2022高考数学一轮复习专题13 结构不良题（三角函数与解三角形）（解析卷）

专题13  结构不良题（三角函数与解三角形）

结构不良题型是新课改地区新增加的题型，所谓结构不良题型就是给出一些条件，另外的条件题目中给出三个，学生可以从中选择1个或者2个作为条件，进行解题。

一、题型选讲

题型一 、研究三角形是否存在的问题

例1、【2020年新高考全国Ⅰ卷】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【解析】方案一：选条件①．

由和余弦定理得．

由及正弦定理得．

于是，由此可得．

由①，解得．

因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时．

方案二：选条件②．

由和余弦定理得．

由及正弦定理得．

于是，由此可得，，．

由②，所以．

因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时．

方案三：选条件③．

由和余弦定理得．

由及正弦定理得．

于是，由此可得．

由③，与矛盾．

因此，选条件③时问题中的三角形不存在．

例2、（2021年徐州联考）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，且，______________，？

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【解析】选择①：

由余弦定理可知，，……4分

由正弦定理得，，又，所以，…………………6分

所以是直角三角形，则，所以的面积.…10分

选择②：

由正弦定理得，，即，

又，所以，所以，即，

又，所以．……………………………………………………………4分

由正弦定理得，，…………………………………………………6分

所以的面积.…10分

选择③：

因为，所以，

又，所以，所以，即．…………………4分

由正弦定理得，，…………………………………………………6分

所以的面积.…10分

题型二、运用正余弦定理研究边、角及面积

例3、【2020年高考北京】在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：

（Ⅰ）a的值：

（Ⅱ）和的面积．

条件①：；

条件②：．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

【解析】选择条件①（Ⅰ）

（Ⅱ）

由正弦定理得：

选择条件②（Ⅰ）

由正弦定理得：

（Ⅱ）

例4、（2020届山东省日照市高三上期末联考）在①面积，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求.

如图，在平面四边形中，，，______，，求.

【解析】

选择①：

所以；

由余弦定理可得

所以

选择②

设，则，，

在中，即

所以

在中，，即

所以.

所以，解得，

又，所以，

所以.

例5、（湖北黄冈高三联考）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.

已知的内角，，所对的边分别是，，，若______.

（1）求角；

（2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积.

【解析】（1）选①，由正弦定理得，

∵，∴，即，

∵，∴，

∴，∴.    ··········································5分

选②，∵，，

由正弦定理可得，

∵，∴，

∵，∴.      ·················································5分

选③，∵，

由已知结合正弦定理可得，

∴，∴，

∵，∴.     ·················································5分

（2）∵，即，

∴，解得，当且仅当时取等号，

∴，周长的最小值为6，此时的面积. ··········10分

例6、（2021年南京金陵中学联考）现给出两个条件：①2c－b＝2acosB，②(2b－c)cosA＝acosC，从中选出一个条件补充在下面的问题中，并以此为依据求解问题．

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，．

(1)求A；

(2)若a＝－1，求△ABC周长的最大值．

【解析】若选择条件①2c－b＝2acosB．

(1)由余弦定理可得2c－b＝2acosB＝2a·，整理得c2＋b2－a2＝bc，………2分

可得cosA＝＝＝．…………………………………………………3分

因为A∈(0，π)，所以A＝．       …………………………………………………………5分

(2)由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得(－1)2＝b2＋c2－2bc·，………6分

即4－2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－(2＋)bc，亦即(2＋)bc＝(b＋c)2－(4－2)，

因为bc≤，当且仅当b＝c时取等号，

所以(b＋c)2－(4－2)≤(2＋)×，

解得b＋c≤2，…………………………………………………………8分

当且仅当b＝c＝时取等号．

所以a＋b＋c≤2＋－1，即△ABC周长的最大值为2＋－1．…………………………………………………10分

若选择条件②(2b－c)cosA＝acosC．

(1)由条件得2bcosA＝acosC＋ccosA，

由正弦定理得2sinBcosA＝(sinAcosC＋sinCcosA)＝sin(A＋C)＝sinB．………2分

因为sinB≠0，所以cosA＝，…………………………………………………3分

因为A∈(0，π)，所以A＝．

(2)同上

例7、（2020·全国高三专题练习（文））在中，，，分别为内角，，的对边，且满.

（1）求的大小；

（2）再在①，②，③这三个条件中，选出两个使唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求的面积.

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）因为，

又由正弦定理，得

，

即，

所以，

因为，

所以.

（2）方案一：选条件①和②.

由正弦定理，得.

由余弦定理，得

，

解得.

所以的面积.

方案二：选条件①和③.

由余弦定理，得

，

则，所以.

所以，

所以的面积.

