湘教版七年级下册1.3 二元一次方程组的应用导学案

实际问题与二元一次方程组（二）（提高）知识讲解

【学习目标】

1．熟悉行程、方案、数字等问题的解决方法；

2. 进一步研究用二元一次方程组解决实际问题．

【要点梳理】

要点一、常见的一些等量关系（二）

1. 行程问题

速度×时间=路程.

   顺水速度=静水速度+水流速度.

   逆水速度=静水速度-水流速度.

2．存贷款问题

利息=本金×利率×期数.

本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) .

年利率＝月利率×12.

月利率＝年利率×.

3.数字问题

    已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．

4．方案问题

在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案．
要点诠释：

方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案．

要点二、实际问题与二元一次方程组

1.列方程组解应用题的基本思路

2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤

设：用两个字母表示问题中的两个未知数；

列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；

解：解方程组，求出未知数的值；

验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；

答：写出答案．

要点诠释：

（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；

（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；

（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.

【典型例题】

类型一、行程问题

【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（一）409143  例7】

1. 某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟，如果他以每小时70千米的速度行驶，则可提前24分钟到达乙地，求甲乙两地间的距离.

【思路点拨】本题中的等量关系为：50×（规定时间+）＝两地距离，

75×（规定时间－）＝两地距离．通过解方程组即可得出两地间距离．

【答案与解析】

解：设规定的时间为x小时，甲乙两地间的距离为y千米. 则由题意可得：

解得：

答：甲乙两地间的距离为140千米.

【总结升华】比较复杂的行程问题可以通过画“线条”图帮助分析，求解时应分清相遇、追及、相向、同向等关键词．

举一反三：

【变式】已知一铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到车身过完桥共用1分钟，整列火车完全在桥上的时间为40秒，求火车的速度及火车的长度．

【答案】

解：设火车速度为x m/s，火车长度为y m．根据题意，得：

解得: 

答：火车速度是20m/s，火车的长度是200m．

类型二、存贷款问题

2. （2015春•高新区期末）某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计50万元，每年需付出4.4万元利息，已知甲种贷款每年的利率为10%，乙种贷款每年的利率为8%，则该公司甲、乙两种贷款的数额分别为多少？

【答案与解析】

解：设该公司甲、乙两种贷款的数额分别为x万元、y万元，

由题意得

解得：，

答：该公司甲、乙两种贷款的数额分别为20万元、30万元．

【总结升华】此题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．

举一反三：

【变式】在银行存款准备金不变的情况下，银行的可贷款总量与存款准备金率成反比例关系．当存款准备金率为7.5%时，某银行可贷款总量为400亿元，如果存款准备金率上调到8%时，该银行可贷款总量将减少多少亿（　　）．

A.20   B.25     C.30     D.35

【答案】B

类型三、数字问题

3.小明和小亮做游戏，小明在一个加数的后面多写了一个0，得到的和为242；小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341.原来的两个数分别为多少？

【思路点拨】在后面多写一个0，实际就是扩大了10倍．两个等量关系为：10×一个加数+另一个加数=242；一个加数+10×另一个加数=341．

【答案与解析】

解：设原来的两个数分别为和，则：

，

解得．
答：原来两个加数分别是21，32．

【总结升华】解决本题的关键是弄清在后面多写一个0，实际就是扩大了10倍．

举一反三：

【变式】（2015春•万州区校级月考）一个两位数十位上的数字是个位上的数字为2倍，若交换十位与个位上的数字，则所得新两位数与原数的和为99，则这个两位数是　　．

【答案】63．

解：设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，依题意有

，

解得，

10y+x=60+3=63．

答：这个两位数是63．

类型四、方案选择问题

4. (嘉兴)一个农机服务队有技术员工和辅助员工共15人，技术员工人数是辅助员工人数的2倍．服务队计划对员工发放奖金共计20000元，按“技术员工个人奖金”A(元)和“辅助员工个人奖金”B(元)两种标准发放，其中A≥B≥800，并且A，B都是100的整数倍．(注：农机服务队是一种农业机械化服务组织，为农民提供耕种、收割等有偿服务．)

