2020-2021学年2.2.1平方差公式课后测评

平方差公式（基础） 知识讲解

【学习目标】

1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.

2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式；

3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.

【要点梳理】

要点一、公式法——平方差公式

两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：

要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.

         （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.

（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.

【高清课堂400108 因式分解之公式法 知识要点】

要点二、因式分解步骤

（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；

（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；

（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．

要点三、因式分解注意事项

（1）因式分解的对象是多项式；

（2）最终把多项式化成乘积形式；

（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．

【典型例题】

类型一、公式法——平方差公式 

1、下列各式中能用平方差公式分解因式的有________（填序号）．

①；②；③；④；

⑤；⑥．

【答案】②④⑥；

【解析】①⑤是两个符号相同的平方项，不能用平方差公式分解．③是三项式，不符合平方差公式的特点．②④⑥都能写成两个数（式）的平方差，在实数范围内能够运用平方差公式．

【总结升华】能否运用平方差公式分解因式，应紧紧抓住平方差公式的特点进行判断．分别从项数、符号、平方项等方面来判断．

2、分解因式：

（1）；   （2）；  （3）；  （4）．

【思路点拨】本题都符合平方差公式的特点，可以分别写成两数（式）平方差的形式，然后运用平方差公式进行因式分解.

【答案与解析】

解：（1）．

（2）．

（3）．

（4）．

【总结升华】（1）可以利用加法的交换律把负平方项交换放在后面．（2）“1”是平方项，可以写成“”．（3）一定要把两项写成的形式，再套用平方差公式．

举一反三：

【变式1】分解因式：

（1）；（2）．

【答案】

解：（1）．

（2）

．

【变式2】（2015春•泗阳县期末）下列各式能用平方差公式计算的是（　　）

　 A.（2a+b）（2b﹣a） B.（﹣x+1）（﹣x﹣1） 

C.（a+b）（a﹣2b） D.（2x﹣1）（﹣2x+1）

【答案】B．

类型二、平方差公式的应用

3、（2015春•开江县期末）计算20152﹣2014×2016的结果是（　 　）

　 A.﹣2 B.﹣1       C.0 D.1

【思路点拨】原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．

【答案】D；

【解析】解：原式=20152﹣（2015﹣1）×（2015+1）=20152﹣（20152﹣1）=20152﹣20152+1=1，

故选D.

【总结升华】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

举一反三：

【变式1】如图，在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形，把余下的部分剪成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是（   ）

A.      B.       

C.      D.

【答案】A；

【高清课堂400108 因式分解之公式法 例2】

【变式2】用简便方法计算：（1）；（2）.

【答案】

解：（1）原式

（2）原式

4、已知大正方形的周长比小正方形的周长长96厘米，它们的面积相差960平方厘米．求两个正方形的边长．

【答案与解析】 

 解：设大正方形的边长为，则小正方形的边长为(－24)．

    依题可列．

    运用平方差公式：[＋(－24)][ －(－24)]＝960．

    24(2－24)＝960．

    解得＝32．－24＝32－24＝8．

答：它们的边长分别为32厘米，8厘米．

【总结升华】无论在哪一方面应用因式分解，都须仔细观察，是有公因式还是符合公式，切忌不能盲目乱用，这样应用起来才能达到真正意义上的化简，不然反而走向误区，就是说不要为用因式分解而用，要因题用，能用则用，不能用千万别用，千万别硬套.

【巩固练习】

一.选择题

1. 下列各式中,不能用平方差公式分解因式的是(　　).

   A.     B.       C.      D.

2. 一个多项式分解因式的结果是，那么这个多项式是（ ）．

A．  B．  C．  D．

3. 有一个因式是,则另一个因式为(　　)

A.     B.    C.     D.

4． 在一个边长为12.75的正方形内挖去一个边长为7.25的正方形，则剩下的面积应当是（     ）

    A．    B．    C．    D．

5. （2015•赤峰模拟）已知a+b=4，a﹣b=3，则a2﹣b2=（　 　）

　 A.4 B. 3   C.12 D.1

6. 下列分解因式结果正确的是（    ）

   A.   B.

   C.      D.

二.填空题

7. 分解因式：___________，____________.

8. 利用因式分解计算：__________，____________.

9. 分解因式：___________，______________.

10.（2014•杭州模拟）若a+2b=﹣3，a2﹣4b2=24，则a﹣2b+1=　                　．

11. 若多项式能用平方差公式分解因式，那么单项式M＝________.（写出一个即可）

12. 用公式简算：＝________________.

三. 解答题

13. 把下列各式因式分解

（1）              （2）

（3）           （4）.

14. 已知，. (1)求的值; (2)求和的值.

15.（2014春•牟定县校级期末）新实验中学校园正在进行绿地改造，原有一正方形绿地，现将它每边都增加3米，面积则增加了63平方米，问原绿地的边长为多少？原绿地的面积又为多少？

【答案与解析】

一.选择题

1. 【答案】C；

   【解析】与两项符号相同，不能用平方差公式分解因式.

2. 【答案】B；

【解析】.

3. 【答案】D；

   【解析】.

4. 【答案】C；

   【解析】.

5. 【答案】C；

   【解析】解：∵a+b=4，a﹣b=3，

∴原式=（a+b）（a﹣b）=12，

故选C.

6. 【答案】D；

   【解析】；

           .

二.填空题

7. 【答案】；；

8. 【答案】－198000；5200；

   【解析】；

           .

9. 【答案】；

   【解析】；

          .

10.【答案】-7；

   【解析】解：∵a+2b=﹣3，a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b）=24，

∴a﹣2b=﹣8，

则原式=﹣8+1=﹣7．

故答案为：﹣7.

11.【答案】；

12.【答案】－2009；

   【解析】

          .

三.解答题

13.【解析】

解：（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

14.【解析】

解：

    ∴

解方程组，解得.

15.【解析】

解：设原绿地的边长为x米，则新绿地的边长为x+3米，

根据题意得，（x+3）2﹣x2=63，

由平方差公式得，（x+3+x）（x+3﹣x）=63，

解得，x=9；

∴原绿地的面积为：9×9=81（平方米）；

答：原绿地的边长为9米，原绿地的面积为81平方米．