2022届新教材北师大版立体几何单元测试含答案13

2022届新教材北师大版  　立体几何       单元测试

一、选择题

1、用一个体积为的球形铁质原材料切割成为正三棱柱的工业用零配件，则该零配件体积的最大值为（    ）

A. B. C. D.

2、某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（    ）

A． B． C．3 D．6

3、已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为（    ）

A．48 B．64

C．96 D．192

4、三棱锥的四个顶点都在球的表面积上，平面，，，，则球的表面积为（ ）

A． B．

C． D．

5、正方体不在同一侧面上的两顶点，，则正方体外接球体积是（    ）

A． B． C． D．

6、如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中

①BM与ED成 角

②NF与BM是异面直线

③CN与BM成角

④DM与BN是异面直线

以上四个结论中，正确结论的个数是（    ）

A．1个      B．2个       C．3个      D．4个

7、如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为（    ）

A． B． C． D．

8、下列说法中正确的个数是（     ）

①圆锥的轴截面是等腰三角形；②用一个平面去截棱锥，得到一个棱锥和一个棱台；③棱台各侧棱的延长线交于一点；④有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱．

A．0 B．1 C．2 D．3

9、已知一个几何体的三视图如图所示，图中长方形的长为，宽为，圆半径为，则该几何体的体积和表面积分别为（    ）

A.， B.，

C.， D.，

10、已知不同直线、与不同平面、，且，，则下列说法中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

11、《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（音meng，底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何.已知该刍甍的三视图如图所示，则此刍甍的体积等于(    )

A．3 B．5 C．6 D．12

12、已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（    ）

A． B．3 C． D．

二、填空题

13、有如下命题：

①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面；

②如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；

③平行于同一条直线的两条直线平行；

④如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

其中作为公理（基本事实）的是_____（填写序号）．

14、如图为一个几何体的展开图，其中是边长为6的正方形，，，，点、、、及、、、共线，沿图中直线将它们折叠，使、、、四点重合，则需要________个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体

15、如图所示是一个三棱柱形状的容器，平面，，这个容器能装进去的最大的球的体积为（容器壁厚度不计）_______.

16、已知某圆锥的正视图是边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积等于____________

三、解答题

17、（本小题满分10分）如图，在正方体中，？分别是平面？平面的中心，证明:

（1）平面；

（2）平面平面.

18、（本小题满分12分）如图，三棱柱中，D，E，F分别为棱，，中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面.

19、（本小题满分12分）如图在三棱锥中，分别为棱的中点，已知.

求证：（1）直线平面；

（2）平面平面.

20、（本小题满分12分）已知：空间四边形ABCD，E、F分别是AB、AD的中点，求证：EF∥平面BCD

参考答案

1、答案D

解析画出正三棱柱内接于球的直观图，设底面边长，由球的体积公式得，再由勾股定理得正三棱柱的，代入体积公式，利用基本不等式可求得。

详解

如图所示，正三棱柱内接于球的直观图，为底面的中心，因为。

设底面边长，则，

，

等号成立当且仅当，故选D.

点睛

本题以实际问题为背景，本质考查正三棱柱内接于球，考查正三棱柱体积的最值，考查空间想象能力和运算求解能力，注意利用三元基本不等式求最值，使问题求解计算变得更简洁。

2、答案A

解析根据三视图还原原图，然后根据柱体和锥体体积计算公式，计算出几何体的体积.

详解：由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，

且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1，

棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，

所以几何体的体积为：

.

故选：A

点睛

本小题主要考查根据三视图计算几何体的体积，属于基础题.

3、答案B

解析根据三视图得到该几何体是一个高为4，底面是长、宽分别为8和6的矩形的四棱锥，然后代入棱锥的体积公式求解.

详解：由三视图得：该几何体是一个高为4，底面是长、宽分别为8和6的矩形的四棱锥，

如图所示：

所以该几何体的体积为，

故选：B

点睛

本题主要考查三视图的应用以及棱锥的体积，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题.

4、答案B

解析详解：由于平面，，故可将三棱锥补全成一个长方体，这个长方体长宽高分别为，其对角线长为，故圆的半径为，表面积为.

考点：几何体的内接球问题．

5、答案A

解析计算两点之间的距离，再求其一半，即为外接球半径，代值即可计算.

详解

容易知：是正方体的体对角线上的两点坐标

故正方体外接球半径为

故

故选：A.

点睛

本题考查空间中两点之间距离的坐标运算，属基础题.

