2022届新教材北师大版圆锥曲线单元测试含答案11

2022届新教材北师大版  圆锥曲线 单 元测试

1、等腰直角三角形ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△ABO的面积是(　　)

A． 8p2    B． 4p2    C． 2p2    D． p2

2、已知双曲线的离心率为2，则a＝（    ）

A．2               B．              C．                D．1

3、抛物线上的点到直线的最短距离为，则正数的值为（     ）

A. B.4 C.5 D.6

4、双曲线的渐近线方程为（  ）

A．    B．    C．    D．

5、△ABC的两个顶点为A（-4,0），B（4,0），△ABC周长为18，则C点轨迹为（   ）

A．（y≠0）         B．（y≠0）

C． （y≠0）        D． （y≠0）

6、若曲线表示双曲线，则k的取值范围是（　　）

A．[﹣4，1） B．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞） C．（﹣4，1） D．（﹣∞，4]∪[1，+∞）

7、设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的一点，且到两焦点的距离之差为2，则是（   ）

A．直角三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．钝角三角形

8、已知分别为双曲线的左，右焦点。过右焦点的直线在第一象限内与双曲线E的渐近线交于点P，与y轴正半轴交于点Q，且点P为的中点，的面积为4，则双曲线E的方程为（   )

A． B． C． D．

9、已知点分别为椭圆与双曲线的公共焦点， 分别是和的离心率，若是和在第一象限内交点， ,则 的值可能在下列哪个区间（    ）

A.     B.     C.     D.

10、双曲线的一个焦点为，那么的值是（  ）

Ａ．1　　　　Ｂ．－1　　　　Ｃ．　　　　Ｄ．－

11、一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆

的圆心在（  ）

A. 一个椭圆上   B.一条抛物线上   C.双曲线的一支上    D. 一个圆上

12、已知椭圆的一个顶点是，离心率，坐标轴为对称轴的椭圆的标准方程是（　）

Ａ．或        Ｂ．

Ｃ．                    Ｄ．或

13、已知点，椭圆上两点A，B，存在异于P，A，B的点E，满足，则点B的横坐标的取值范围为________.

14、短半轴长为，离心率的椭圆的两焦点为F1，F2，过点F1作直线交椭圆于A、B两点，则ABF2的周长是             ．

15、已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点使成立，则该椭圆的离心率的取值范围为__________．

16、已知圆C：x2+y2﹣2x﹣5y+4=0，以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为          

17、已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB(O为坐标原点)为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．

18、已知椭圆及直线：．

（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数的取值范围；

（2）求被椭圆截得的最长弦长及此时直线的方程．

19、已知椭圆C：(a＞b＞0)的左焦点F及点A(0，b)，原点O到直线FA的距离为．

(1)求椭圆C的离心率e；

(2)若点F关于直线l：2x＋y＝0的对称点P在圆O：x2＋y2＝4上，求椭圆C的方程及点P的坐标．

20、设分别是椭圆的左、右焦点，过斜率为1的直线与相交于两点，且成等差数列。

（1）求的离心率；

（2）设点满足，求的方程

21、已知双曲线以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的长轴端点为焦点，求该双曲线方程。

22、设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上一点，，原点到直线的距离是．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若的面积是，求椭圆的方程；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若直线与椭圆交于两点，问：是否存在实数使为钝角？如果存在，求出的范围；如果不存在，说明理由．

参考答案

1、答案B

设等腰直角三角形OAB的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），利用OA=OB可求得x1=x2，进而可求得AB=4p，从而可得S△OAB．

详解

设等腰直角三角形OAB的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），则=2px1，=2px2，

由OA=OB得：+=+，

∴﹣+2px1﹣2px2=0，即（x1﹣x2）（x1+x2+2p）=0，

∵x1＞0，x2＞0，2p＞0，

∴x1=x2，即A，B关于x轴对称．

∴直线OA的方程为：y=xtan45°=x，由解得或，

故AB=4p，

∴S△OAB=×2p×4p=4p2.

故选：B

名师点评

本题考查抛物线的简单几何性质，求得A，B关于x轴对称是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．

2、答案

由已知，，故选.

考查目的：双曲线的几何性质.

3、答案D

设出抛物线上任意一点的坐标，求得该点到直线的距离，利用距离的最小值为，求得的值.

详解

设抛物线上任意一点的坐标为，由点到直线距离公式得，故当时，距离取得最小值为，解得.

故选D.

名师点评

本小题主要考查抛物线上点到直线的距离，考查二次型函数最值有关问题的求解策，属于中档题.

4、答案C

由双曲线的标准方程即可求得其渐近线方程．

详解

∵双曲线的方程为，

∴其渐近线方程为y=±x=±x，

即．

故选：C．

名师点评

本题考查双曲线的简单性质，属于基础题．

5、答案A

由坐标可知，由周长可知，由椭圆的定义可知，点在焦点为，半长轴为的椭圆上运动，由焦点以及半长轴可求得半短轴，则椭圆方程为，当点在横轴上时，点共线，不能构成三角形，所以，所以点的轨迹方程为（），故正确选项为A．

考查目的：椭圆的概念．

易错名师点评本题主要考察椭圆的概念：到两定点距离之和等于定值的动点的轨迹．有已知条件可得到椭圆的半长轴以及焦点坐标，但是，要注意一点，题中要求三点构成三角形，也就是说这三点是不能共线的，即点不能在横轴上，所以在轨迹方程中要去掉纵坐标为的点．

