湘教版七年级下册1.3 二元一次方程组的应用学案

实际问题与二元一次方程组（二）（基础）知识讲解

【学习目标】

1．熟悉行程、方案、数字等问题的解决方法；

2. 进一步研究用二元一次方程组解决实际问题．

【要点梳理】

要点一、常见的一些等量关系（二）

1. 行程问题

速度×时间=路程.

   顺水速度=静水速度+水流速度.

   逆水速度=静水速度-水流速度.

2．存贷款问题

利息=本金×利率×期数.

本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数) .

年利率＝月利率×12.

月利率＝年利率×.

3.数字问题

    已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．

4．方案问题

在解决问题时，常常需合理安排．需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案．
要点诠释：

方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案．

要点二、实际问题与二元一次方程组

1.列方程组解应用题的基本思路

2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤

设：用两个字母表示问题中的两个未知数；

列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；

解：解方程组，求出未知数的值；

验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；

答：写出答案．

要点诠释：

（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；

（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；

（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.

【典型例题】

类型一、行程问题

1. A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，一列快车从B地开出．

 (1)如果两车同时开出相向而行，那么3小时后相遇；如果两车同时开出同向(沿BA方向)而行，那么快车12小时可追上慢车，求快车与慢车的速度；

 (2)如果慢车先开出l小时，两车相向而行，那么快车开出几小时可与慢车相遇?

【思路点拨】这两个问题均可以利用路程、速度和时间之间的关系列方程(组)求解．

(1)“同时开出相向而行”可用下图表示．

“同时开出同向而行”可用下图表示．

(2)慢车先开出1小时，两车相向而行，仿照（1）用示意图表示出来，并用等式表示出来．

【答案与解析】

解：(1)设快车和慢车的速度分别为x千米/时和y千米/时．

根据题意，得，

解得

答：快车和慢车的速度分别为100千米/时和60千米/时．

(2)设快车开出x小时可与慢车相遇，则此时慢车开出(x+1)小时，

根据题意，得60(x+1)+100x＝480．

解得．

    答：快车开出小时两车相遇．

【总结升华】比较复杂的行程问题可以通过画“线条”图帮助分析，求解时应分清相遇、追及、相向、同向等关键词．

【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（二）409144  例6】

举一反三：

【变式】两列火车从相距810km的两城同时出发，出发后10h相遇；若第一列火车比第二列火车先出发9h，则第二列火车出发5h后相遇，问这两列火车的速度分别是多少？

【答案】

解：设这两列火车的速度分别为km/h，km/m．

由题意得，

答：这两列火车的速度分别为45 km/h和 36 km/h．

类型二、存贷款问题

2. 蔬菜种植专业户徐先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请了甲，乙两种贷款，共13万元，徐先生每年须付利息6075元，已知甲种贷款的年利率为6%，乙种贷款的年利率为3.5%，则甲，乙两种贷款分别是多少元？

【思路点拨】本题的等量关系：甲种贷款+乙种贷款＝13万元；甲种贷款的年利息+乙种贷款的年利息＝6075元.

【答案与解析】

解：设甲，乙两种贷款分别是x，y元，根据题意得：

解得：
答：甲，乙两种贷款分别是61000元和69000元．

【总结升华】利息＝贷款金额×利息率.

类型三、数字问题

3.有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数．

【思路点拨】本题中的等量关系：①个位上的数－十位上的数＝5；②原数+新数＝143．

【答案与解析】

解：设原来的两位数中，个位上的数字为x，十位上的数字为y．则原数为10y+x，把这两个数的位置对换后，所得的新数为10x+y，根据题意，得：

，解方程组，得．

故这个两位数为10y+x＝10×4+9＝49．

答：这个两位数为49．

【总结升华】对于两位数、三位数的数字问题，关键是明确它们与各数位上的数字之间的关系：两位数＝十位数字×10+个位数字；

三位数＝百位数字×100+十位数字×10+个位数字．

举一反三：

【变式】（2015春•和县期末）一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果把这个两位数加上45，那么恰好成为把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这个两位数是（　　）

