数列求和（裂项相消法）(典型题型归类训练)（原卷及解析版）

这是一份数列求和（裂项相消法）(典型题型归类训练)（原卷及解析版），文件包含专题06数列求和裂项相消法典型题型归类训练原卷版docx、专题06数列求和裂项相消法典型题型归类训练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc4501" 一、必备秘籍 PAGEREF _Tc4501 \h 1
\l "_Tc29664" 二、典型题型 PAGEREF _Tc29664 \h 2
\l "_Tc32732" 题型一：等差型 PAGEREF _Tc32732 \h 2
\l "_Tc5178" 题型二：无理型 PAGEREF _Tc5178 \h 5
\l "_Tc31580" 题型三：指数型 PAGEREF _Tc31580 \h 8
\l "_Tc12724" 题型四：通项裂项为“”型 PAGEREF _Tc12724 \h 11
\l "_Tc547" 三、专题06 数列求和（裂项相消法）专项训练 PAGEREF _Tc547 \h 13
一、必备秘籍
常见的裂项技巧
类型一：等差型
= 1 \* GB3 ①
特别注意
②
如：（尤其要注意不能丢前边的）
类型二：无理型
= 1 \* GB3 ①
如：
类型三：指数型
①
如：
类型四：通项裂项为“”型
如：①
②
本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.
二、典型题型
题型一：等差型
例题1．（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
例题2．（2023秋·甘肃白银·高二校考阶段练习）在①，，②这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
(1)已知数列的前n项和为，______，求的通项公式；
(2)数列满足，求数列的前n项和．
例题3．（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）已知数列满足，.
(1)判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；
(2)若数列的前10项和为361，记，数列的前项和为，求证：.
例题4．（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）记递增的等差数列的前n项和为，已知，且．
(1)求和；
(2)设，求数列的前n项和．
题型二：无理型
例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)当数列的公差不为0时，记数列的前n项和为，求证：.
例题2．（2023秋·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习）在等比数列中，，且成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求不等式的解集．
例题3．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设各项均不为零的数列的前项和为，且对于任意，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前99项和.
例题4．（2023·重庆·统考三模）已知等差数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：当时，．
题型三：指数型
例题1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）已知数列为等差数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，数列的前项和为，求证：．
例题2．（2023秋·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
例题3．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：.
例题4．（2023·广西南宁·南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模）已知数列满足（且），且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求证：.
题型四：通项裂项为“”型
例题1．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）记为数列的前项和，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
例题2．（2023春·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知数列的前项和为，满足，
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前20项和.
例题3．（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知数列满足：，.
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)令，求的前n项和.
例题4．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）设正项数列的前n项和为，已知，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
三、专题06 数列求和（裂项相消法）专项训练
一、单选题
1．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知数列的通项公式为，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）等比数列中，，数列，的前n项和为，则满足的n的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
3．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数．已知正项数列的前n项和为，且，令，则（ ）
A．7B．8C．17D．18
4．（2023春·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期中）已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·江苏常州·高三校考期末）已知正项数列是公差不为的等差数列，，，成等比数列若，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高三专题练习）等差数列各项均为正数，首项与公差相等，，则的值为（ ）
A．9069B．9079C．9089D．9099
7．（2023秋·江苏·高二专题练习）记数列前项和为，若1，，成等差数列，且数列的前项和对任意的都有恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
8．（2023春·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）已知数列的前项和满足，，且，，数列的前项和为，则（ ）
A．数列是等比数列B．数列是等比数列
C．D．
9．（2023春·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）已知数列满足，，为数列的前项和.若对任意实数，都有成立.则实数的可能取值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
三、填空题
10．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知，且，则数列的前n项和 .
11．（2023·全国·高三专题练习）已知数列满足，若，则数列的前n项和 .
12．（2023·河南·校联考模拟预测）在数列中，，其前n项和为，则 ．
四、解答题
13．（2023春·陕西西安·高二校考期中）设数列满足，.
(1)计算，，猜想的通项公式并用数学归纳法加以证明；
(2)若数列的前项和为，证明：.
14．（2023春·山东德州·高二德州市第一中学校考期中）已知数列为等差数列，数列为正项等比数列，且满足，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
15．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）已知是数列的前项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
16．（2023·全国·高二专题练习）已知为正项数列的前项的乘积，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求证：.
17．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．