2022高考数学一轮复习专题13 结构不良题（三角函数与解三角形）（解析卷）

这是一份2022高考数学一轮复习专题13 结构不良题（三角函数与解三角形）（解析卷），共19页。试卷主要包含了题型选讲，运用正余弦定理研究边，考查三角函数的图像与性质等内容，欢迎下载使用。
专题13  结构不良题（三角函数与解三角形）结构不良题型是新课改地区新增加的题型，所谓结构不良题型就是给出一些条件，另外的条件题目中给出三个，学生可以从中选择1个或者2个作为条件，进行解题。 一、题型选讲题型一 、研究三角形是否存在的问题例1、【2020年新高考全国Ⅰ卷】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】方案一：选条件①．由和余弦定理得．由及正弦定理得．于是，由此可得．由①，解得．因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时．方案二：选条件②．由和余弦定理得．由及正弦定理得．于是，由此可得，，．由②，所以．因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时．方案三：选条件③．由和余弦定理得．由及正弦定理得．于是，由此可得．由③，与矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．例2、（2021年徐州联考）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，______________，？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】选择①：由余弦定理可知，，……4分由正弦定理得，，又，所以，…………………6分所以是直角三角形，则，所以的面积.…10分选择②：由正弦定理得，，即，又，所以，所以，即，又，所以．……………………………………………………………4分由正弦定理得，，…………………………………………………6分所以的面积.…10分选择③：因为，所以，又，所以，所以，即．…………………4分由正弦定理得，，…………………………………………………6分所以的面积.…10分题型二、运用正余弦定理研究边、角及面积 例3、【2020年高考北京】在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【解析】选择条件①（Ⅰ）（Ⅱ）由正弦定理得：选择条件②（Ⅰ）由正弦定理得：（Ⅱ）例4、（2020届山东省日照市高三上期末联考）在①面积，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求.如图，在平面四边形中，，，______，，求.【解析】选择①：所以；由余弦定理可得所以选择②设，则，，在中，即所以在中，，即所以.所以，解得，又，所以，所以.例5、（湖北黄冈高三联考）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知的内角，，所对的边分别是，，，若______.（1）求角；（2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积.【解析】（1）选①，由正弦定理得，∵，∴，即，∵，∴，∴，∴.    ··········································5分选②，∵，，由正弦定理可得，∵，∴，∵，∴.      ·················································5分选③，∵，由已知结合正弦定理可得，∴，∴，∵，∴.     ·················································5分（2）∵，即，∴，解得，当且仅当时取等号，∴，周长的最小值为6，此时的面积. ··········10分例6、（2021年南京金陵中学联考）现给出两个条件：①2c－b＝2acosB，②(2b－c)cosA＝acosC，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，．(1)求A；(2)若a＝－1，求△ABC周长的最大值． 【解析】若选择条件①2c－b＝2acosB．(1)由余弦定理可得2c－b＝2acosB＝2a·，整理得c2＋b2－a2＝bc，………2分可得cosA＝＝＝．…………………………………………………3分因为A∈(0，π)，所以A＝．       …………………………………………………………5分(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得(－1)2＝b2＋c2－2bc·，………6分即4－2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－(2＋)bc，亦即(2＋)bc＝(b＋c)2－(4－2)，因为bc≤，当且仅当b＝c时取等号，所以(b＋c)2－(4－2)≤(2＋)×，解得b＋c≤2，…………………………………………………………8分当且仅当b＝c＝时取等号．所以a＋b＋c≤2＋－1，即△ABC周长的最大值为2＋－1．…………………………………………………10分若选择条件②(2b－c)cosA＝acosC．(1)由条件得2bcosA＝acosC＋ccosA，由正弦定理得2sinBcosA＝(sinAcosC＋sinCcosA)＝sin(A＋C)＝sinB．………2分因为sinB≠0，所以cosA＝，…………………………………………………3分因为A∈(0，π)，所以A＝．(2)同上例7、（2020·全国高三专题练习（文））在中，，，分别为内角，，的对边，且满.（1）求的大小；（2）再在①，②，③这三个条件中，选出两个使唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求的面积.【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）因为，又由正弦定理，得，即，所以，因为，所以.（2）方案一：选条件①和②.由正弦定理，得.由余弦定理，得，解得.所以的面积.方案二：选条件①和③.由余弦定理，得，则，所以.所以，所以的面积. 