    (1)求该农机服务队中技术员工和辅助员工的人数；

    (2)求本次奖金发放的具体方案．

【思路点拨】 (1)有两个等量关系：

    ①技术员工的人数+辅助员工的人数＝15人；

    ②技术员工人数＝辅助员工人数×2．由此，可以设未知数列出方程组求解．

    (2)有一个等量关系：两种标准发放的奖金和为20000元，结合A≥B≥800，且A，B都是100的整数倍，从而分类求解．

【答案与解析】

解：(1)设该农机服务队有技术员工x人，辅助员工y人．

根据题意，得，解得．

    即该农机服务队有技术员工10人，辅助员工5人．

    (2)由(1)，可得10A+5B＝20000．

    因为A≥B≥800，且A，B都是100的整数倍，

    所以当B＝800时，A＝1600；

    当B＝900时，A＝1550(A不是100的整数倍，舍去)；

    当B＝1000时，A＝1500；

    当B＝1100时，A＝1450(A不是100的整数倍，舍去)；

    当B＝1200时，A＝1400；

    当B＝1300时，A＝1350(A不足100的整数倍，舍去)；

    当B＝1400时，A＝1300(A＜B，舍去)；

    因此再取下去都不符合题意．

    所以本次奖金发放的具体方案有三种：

    方案1：技术员工每人1600元，辅助员工每人800元；

    方案2：技术员工每人1500元，辅助员工每人1000元；

    方案3：技术员工每人1400元，辅助员工每人1200元．

【总结升华】本题的第(1)问容易求解．难在由第(2)问得到的等量关系式中含有两个未知数，好在这两个未知数受到两个条件的限制，从而可以分情况求解．

【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（二）409144  例5】

举一反三：

【变式】联想集团某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型电脑每台6000元，B型电脑每台4000元，C型电脑每台2500元，某市一中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由.

【答案】

解：设从该公司购进A型电脑台， B型电脑台， C型电脑z台，则可分3种情况考虑：

 ①只购进A型电脑和B型电脑，

不符合题意，舍去，此方案不可取.

②只购进A型电脑和C型电脑，

符合题意，此方案可取.

③只购进B型电脑和C型电脑，

符合题意，此方案可取.

答：有两种方案供该校选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑29台.【巩固练习】

一、选择题

1.（2015春•连云港期末）甲、乙两人分别从相距40千米的两地同时出发，若同向而行，则5小时后，快者追上慢者；若相向而行，则2小时后，两人相遇，那么快者速度和慢者速度（单位：千米/小时）分别是（　　）

A．14和6 B．24和16 C．28和12 D．30和10

2．一个两位数，它的个位数字与十位数字之和为6，那么符合条件的两位数的个数有（  ）.

A．5 个    B．6 个    C．7 个    D．8 个

3.两人练习跑步，如果乙先跑16米，甲8秒可追上乙，如果乙先跑2秒钟，则甲4秒可追上乙，求甲乙二人每秒各跑多少米？若设甲每秒跑x米，乙每秒跑y米，则所列方程组应该是（  ）.

A.  B.  C.  D.

4. 在我国股市交易中，每买、卖一次要交千分之七点五的各种费用，某投资者以每股10元的价格买入上海股票1000股，当该股票涨到12元时全部卖出，该投资者的实际赢利为（　　）.

A．2000元       B．1925元       C．1835元     D．1910元

5.同学们喜欢足球吗？足球一般是用黑白两种颜色的皮块缝制而成，如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．若一个球上共有黑白皮块32块，请你计算一下，黑色皮块和白色皮块的块数依次为（　　）.

A．16块、16块      B．8块、24块     C．20块、12块     D．12块、20块

6.小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：

则12：00时看到的两位数是（　　）.

A.24        B.42        C.51       D.15

二、填空题

7．某宾馆有单人间和双人间两种房间，入住3个单人间和6个双人间共需1020元，入住1个单人间和5个双人间共需700元，则入住单人间和双人间各5个共需       元．

8.两人在400米的环形跑道上练习赛跑．方向相反时，每32秒相遇一次；方向相同时，每3分钟相遇一次，设两人的速度分别是x米/秒，y米/秒，x＞y，依题意列方程组为________．

9.甲、乙两同学同时从山脚开始爬山，到达山顶后立即下山，在山脚和山顶之间不断往返运动，已知山坡长为360m，甲、乙上山的速度比是6：4，并且甲、乙下山的速度都是各自上山速度的1.5倍，当甲第三次到达山顶时，则此时乙所在的位置是距离山脚下      m．