A．16 B．25 C．52 D．61

【答案】A

解：设个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数是（10b+a），

由题意，得，

解得．

所以这个两位数是：10×1+6=16．

类型四、方案选择问题

4. （2015春•邵阳县期末）某种饮料有大箱和小箱两种包装，已知3大箱、2小箱共92瓶；5大箱、3小箱共150瓶．求：

①2大箱、5小箱分别有饮料多少瓶？

②若一大箱、一小箱饮料分别标价48元、25元，且两种包装的饮料质量完全相同，请问购买哪种包装的饮料更合算？

【思路点拨】①设大箱一共有x瓶，小箱有y瓶，根据3大箱、2小箱共92瓶；5大箱、3小箱共150瓶即可列出二元一次方程组求出即可；

②利用①中所求分别求出平均每瓶的价格进而得出答案．

【答案与解析】

解：①设大箱一共有x瓶，小箱有y瓶，

根据题意可知3大箱、2小箱共92瓶，

可列式为3x+2y=92，

又知5大箱、3小箱共150瓶，

故可列式为5x+3y=150，

即列方程组为，

解得：，

故2大箱有24×2=48（瓶）、5小箱有饮料：10×5=50（瓶），

答：2大箱有48瓶、5小箱有饮料50瓶；

②∵一大箱、一小箱饮料分别标价48元、25元，

∴大箱平均每瓶：48÷24=2（元），

小箱平均每瓶：25÷10=2.5（元），

所以买大箱合算．

【总结升华】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是要读懂题意，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．

【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（二）409144  例1】

举一反三：

【变式】某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅，经过测试同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐.

（1）求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；

（2）若7个餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由.

【答案】

解：(1)设1个大餐厅可供x名学生就餐，1个小餐厅可供y名学生就餐.则根据题意可得：【巩固练习】

一、选择题

1.（2015春•天河区期末）甲乙两地相距100千米，一艘轮船往返两地，顺流用4小时，逆流用5小时，那么这艘轮船在静水中的船速与水流速度分别是（　　）

A．24km/h，8km/h B．22.5km/h，2.5km/h

C．18km/h，24km/h D．12.5km/h，1.5km/h

2.已知一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字大，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小，求这个两位数所列的方程组正确的是（　　）．

Ａ．   Ｂ．

Ｃ．  Ｄ．

3.甲、乙二人按2：5的比例投资开办了一家公司，约定除去各项开支外，所得利润按投资比例分成．若第一年赢利14000元，那么甲、乙二人分别应分得（  ）．

    A．2000元，5000元           B．5000元，2000元

    C．4000元，10000元          D．10000元，4000元

4．今年哥哥的年龄是妹妹的2倍，2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍，求2年前哥哥和妹妹的年龄，设2年前哥哥x岁，妹妹y岁，依题意，得到的方程组是（  ）．

A．     B．

C．      D．

5. 爸爸将3000元工资的40%存到银行，整存整取二年，年利率2.79%，到期后，他可能取出本金和利息共（　　）元．

A．3000×40%×2.79%

B．3000×40%×2.79%×2

C．3000×40%×2.79%×2+3000

D．3000×40%×2.79%×2+3000×40%

6. 为了参加2011年威海国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行专项训练．某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5千米，用时15分钟．设自行车路段的长度为x米，长跑路段的长度y米．则方程组正确的是（ ）
　A.　　　B.　

