初中4.3 平行线的性质导学案

平行线的性质及平移（提高）知识讲解

【学习目标】

1．掌握平行线的性质，并能依据平行线的性质进行简单的推理；

2．了解平行线的判定与性质的区别和联系，理解两条平行线的距离的概念；

3. 掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论；

4．了解图形的平移变换，知道一个图形进行平移后所得的图形与原图形之间所具有的联系和性质，能用平移变换有关知识说明一些简单问题及进行图形设计.

【要点梳理】

要点一、平行线的性质

    性质1：两直线平行，同位角相等；

    性质2：两直线平行，内错角相等；

    性质3：两直线平行，同旁内角互补.

【高清课堂：平行线的性质及命题  403103平行线的性质和判定小结】

要点诠释：
（1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”．

 (2)从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质．

要点二、两条平行线的距离
同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线

的距离．

要点诠释：

（1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离．

(2) 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等．

要点三、命题、定理、证明

1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题．
要点诠释：

（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.

（2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….”

（3）真命题与假命题：

  真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题.

假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题.

2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据.

3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.

要点诠释：

（1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.

（2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．

要点四、平移

1. 定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移．

要点诠释：

（1）图形的平移的两要素：平移的方向与平移的距离．

（2）图形的平移不改变图形的形状与大小，只改变图形的位置.

2. 性质：

图形的平移实质上是将图形上所有点沿同一方向移动相同的距离，平移不改变线段、角的大小，具体来说：

（1）平移后，对应线段平行且相等；

（2）平移后，对应角相等；

（3）平移后，对应点所连线段平行且相等；

（4）平移后，新图形与原图形是一对全等图形.

要点诠释：

（1）“连接各组对应点的线段”的线段的长度实际上就是平移的距离．

(2)要注意“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别，前者是通过连接平移前后的对应点得到的，而后者是原来的图形与平移后的图形上本身存在的.

3. 作图：

平移作图是平移基本性质的应用，在具体作图时，应抓住作图的“四步曲”——定、找、移、连．

   (1)定：确定平移的方向和距离；

   (2)找：找出表示图形的关键点；

   (3)移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点；

   (4)连：按原图形顺次连接对应点．

【典型例题】

类型一、平行线的性质 

1、（2015•泰安）如图，AB∥CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（　　）

　 A．122° B． 151° C． 116° D． 97°

【答案】B．

【解析】

解：∵AB∥CD，∠1=58°，

∴∠EFD=∠1=58°，

∵FG平分∠EFD，

∴∠GFD=∠EFD=×58°=29°，

∵AB∥CD，

∴∠FGB=180°﹣∠GFD=151°．

【总结升华】题考查了平行线的性质，角平分线的定义，比较简单，准确识图并熟记性质是解题的关键．

举一反三：

【变式】(广安)如图所示，已知a∥b∥c，∠1＝105°，∠2＝140°，则∠3的度数是(   )

    A．75°    B．65°    C．55°    D．50°

 【答案】B 

类型二、两平行线间的距离

2、下面两条平行线之间的三个图形，图    ③的面积最大，图      ②的面积最小．
 

【思路点拨】两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半；两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，每个梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半.因为高相同，所以可以通过比较平行四边形的底的长短，得出平行四边形面积的大小.

【答案】图3，图2

【解析】

解：因为它们的高相等，三角形的底是8，8÷2=4，梯形的上、下底之和除以2，（2+7）÷2=4.5；5＞4.5＞4；
所以，图3平行四边形的面积最大，图2三角形的面积最小.
【总结升华】根据平行线的性质，得出梯形、三角形、平行四边形的高相等，求出三角形底的一半，梯形上、下底之和的一半，与平行四边形的底进行比较，由此得出正确答案.

举一反三：

【变式】下图是一个方形螺线．已知相邻均为1厘米，则螺线总长度是       厘米.

【答案】35

类型三、命题 

3.判断下列语句是否是命题，如果是，请写出它的题设和结论．

    (1)同位角相等；

(2)对顶角相等；

（3）画一条5厘米的线段.

