数学八年级下册17.1 勾股定理第1课时课时作业

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1．（2020 •鞍山期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，且c＝4，若a＝3，那么b的值是（ ）
A．1B．5C．7D．5
【答案】C
【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，
由勾股定理得，b=c2-a2=42-32=7，
故选：C．
2．（2020 •蜀山区校级月考）如图，在行距、列距都是1的的4×4方格网中，将任意连接两个格点的线段称作“格点线”，则“格点线”的长度不可能等于（ ）
A．13B．5C．9D．11
【答案】D
【解析】∵13=22+32=13，故13可能是“格点线”的长度，故选项A不符合题意；
∵5=22+12=5，故5可能是“格点线”的长度，故选项B不符合题意；
∵9=3，故9可能是“格点线”的长度，故选项C不符合题意；
∵11=32+(2)2，故11不可能是“格点线”的长度，故选项D符合题意；
故选：D．
3．（2020 •江夏区月考）已知Rt△ABC中，∠C＝90°．若a+b＝14cm，c＝12cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A．13cm2B．26cm2C．48cm2D．52cm2
【答案】A
【解析】∵∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2＝144，
∴（a+b）2﹣2ab＝144，
∴196﹣2ab＝144，
∴ab＝26，
∴S△ABC=12ab＝13cm2．
故选：A．
4．（2020 •河西区期中）如图，点A（﹣4，4），点B（﹣3，1），则AB的长度为（ ）
A．22B．10C．23D．13
【答案】B
【解析】作BC∥x轴，作AC∥y轴交BC于点C，
∵点A（﹣4，4），点B（﹣3，1），
∴AC＝3，BC＝1，
∵∠ACB＝90°，
∴AB=AC2+BC2=32+12=10，
故选：B．
5．（2020 •朝阳区月考）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形边长为1，大正方形边长为5，则一个直角三角形的周长是（ ）
A．6B．7C．12D．15
【答案】C
【解析】设直角三角形两条直角边长分别为a和b，
由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b＝1，
根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可知：
25＝4×12ab+1，
所以2ab＝24，
根据勾股定理，得a2+b2＝52，
所以（a+b）2＝a2+b2+2ab＝25+24＝49，
因为a+b＞0，
所以a+b＝7，
所以7+5＝12．
所以一个直角三角形的周长是12．
故选：C．
6．（2020 •香洲区期中）如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形拼成的，若正方形A、B、C、D的边长分别是4、5、3、4，则最大正方形E的面积是（ ）
A．66B．16C．32D．2306
【答案】A
【解析】
根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，
S1＝42+52，S2＝32+42，
于是S3＝S1+S2，
即可得S3＝16+25+9+16＝66．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共9分）
7．（2020 •桂林期末）一个直角三角形的两条直角边分别为6和10，则斜边的长为 234 ．
【答案】234．
【解析】∵一个直角三角形的两条直角边分别为6和10，
∴斜边的长为62+102=234．
故答案为：234．
8．（2020 •嘉陵区期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，AB＝17cm，AD＝10cm，AC＝8cm，则BD的长为 9cm ．
【答案】9cm．
【解析】∵△ABC中，∠C＝90°，AB＝17cm，AD＝10cm，AC＝8cm，
∴CD=AD2-AC2=102-82=6cm，BC=AB2-AC2=172-82=15cm，
∴BD＝15﹣6＝9（cm），
故答案为：9cm．
9．如图，∠CAB＝30°，点D在射线AB上，且AD＝4，点P在射线AC上运动，当△ADP是直角三角形时，PD的长为 433或2 ．
【答案】433或2．
【解析】当∠ADP＝90°时，△ADP是直角三角形，
∵∠CAB＝30°，
∴AP＝2PD，
∵AD2+PD2＝AP2，
∴42+PD2＝（2PD）2，
∴PD=433，
当∠APD＝90°时，△ADP是直角三角形，
∵∠CAB＝30°，
∴PD=12AD＝2，
综上所述，433或2．
故答案为：433或2．
三、解答题（7分+8分+8分= 23分）
10．（2020 •番禺区期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠A＝60°，∠ADC＝150°，CD＝3，求BC的长．
解：连接DB，如右图所示，
∵AB＝AD＝4，∠A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝4，∠ADB＝60°，
∵∠ADC＝150°，
∴∠BDC＝90°，
又∵CD＝3，
∴BC=BD2+CD2=42+32=5，
即BC的长是5．
11．（2020 •凤凰县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B＝60°，∠C＝45°．
（1）求∠BAC的度数．
（2）若AC＝4，求AD的长．
解：（1）∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°；
（2）∵AD⊥BC，∠C＝45°，
∴∠CAD＝45°＝∠C，
∴AD＝CD，
设AD＝CD＝x，由勾股定理得AD2+CD2＝AC2，
即x2+x2＝42，解得x＝22．
即AD的长为22．
12．（2020 •包河区期中）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为4×12ab+（a﹣b）2，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．
（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，设BD＝x，求x的值．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，画在如图4的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．
解：（1）梯形ABCD的面积为12(a+b)(a+b)=12a2+ab+12b2，
也可以表示为12ab+12ab+12c2，∴12ab+12ab+12c2=12a2+ab+12b2，
即a2+b2＝c2；
（2）在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2；
在Rt△ADC中，AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2；
所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，
解得x=94；
（3）如图，
由此可得（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．