题型三、考查三角函数的图像与性质例8、（2020届山东省泰安市高三上期末）在①函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，图象关于原点对称；②向量，；③函数这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知_________，函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为．（1）若且，求的值；（2）求函数在上的单调递减区间．【解析】解：方案一：选条件①由题意可知，，，，又函数图象关于原点对称，，，，，（1），，；（2）由，得，令，得，令，得，函数在上的单调递减区间为．方案二：选条件②，，又，，，（1），，；（2）由，得，令，得，令，得，函数在上的单调递减区间为．方案三：选条件③ ，又，，，（1），，；（2）由，得，令，得，令，得.函数在上的单调递减区间为．二、达标训练1、（2021年江苏连云港联考）已知有条件①,  条件②;请在上述两个条件中任选一个，补充在下面题目中，然后解答补充完整的题目．在锐角△ABC中，内角 A, B, C 所对的边分别为a, b,c , a=, b+c=5,且满足                   ．(1) 求角A的大小；(2) 求△ABC的面积．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）【解析】（1）选择条件①,…………………………………1分法1：由正弦定理得, ………2分所以,………………………3分因为, 所以  ………………………………4分又,…………………5分所以.  ………………………………………………………6分法2：由余弦定理得，……2分化简得………………………………………3分则， ………………………………4分又,……………………5分所以.    ………………………………………………6分（1）选择条件②………………………………………1分法3：因为，所以 ……………2分因为，所以   …………3分化简得，解得,  ………………………4分又,………………………5分所以. ……………………………………………………6分（2）由余弦定理,   ……………………………7分得，…………………………………………………8分所以，    ……………………………10分于是的面积．………12分2、（2021年泰州高三期中）在①a=,②S= cosB， ③C=这三个条件中任选-一个，补充在下面问题中，并对其进行求解.问题:在BC中，内角A, B,C的对边分别为a,b,c,面积为S，bcosA=acosC+ccosA，b=1,____________，求 c的值.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 【解析】 在中，因为，所以根据正弦定理得                     ………2分所以,因为，所以                       ………5分选择①，由余弦定理得，解得      ………10分选择②，，所以所以，即，解得                                     ………10分选择③，，因为，所以由得                                  ………10分3、（2020届山东省临沂市高三上期末）在①，，②，，③，三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，______，求的面积S.【解析】选①∵，，∴，，∴，由正弦定理得，∴.选②∵，∴由正弦定理得.∵，∴.又∵，∴，∴，∴.选③∵ ，，∴ 由余弦定理得，即，解得或（舍去）.，∴的面积.故答案为：选①为；选②为；选③为.4、（2020届山东省烟台市高三上期末）在条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在中，角的对边分别为，，，          .求的面积.【解析】若选①：由正弦定理得，     即，      所以，    因为，所以.      又， ，，所以，  所以.   若选②：由正弦定理得.    因为，所以，，化简得，   即，因为，所以.    又因为，所以，即， 所以.  若选③：由正弦定理得，  因为，所以，所以，又因为，所以，   因为，，所以，，，所以.        又， ，，所以， 所以.5、（2020届山东省德州市高三上期末）已知，，分别为内角，，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应的面积.（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）【解析】（1）由①得，，所以，由②得，，解得或（舍），所以，因为，且，所以，所以，矛盾.所以不能同时满足①，②.故满足①，③，④或②，③，④；（2）若满足①，③，④，因为，所以，即.解得.所以的面积.若满足②，③，④由正弦定理，即，解得，所以，所以的面积.6、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在①；②；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________________，，求的面积.【解析】由正弦定理，得.由，得.由，得.所以.又（若，则这与矛盾），所以.又，得.由余弦定理及，得，即.将代入，解得.所以.在横线上填写“”.解：由及正弦定理，得.又，所以有.因为，所以.从而有.又，所以由余弦定理及，得即.将代入，解得.所以.在横线上填写“”解：由正弦定理，得.由，得，所以由二倍角公式，得.由，得，所以.所以，即.由余弦定理及，得.即.将代入，解得.所以.7、（2020届山东省潍坊市高三上期末）在①;②这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在中，角的对边分别为，已知        ，.(1)求;(2)如图，为边上一点，，求的面积【解析】解:若选择条件①，则答案为:(1)在中，由正弦定理得，因为，所以，所以，因为，所以.(2)解法1:设，易知在中由余弦定理得:，解得.所以在中，所以，所以，所以解法2:因为，所以，因为所以，所以因为为锐角，所以又所以所以若选择条件②，则答案为:(1)因为，所以，由正弦定理得，因为，所以，因为，所以，则，所以.(2)同选择①