【答案与解析】

解：（1）是命题，这个命题的题设是：如果两个角是同位角；结论是：这两个角相等，这个命题是一个错误的命题，即假命题．

（2）是命题，这个命题的题设是：两个角是对顶角；结论是：这两个角相等，这个命题是一个正确的命题，即真命题．

（3）不是命题，它不是判断一件事情的语句．

【总结升华】命题必须对某件事情作出“是什么”或“不是什么”的判断，如疑问句、反问句等不是命题，值得注意的是错误的命题也是命题．判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．

举一反三：

【变式】下列命题是假命题的是（　　）

A．锐角小于90°     B．平角等于两直角   C．若a＞b，则a2＞b2    D．若a2≠b2，则a≠b

【答案】C

类型四、平移

4.如图所示，①、②两图中，哪个图形中的一个三角形可以经过另一个三角形平移得到?

【答案与解析】

 解：图①DE和AC平行，但不相等，DE和BC相等，但不平行，不符合平移的特征，无论怎样平移其中一个三角形也得不到另一个三角形．图②符合平移的特征，三角形PQR沿射线PM方向移动PM长即可得到三角形MNO．

   所以，图②中一个三角形可以经过另一个三角形平移得到．

【总结升华】平移变换的实质是图形沿直线运动，它的形状、大小都不发生变化，否则就不是平移变换．

举一反三：

【变式】（2015•临淄区一模）如图，将△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为　   　．

【答案】20cm．

解：∵△ABC沿BC方向平移2cm得到△DEF，

∴CF=AD=2cm，AC=DF，

∵△ABC的周长为16cm，

∴AB+BC+AC=16cm，

∴四边形ABFD的周长=AB+BC+CF+DF+AD

=AB+BC+AC+CF+AD

=16cm+2cm+2cm

=20cm．

5、(苏州中考模拟)如图所示，在长为50m，宽为22m的长方形地面上修筑宽度都为2 m的道路，余下的部分种植花草，求种植花草部分的面积．

【思路点拨】因种植花草部分比较分散，且有的是不规则的图形，所以直接求其面积较困难．因小路都是宽度相同的长方形，所以可想到把小路平移到一起，这样种植花草部分将汇集成一个长方形，问题便迎刃而解．

【答案与解析】

解：如图所示②把几条2米宽的小路分别平移到大长方形的上边缘和左边缘，则种植花草部分汇集成一个长方形，

显然，这个长方形的长是50-2＝48(m)，宽是22-2＝20(m)，于是种植花草部分的面积为48×20＝960(m2)．

【总结升华】若分步计算则较繁琐．但采用“平移”的手段从整体上把握，问题便迅速求解．

举一反三：

【变式】如图①，在宽为20m、长为30m的矩形地面上修建两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，可得耕地的面积为    (    )

    A．600m2    B．551m2    C．550m2    D．500m2

  【答案】B

类型五、平行的性质与判定综合应用

6、 (湖南模拟)如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，下面给出三个论断：①∠B＝∠E；②AB∥DE；③BC∥EF．请你以其中的两个论断为条件，填入“已知”栏中，以一个论断为结论，填入 “试说明”栏中，使之成为一个完整的正确命题，并将理由叙述出来．

已知：如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，________，________，试说明________．

【答案与解析】

 解：三个论断分别可以组成①②③；①③②；②③①三种不同情形的命题，选择其中任何一个即可．

    以①②③为例，说明如下

已知：如图所示，∠ABC的边BC与∠DEF的边DE交于点K，∠B＝∠E，AB∥DE，试说明BC∥EF．

    理由叙述：因为AB∥DE，所以∠B＝∠CKD．

    又因为∠B＝∠E，所以∠E＝∠CKD，所以BC∥EF．

【总结升华】此类问题具有较强的灵活性，解决这类题的基本思路是先写出可能的结果，再判断其是否正确．

【高清课堂：平行线的性质及命题403103  平行线的性质练习1】

举一反三：

【变式】已知，如图，∠1=∠2，∠3=65°，则∠4＝         .

【答案】115°

7、如图，AB∥CD，点M，N分别为AB，CD上的点.