 C.　　D.

二、填空题

7.甲、乙两人速度之比是2：3，则他们在相同时间内走过的路程之比是     2：3，他们在走相同路程所需时间之比是       3：2．

8.小张以两种形式储蓄了500元，第一种储蓄的年利率为3.7%，第二种储蓄的年利率为2.25%，一年后得到利息和为15.6元，那么小张以这两种形式储蓄的钱数分别是    元和  

  元．

9.（2015春•高密市校级月考）一个两位数的数字之和是7，这个两位数减去27，它的十位和个位上的数字就交换了位置，则这个两位数是　　．

10. 甲、乙两人开车，同时从相距105千米的两城市相向而行，2小时后相遇．已知甲每小时比乙多行驶2.5千米，则甲的速度       千米/小时，乙的速度       千米/小时．

11. 小龙和小刚两人玩“打弹珠”游戏，小龙对小刚说：“把你珠子的一半给我，我就有10颗珠子”．小刚却说：“只要把你珠子的给我，我就有10颗”，那么小刚的弹珠颗数是      颗．

12. 学生问老师：“您今年多大了”老师风趣地说：“我像你这么大时，你刚1岁；你到我这么大时，我已37岁了”．那么老师现在的年龄是       岁．

三、解答题

13．一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8，将十位上数字与个位上数字对调，得到新数比原数的2倍多10．求原来的两位数．

14.（2015•张家界）小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min．问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？

15. 某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同．随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价是书包单价的4倍少8元．

(1)求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少元?

(2)某假期该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购满100元返购物券30元(销售不足100元不返券，购物券全场通用)，但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说出他可以选择在哪一家购买吗?若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱?

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】B．

【解析】设这艘轮船在静水中的船速为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，

由题意得，，

解得：．

2. 【答案】D；

3. 【答案】C；

   【解析】

解：设甲、乙可获得利润分别是2x元、5x元， 2x+5x=14000，
解得x=2000．
即甲、乙可获得利润分别是4000元、10000元．

4. 【答案】C；

5. 【答案】D；

【解析】先求出存款额（即本金），再根据求利息的计算公式，利息=本金×年利率×时间，求出利息加上本金即可．

6. 【答案】A；

【解析】根据题意可得等量关系：①自行车路段的长度为x米+长跑路段的长度y米=5000米；②骑自行车所用时间+跑步所用时间=15分钟，根据等量关系可得方程组.

二、填空题

7. 【答案】2：3，3：2；

   【解析】根据路程=速度×时间，得当时间一定时，则路程之比等于速度之比；当路程一定时，时间之比和速度之比成反比．

8. 【答案】300，200；

【解析】可以设第一种储蓄的钱数为x元，第二种为y元，根据本金×利率=利息及两种储蓄共500元，可以列出两个方程，求方程组的解即可．

9.【答案】52．

【解析】设个位数上的数字为x，十位数上的数字为y

则x+y=7①  10y+x﹣27=10x+y② 联立①②解得x=2，y=5．

10．【答案】27.527.5，25；25

【解析】设甲的速度x千米/小时，乙的速度y千米/小时，由甲每小时比乙多行驶2.5千米可以得到方程x=y+2.5，又同时从相距105千米的两城市相向而行，2小时后相遇，由此可以列出方程2x+2y=105，联立两个方程组成方程组即可解决问题．

11.【答案】88；6

12.【答案】25；

   【解析】本题中明显的等量关系有两个：学生现在的年龄-年龄差=1；老师现在的年龄+年龄差=37，据此可以设学生和老师现在的年龄分别为x岁、y岁，再列方程组求解．

三、解答题

13.【解析】

解：设原来的两位数的个位数为x，十位数为y，两位数可表示为10y+x，根据题意得：

解得
答：原来的两位数为26．

14.【解析】

解：设平路有xm，下坡路有ym，

根据题意得，

解得：，

答：小华家到学校的平路和下坡路各为300m，400m．

15.【解析】

解： (1)设书包的单价为x元，随身听的单价为y元，根据题意，得：

，

解得．

   (2)在超市A购买随身听与书包需花费现金：452×80％＝361.6(元)．因为361.6＜400，所以可以选择在超市A购买．

     在超市B可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元的购物券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金：360+2＝362(元)．因为362＜400，所以也可以选择在超市B购买．

     因为361.6＜362，所以在超市A购买更省钱．

解得：

答：1个大餐厅可供960名学生就餐，1个小餐厅可供360名学生就餐.

∴能供全校的5300名学生就餐.