10.甲乙两人的年收入之比是4：3，支出之比是8：5，一年内两个人各储蓄2500元，则两人的年收入分别为               ．

11.在矩形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是           cm2．

12．（2015秋•重庆校级期中）一个两位数，个位数比十位数大5，如果把这个两位数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，这个两位数是　　．

三、解答题

13.（2015春•孟津县期中）从甲地到乙地的路有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地用54分钟，从乙地到甲地用42分钟，甲地到乙地的全程是多少？

14.某公司计划2012年在甲、乙两个电视台播放总时长为300分钟的广告，已知甲、乙两电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．该公司的广告总费用为9万元，预计甲、乙两个电视台播放该公司的广告能给该公司分别带来0.3万元/分钟和0.2万元/分钟的收益，问该公司在甲、乙两个电视台播放广告的时长应分别为多少分钟？预计甲、乙两电视台2012年为此公司所播放的广告将给该公司带来多少万元的总收益？

15.某电脑公司现有A，B，C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑．希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台(价格如图所示)，恰好用了10万元人民币，其中，甲品牌电脑为A型号电脑，求购买的A型号电脑有几台?

16.某商场用36000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元．其中甲种商品每件进价120元，售价138元；乙种商品每件进价100元，售价120元．
（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品，购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的2倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8160元，乙种商品最低售价为每件多少元？

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】A．

【解析】解：设快者速度和慢者速度分别是x，y，

则，解得.

2. 【答案】B；

3. 【答案】A；

4. 【答案】C；

【解析】本题的等量关系是：盈利=最后收入-购买股票成本-买入时所付手续费-卖出时所付手续费．

5. 【答案】D；

【解析】根据题意可知：本题中的等量关系是“黑白皮块32块”和因为每块白皮有3条边与黑边连在一起，所以黑皮只有3y条边，而黑皮共有边数为5x，依此列方程组求解即可．

6. 【答案】D；

【解析】设小明12时看到的两位数，十位数为x，个位数为y，根据两位数之和为6可列一个方程，再根据匀速行驶，12-13时行驶的里程数等于13-14：30时行驶的里程数除以1.5列出第二个方程，解方程组即可.

二、填空题

7. 【答案】1100；

   【解析】本题关系式为：3个单人间和6个双人间共需1020元，入住1个单人间和5个双人间共需700元，据此得到一个单人间和一个双人间各需多少钱，进而相加后乘以5即可得到所求.

8.【答案】；

9.【答案】240240；

【解析】本题关系式为：路程=速度×时间．如果设甲上山速度为6x，则乙上山速度为4x．首先求出甲第三次到达山顶时所用时间，然后根据二人所行时间相等及他们速度之间的关系求出乙所在的位置是距离山脚的高度．

10．【答案】7500元，5625元7500元，5625元；

【解析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即甲的年收入-支出=2500，乙的年收入-支出=2500．根据这两个等量关系可列出方程组．

11.【答案】4444；

【解析】设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm，根据图示可以列出方程组:

，然后解这个方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积.

12.【答案】49．

【解析】设十位数字为x，个位数字为y，由题意得

，解得：．答：这个两位数是49．

三、解答题

13.【解析】

解：设从甲地到乙地的上坡路为xkm，平路为ykm，

依题意得，

解之得，

∴x+y=3.1km，

答：甲地到乙地的全程是3.1km．

14.【解析】

解：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，由题意得：

解得：

即该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告．
此时公司收益为100×0.3+200×0.2=70万元．
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，甲、乙两电视台2012年为此公司所播放的广告将给该公司带来70万元的总收益．

15.【解析】

解： (1)当选用方案(A，D)时，设购买A型号、D型号电脑分别为x台，y台．

根据题意，得，

解得，经检验不符合题意，舍去．

(2)当选用方案(A，E)时，设购买A型号、E型号电脑分别为x台，y台．

根据题意，得，

解得，所以希望中学购买了7台A型号电脑．

答：希望中学购买了7台A型号电脑．

16.【解析】

解：（1）设商场购进甲种商品x件，乙种商品y件，根据题意得：
 

解得：．
答：该商场购进甲种商品200件，乙种商品120件．

（2）设乙种商品每件售价z元，根据题意，得
120（z-100）+2×200×（138-120）≥8160，
解得：z≥108．
答：乙种商品最低售价为每件108元．