（1）若点P1在两平行线内部，∠BMP1＝45°，∠DNP1＝30°，则∠MP1N＝         ；

（2）若P1，P2在两平行线内部，且P1P2不与AB平行，如图，请你猜想∠AMP1+∠P1 P2N与∠MP1 P2+∠P2ND的关系，并证明你的结论；

（3）如图，若P1，P2，P3在两平行线内部，顺次连结M，P1，P2，P3，N，且P1P2，P2P3不与AB平行，直接写出你得到的结论.

【答案与解析】

解：（1）75°；

（2）结论：∠AMP1+∠P1 P2N＝∠MP1 P2+∠P2ND

证明：如图，分别过P1，P2作P1Q1∥AB，P2Q2∥AB.

又∵ AB∥CD，∴ ∠AMP1＝∠1，∠2＝∠3，∠4＝∠P2ND.

∴ ∠AMP1+∠P1 P2N＝∠AMP1+∠3+∠4＝∠1+∠2+∠P2ND＝∠MP1 P2+∠P2ND.

（3）∠BMP1+∠P1 P2P3+∠P3 ND＝∠MP1 P2+∠P2 P3N.

【总结升华】通过作平行线，问题便迅速得到解决.

举一反三：

【变式】如图所示，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是(   ) ．

A．120°    B．130°    C．140°    D．150°

【巩固练习】

一、选择题

1. 若∠1和∠2是同旁内角，若∠1＝45°，则∠2的度数是    (    )

    A．45°    B．135°    C．45°或135°    D．不能确定

2.（2015•枣庄）如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（　　）

　 A．15° B． 20° C． 25° D． 30°

3．(湖北襄樊)如图所示，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE＝

150°，则∠C的度数为(   )

    A．150°    B．130°    C．120°    D．100°

4．如图，OP∥QR∥ST，则下列等式中正确的是(    )

    A．∠1+∠2-∠3＝90°

    B．∠2+∠3-∠1＝180°

    C．∠1-∠2+∠3＝180°

    D．∠1+∠2+∠3＝180°

5. 如图，AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，且交EF于点O，则与∠AOE相等的角有(   )

    A．5个    B．4个    C．3个    D．2个

6．（湖北潜江）如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，则∠BCE等于（　　   ）

 A．23°  B．16°  C．20°  D．26°

7. 如图所示，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，把线段EF向右平移3个单位，向下平移1个单位得到线段GH，则阴影部分面积与正方形ABCD的面积比是(  )

    A．3:4    B．5:8    C．9:16    D．1:2

 8. 有下列语句中，真命题的个数是(    )

    ①画直线AB垂直于CD；②若|x|＝|y|，则x2＝y2．

    ③两直线平行，同旁内角相等；④直线a、b相交于点O；⑤等角的余角相等．

    A．2个    B．3个    C．4个    D．5个

二、填空题

9．（四川广安）如图所示，直线∥．直线与直线，分别相交于点、点，，垂足为点，若，则＝ _____，直线之间的距离_____．

10.如图所示，AB∥CD，若∠ABE＝120°，∠DCE＝35°，则有∠BEC＝________．

 11.（四川攀枝花）如图，直线l1∥l2，∠1=55°，∠2=65°，则∠3=　　．

12.（2015•泸州）如图，AB∥CD，CB平分∠ABD．若∠C=40°，则∠D的度数为_______.

13.如图所示，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，将长方形ABCD沿着AB方向平移________cm，才能使平移后的长方形HEFG与原来的长方形ABCD重叠部分的面积为24cm2．

14.如图，已知ED∥AC，DF∥AB，有以下命题：

 ①∠A＝∠EDF；②∠1+∠2＝180°；③∠A+∠B+∠C＝180°；④∠1＝∠3．其中，正确的是________．(填序号)

三、解答题

15．（2015•建湖县一模）如图，AB∥CD，EF分别交AB、CD与M、N，∠EMB=50°，MG平分∠BMF，MG交CD于G，求∠MGC的度数．

16．已知 如图(1)，CE∥AB，所以∠1＝∠A，∠2＝∠B，∴  ∠ACD＝∠1+∠2＝∠A+∠B．这是一个有用的事实，请用这个结论，在图(2)的四边形ABCD内引一条和边平行的直线，求∠A+∠B+∠C+∠D的度数．

17．对于同一平面内的三条直线a、b、c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c．以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成真命题，试写出所有的真命题．

【答案与解析】

一、选择题

1. 【答案】D；

   【解析】本题没有给出两条直线平行的条件，因此同旁内角的数量关系是不确定的.