6、答案C

根据题意，由双曲线的标准方程的形式分析可得（k+4）（k﹣1）＜0，解得k的取值范围，即可得答案．

解：根据题意，若曲线表示双曲线，

则有（k+4）（k﹣1）＜0，

解得﹣4＜k＜1．

即k的取值范围是（﹣4，1）．

故选：C．

本题考查双曲线的标准方程，关键是掌握双曲线的标准方程的形式，是基础题．

7、答案A

 由椭圆的方程，可得，所以，

则，

由椭圆的定义得，又到两焦点的距离之差为，

不妨设，则，解得，

又，所以，

所以是直角三角形，故选A．

 名师点评：本题主要考查了椭圆定义及标准方程的应用，三角形形状的判断问题，解答的关键在于运用椭圆的定义列出方程组，得到三角形三边的长度，即可确定三角形的形状．

8、答案B

求得双曲线的一条渐近线方程，联立直线x+y＝c可得P，Q的坐标，再由中点坐标公式，可得a＝b，由三角形的面积公式可得c，进而得到a，b，可得双曲线的方程．

详解

双曲线E：l（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为yx，

代入直线x+y＝c，可得P（，），

且Q（0，c），（c，0），

点P为QF2的中点，可得c，

可得a＝b，

△QF1F2的面积为4，即？2c？c＝4，

解得c＝2，a＝b，

则双曲线的方程为1.

故选：B．

名师点评

本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和中点坐标公式，以及化简运算能力，属于基础题．

9、答案A

设，如图：

则，可得： ，即，由重要不等式知 ，所以，故选A.  

10、答案B

焦点在轴上，所以双曲线的标准方程是，，验证B正确。

11、答案A

12、答案Ａ

分两种情况，一种焦点在x轴上，一种焦点在y 轴上，可得两种情况的方程分别为或 。

13、答案

由题意结合平面向量的线性运算法则可得，设，，由平面向量基本定理可得，代入椭圆方程可得，进而可得，结合二次函数的性质即可得解.

详解：由可得即，

∴.

设，，则，，

∴即，

又点A，B均在椭圆上，

则即，解得，

而，

又，∴，.

故答案为：.

名师点评

本题考查了椭圆性质的应用及向量的线性运算，考查了运算求解能力及转化与化归思想，属于中档题.

14、答案12

15、答案

试题分析：在△PF1F2中，由正弦定理得：，则由已知得：，

即：a|PF1|=|cPF2|

设点（x0，y0）由焦点半径公式，

得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0,则a（a+ex0）=c（a-ex0）

解得：x0=，由椭圆的几何性质知：x0＞-a则>-a

整理得e2+2e-1＞0，解得：e＜--1或e＞-1，又e∈（0，1），

故椭圆的离心率：e∈(-1，1)，故答案为：(-1，1)．

考查目的：本题主要考查了椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围．

点评：解决该试题的关键是能通过椭圆的定义以及焦点三角形的性质得到a,b,c的关系式的转换，进而得到离心率的范围

16、答案y2﹣=1

试题分析：由题意求得双曲线的顶点、焦点的坐标，可得b的值，再根据双曲线的标准方程的特征求出双曲线的标准方程．

试题解：根据圆C：x2+y2﹣2x﹣5y+4=0，可得它与坐标轴的交点分别为A（0，1），B（0，4），

故要求的双曲线的顶点为A（0，1），焦点为B（0，4），

故a=1，c=4 且焦点在y轴上，∴b==，

故要求的双曲线的标准方程为 y2﹣=1，

故答案为：.

考查目的：双曲线的标准方程．

点评：本题主要考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．

17、答案

试题分析：设直线l：y＝kx＋2，联立直线方程和椭圆方程得到韦达定理，再由＝x1x2＋y1y2>0和Δ＝(4k)2－12＝4k2－3>0得到直线l的斜率k的取值范围．

详解

显然直线x＝0不满足题设条件，故设直线l：y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

联立消去y并整理，得x2＋4kx＋3＝0.

所以x1＋x2＝－，x1x2＝.

由Δ＝(4k)2－12＝4k2－3>0，得k>或k<－.①

又0°<∠AOB<90°？cos∠AOB>0？>0，

所以＝x1x2＋y1y2>0.

又y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝，

所以>0，即k2<4.

所以－2<k<2.②

综合①②，得直线l的斜率k的取值范围为.

名师点评

（1）本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查平面向量的数量积，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是把∠AOB(O为坐标原点)为锐角转化为＝x1x2＋y1y2>0.

18、答案（1）；（2）当时，取最大值为，此时直线方程为．

19、答案解：由点F(－ae,0)，点A(0，b)，及得直线FA的方程为，

即．

∵原点O到直线FA的距离为，

∴．解得．

解：设椭圆C的左焦点F关于直线l：2x＋y＝0的对称点为P(x0，y0)，

则有

解得，．

∵P在圆x2＋y2＝4上，∴．

∴a2＝8，b2＝(1－e2)a2＝4．

故椭圆C的方程为，点P的坐标为．

20、答案，

试题分析：（I）由椭圆定义知，又，

得

的方程为，其中。

设，，则A、B两点坐标满足方程组

化简的

则

因为直线AB斜率为1，所以

得故

所以E的离心率

（II）设AB的中点为，由（I）知

，。

由，得，

即

得，从而

故椭圆E的方程为。

21、答案

        椭圆的焦点为，长轴端点为

         双曲线的顶点为，焦点为

         双曲线的方程为

22、答案（Ⅰ）设，，∵,不妨设，

又∵点在椭圆上，∴，从而得，直线的方程为，

整理可得，由题设，原点到直线的距离为,

即，将代入上式化简得，∴，

，．

（Ⅱ）由题设，∴，所求椭圆方程为．

（Ⅲ）设，，将直线代入并化简得

，由韦达定理知，，

且，∴，由题设是钝角，

即．

∴，∴，

∴，∴，

解得，上式满足，

故存在满足条件．