2022高考数学一轮复习专题39 数列中的探索性问题（原卷）

专题39  数列中的探索性问题

数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题，对于此类问题的求解，通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解，本题的解题思路就是来源于此；③通过求出变量的取值范围，从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题，也可以运用反证法，反证法证明命题的基本步骤：

①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来，不要有遗漏．②归谬：从反设出发，通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设，从而得出原命题结论成立．

一、题型选讲

题型一 、数列中项存在的问题

例1、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知等差数列的前n项和为．

(1)求的通项公式；

(2)数列满足为数列的前n项和，是否存在正整数m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．

例2、（江苏省响水中学2020年秋学期高三年级第三次学情分析考试）在①，，成等比数列，且；②，且这两个条件中任选一个填入下面的横线上并解答．

已知数列是公差不为0的等差数列，，其前n项和为，数列的前n项和为，若       ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

（1）求数列，的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

（3）设等比数列的首项为2，公比为，其前项和为，若存在正整数，使得，求的值.

例3、(2018无锡期末）已知数列{an}满足·…·＝，n∈N*，Sn是数列{an}的前n项和．

(1) 求数列{an}的通项公式；

(2) 若ap，30，Sq成等差数列，ap，18，Sq成等比数列，求正整数p，q的值；

(3) 是否存在k∈N*，使得为数列{an}中的项？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由．

题型二、 数列中的等差数列或者等比数列的存在问题

例4、（河北省衡水中学2021届上学期高三年级二调考试）已知正项数列的前项和为,,，其中为常数．

(1)证明：

(2)是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

例5、(2018扬州期末）已知各项都是正数的数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝a＋an，数列{bn}满足b1＝，2bn＋1＝bn＋.

(1) 求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2) 设数列{cn}满足cn＝，求和c1＋c2＋…＋cn；

(3) 是否存在正整数p，q，r(p<q<r)，使得bp，bq，br成等差数列？若存在，求出所有满足要求的p，q，r；若不存在，请说明理由．

题型三、数列中的参数的问题

例6、（恩施高中 郧阳中学 沙市中学 十堰一中 随州二中  襄阳三中）在①为等比数列，,②为等差数列，,③为等比数列，。这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答。

已知数列满足,数列满足____________,为数列的前项和,是否存在正整数,使得成立?若存在,求出的最小值；若不存在,请说明理由。

例7、【2020年高考江苏】已知数列的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“λ～k”数列．

（1）若等差数列是“λ～1”数列，求λ的值；

（2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；

（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列为“λ～3”数列，且？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．（公众号：高中数学最新试题）

二、达标训练

1、【2020年高考山东】已知公比大于的等比数列满足．

（1）求的通项公式；

（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．

2、（徐州一中、兴化中学2021届两校联合第二次适应性考试）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求实数的取值范围；若问题中的不存在，请说明理由.

设等差数列的前n项和为，数列的前n项和为， ___________，，()，是否存在实数，对任意都有？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

3、（湖南师大附中2021届高三年级上学期第二次月考）已知各项均为整数的数列满足，，前6项依次成等差数列，从第五项起依次成等比数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)求出所有的正整数，使得

4、(2019扬州期末）记无穷数列{an}的前n项中最大值为Mn，最小值为mn，令bn＝，数列{an}的前n项和为An，数列{bn}的前n项和为Bn.

(1) 若数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，求Bn.

(2) 若数列{bn}是等差数列，试问数列{an}是否也一定是等差数列？若是，请证明；若不是，请举例说明．