠CFP

∴∠BEP+∠DFP=360°-（∠AEP+∠CFP）

∴∠EQF=×，

即:2∠EQF+（∠AEP+∠CFP）=360°

∴∠EPF+2∠EQF=360°．

(3)由（1），可得∠P=∠AEP+CFP，∠Q=∠BEQ+∠DFQ，

∵∠BEQ=∠BEP，∠DFQ=∠DFP，

∴∠Q=∠BEQ+∠DFQ=（∠BEP+∠DFP）=[360°-（∠AEP+∠CFP）]=×（360°-∠P），

∴∠P+n∠Q=360°．

故答案为：∠P+n∠Q=360°．