题型三、考查三角函数的图像与性质

例8、（2020届山东省泰安市高三上期末）在①函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，图象关于原点对称；②向量，；③函数这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知_________，函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为．

（1）若且，求的值；

（2）求函数在上的单调递减区间．

【解析】解：方案一：选条件①

由题意可知，，

，，

又函数图象关于原点对称，，

，，，

（1），，；

（2）由，得，

令，得，令，得，

函数在上的单调递减区间为．

方案二：选条件②

，

，

又，，，

（1），，；

（2）由，得，

令，得，令，得，

函数在上的单调递减区间为．

方案三：选条件③

，

又，，，

（1），，；

（2）由，得，

令，得，令，得.

函数在上的单调递减区间为．

二、达标训练

1、（2021年江苏连云港联考）已知有条件①,  条件②;

请在上述两个条件中任选一个，补充在下面题目中，然后解答补充完整的题目．

在锐角△ABC中，内角 A, B, C 所对的边分别为a, b,c , a=, b+c=5,

且满足                   ．

(1) 求角A的大小；

(2) 求△ABC的面积．

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）

【解析】（1）选择条件①,…………………………………1分

法1：由正弦定理得, ………2分

所以,………………………3分

因为, 所以  ………………………………4分

又,…………………5分

所以.  ………………………………………………………6分

法2：由余弦定理得，……2分

化简得………………………………………3分

则， ………………………………4分

又,……………………5分

所以.    ………………………………………………6分

（1）选择条件②………………………………………1分

法3：因为，所以 ……………2分

因为，所以   …………3分

化简得，解得,  ………………………4分

又,………………………5分

所以. ……………………………………………………6分

（2）由余弦定理,   ……………………………7分

得，…………………………………………………8分

所以，    ……………………………10分

于是的面积．………12分

2、（2021年泰州高三期中）在①a=,②S= cosB， ③C=这三个条件中任选-一个，补充在下面问题中，并对其进行求解.

问题:在BC中，内角A, B,C的对边分别为a,b,c,面积为S，

bcosA=acosC+ccosA，b=1,____________，求 c的值.

注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

【解析】 在中，因为，

所以根据正弦定理得                     ………2分

所以,因为，所以                       ………5分

选择①，由余弦定理得，解得      ………10分

选择②，，所以

所以，即，解得                                     ………10分

选择③，，因为，

所以由得                                  ………10分

3、（2020届山东省临沂市高三上期末）在①，，②，，③，三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.

已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，______，求的面积S.

【解析】

选①

∵，，

∴，，

∴

，

由正弦定理得，

∴.

选②

∵，

∴由正弦定理得.

∵，∴.

又∵，

∴，

∴，

∴.

选③

∵ ，，

∴ 由余弦定理得，即，

解得或（舍去）.

，

∴的面积.

故答案为：选①为；选②为；选③为.

4、（2020届山东省烟台市高三上期末）在条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.

在中，角的对边分别为，，，          .

求的面积.

【解析】

若选①：

由正弦定理得，    

即，     

所以，   

因为，所以.     

又，

，，所以， 

所以.  

若选②：

由正弦定理得.   

因为，所以，，

化简得，  

即，因为，所以.   

又因为，

所以，即，

所以. 

若选③：

由正弦定理得， 

因为，所以，

所以，又因为，

所以，  

因为，，所以，

，，所以.       

又，

，，所以，

所以.

5、（2020届山东省德州市高三上期末）已知，，分别为内角，，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.

（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？

（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应的面积.

（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）

【解析】

（1）由①得，，

所以，

由②得，，

解得或（舍），所以，

因为，且，所以，所以，矛盾.

所以不能同时满足①，②.

故满足①，③，④或②，③，④；

（2）若满足①，③，④，

因为，所以，即.

解得.

所以的面积.

若满足②，③，④由正弦定理，即，解得，

所以，所以的面积.

6、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在①；②；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.

在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________________，，求的面积.

【解析】

由正弦定理，得.

由，

得.

由，得.

所以.

又（若，则这与矛盾），

所以.

又，得.

由余弦定理及，

得，

即.将代入，解得.

所以.

在横线上填写“”.

解：由及正弦定理，得

.

又，

所以有.

因为，所以.

从而有.又，

所以

由余弦定理及，

得

即.将代入，

解得.

所以.

在横线上填写“”

解：由正弦定理，得.

由，得，

所以

由二倍角公式，得.

由，得，所以.

所以，即.

由余弦定理及，

得.

即.将代入，

解得.

所以.

7、（2020届山东省潍坊市高三上期末）在①;②这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.

在中，角的对边分别为，已知        ，.

(1)求;

(2)如图，为边上一点，，求的面积

【解析】

解:若选择条件①，则答案为:

(1)在中，由正弦定理得，

因为，所以，

所以，因为，所以.

(2)解法1:设，易知

在中由余弦定理得:，解得.

所以

在中，

所以，所以，

所以

解法2:因为，所以，

因为所以，

所以

因为为锐角，所以

又

所以

所以

若选择条件②，则答案为:

(1)因为，所以，

由正弦定理得，

因为，所以，

因为，所以，

则，所以.

(2)同选择①