2.【答案】C．

【解析】∵直尺的两边平行，∠1=20°，∴∠3=∠1=20°，∴∠2=45°﹣20°=25°．

3. 【答案】C；

   【解析】解：如图，

∠3＝30°，∠1＝∠2＝30°，∠C＝180°－30°－30°＝120°.

4. 【答案】B；

   【解析】反向延长射线ST交PR于点M,则在△MSR中，

180°－∠2+180°－∠3+∠1＝180°，即有∠2+∠3-∠1＝180°.

5. 【答案】A  

【解析】与∠AOE相等的角有：∠DCA，∠ACB，∠COF，∠CAB，∠DAC．

6. 【答案】C；

   【解析】解：∵AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，

∴∠BCD＝∠ABC＝46°，∠FEC＋∠ECD＝180°，

∴∠ECD＝180°—∠FEC＝26°，

∴∠BCE＝∠BCD—∠ECD＝46°—26°＝20°．

7. 【答案】B；

   【解析】，，所以．

8. 【答案】A；

   【解析】②⑤为真命题．

二.填空题

9. 【答案】32°，线段AM的长；

【解析】因为，所以∠ABM＝∠1＝58°．又因为AM⊥，所以∠2＋∠ABM＝90°，所以∠2＝90°－58°＝32°．

10.【答案】95°；

【解析】如图，过点E作EF∥AB．所以∠ABE+∠FEB＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，所以∠FEB＝180°-120°＝60°．又因为AB∥CD，EF∥AB，所以EF∥CD，所以∠FEC＝∠DCE＝35°(两直线平行，内错角相等)，所以∠BEC＝∠FEB+∠FEC＝60°+35°＝95°．

11.【答案】60°；

   【解析】解：如图所示：∵l1∥l2，∠2=65°，∴∠6=65°，∵∠1=55°，∴∠1=∠4=55°，在△ABC中，∠6=65°，∠4=55°，∴∠3=180°﹣65°﹣55°=60°．

12.【答案】100°

【解析】∵AB∥CD，∠C=40°，∴∠ABC=40°，∵CB平分∠ABD，∴∠ABD=80°，∴∠D=100°．

13.【答案】6；

【解析】重叠部分长方形的一边长为6cm，另一边长为：24÷6＝4 cm，所以平移的距离为：AE＝10－4＝6 cm.

14.【答案】①②③④；

   【解析】由已知可证出：∠A＝∠1＝∠3＝∠EDF，又∠EDF与∠1和∠3互补.

三.解答题

15.【解析】

解：∵∠EMB=50°，

∴∠BMF=180°﹣50°=130°．

∵MG平分∠BMF，

∴∠BMG=∠BMF=65°．

∵AB∥CD，

∴∠MGC=∠BMG=65°．

16.【解析】

解：如图，过点D作DE∥AB交BC于点E．

    ∴  ∠A+∠2＝180°，∠B+∠3＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．

    又∵  ∠3＝∠1+∠C，

    ∴  ∠A+∠B+∠C+∠1+∠2＝360°，

    即∠A+∠B+∠C+∠ADC＝360°．

17.【解析】

解：(1)如果a∥b，b∥c，那么a∥c；(2)如果a∥b，a∥c，那么b∥c；

(3)如果b∥c，a∥c，那么a∥b；(4)如果b∥c，a⊥b，那么a⊥c；

(5)如果b∥c，a⊥c，那么a⊥b；(6)如果a⊥b，a⊥c，那么b∥c．

【答案】D；提示：如图，过点B作BE∥AM．