6、答案C

解析根据展开图，画出立体图形，与垂直，不成，与是异面直线，与成，与是异面直线，故②③④正确，故选C．

7、答案A

解析设球心为，三棱柱的上底面的内切圆的圆心为，该圆与边切于点，根据球的几何性质可得为直角三角形，然后根据题中数据求出圆半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积．

详解：如图，设三棱柱为，且，高．

所以底面为斜边是的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆，圆与边切于点，

则圆的半径为．

设球心为，则由球的几何知识得为直角三角形，且，

所以，即球的半径为，

所以球的体积为．

故选：A．

点睛

本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个：

（1）构造以球半径、球心到小圆圆心的距离和小圆半径为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法．

8、答案C

解析利用空间几何体的概念对每一个命题的正误逐一判断得解.

详解

对于①，圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，①正确；

对于②，只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，②错误；

对于③，棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥所得的几何体，所以它的各侧棱延长线交于一点，③正确；

对于④，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如：把两个同底面的倾斜方向不同的斜四棱柱拼在一起，这个几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但是这个几何体不是四棱柱，所以④错误；

综上所述，正确命题的序号是①③，共2个．

故选：C．

点睛

本题主要考查空间几何体的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

9、答案B

详解：根据三视图可得，该几何体为圆柱中挖去一个圆锥，圆柱底面半径和高均为，圆锥的底面圆的半径为，如图所示：

∴该几何体的体积为；

该几何体的表面积为.

故选B.

点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.

10、答案C

解析根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.

详解：对于，若，则可能为平行或异面直线，错误；

对于，若，则可能为平行、相交或异面直线，错误；

对于，若，且，由面面垂直的判定定理可知，正确；

对于，若，只有当垂直于的交线时才有，错误.

故选：.

点睛

本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.

11、答案B

解析首先由三视图还原几何体，再将刍甍分为三部分求解体积，最后计算求得刍甍的体积.

详解：由三视图换元为如图所示的几何体，该几何体分为三部分，中间一部分是直棱柱，两侧是相同的三棱锥，

并且三棱锥的体积，

中间棱柱的体积 ,

所以该刍甍的体积是.

故选：B

点睛

本题考查组合体的体积，重点考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型.

12、答案B

解析设底面圆半径为，高为，根据题目条件列出关于和的方程组，解出.

详解：设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，

则圆锥的侧面积为，

故表面积为，得①，

又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故，即，

得②，

联立①②得：，.

故答案为：B.

点睛

本题考查圆圆锥中的相关计算，难度一般，解答的关键在于得出底面半径与高的关系.

13、答案①②③

解析根据公理可得出结论.

详解：公理如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，命题②为公理；

公理过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，命题①为公理；

公理如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；

公理平行于同一条直线的两条直线平行，命题③为公理.

命题④为等角定理.

故答案为：①②③.

点睛

本题考查对平面几个公理的理解，属于基础题.

14、答案24

解析先将展开图还原为原图：四棱锥，求出棱锥的体积和正方体的体积，然后确定几何体的个数.

详解

将展开图折叠起来后，得到四棱锥，其中平面，因此该四棱锥的体积为，而棱长为的长方体体积为，所以需要个这样的几何体.

故填：.

点睛

本小题主要考查折叠问题，考查锥体体积计算和正方体体积计算，属于基础题.

15、答案

详解：解：由于，则容器足够长，所以最大的球应与三棱柱的三个侧面相切，作截面如图所示，作，垂足为S.

，由余弦定理得，，，.设圆的半径为r，

，，

球的体积.

故答案为：.

点睛

本题考查球的体积，关键是利用等面积法求球体半径，属于中档题.

16、答案

解析根据体积公式直接计算得到答案.

详解：由于正视图是边长为2的等边三角形，∴圆锥的高为，底面半径为1，

∴.

故答案为：.

点睛

本题考查了圆锥的体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

 (2)根据(1)中的结论再证明即可.

详解：（1）由是正方体,可知,,∵平面,平面,∴平面.

（2）由是正方体,可知,,

∵平面,年平面,

∴平面,由（1）知,平面,又,

∴平面平面.

点睛

本题主要考查了线面平行与面面平行的证明,属于基础题.

解析

（2）由已知可证是平行四边形，进而证明，利用线面平行的判定证明平面，根据面面平行的判定证明平面平面，根据面面平行的性质即可可证平面.

详解：（1）在中，D，E分别为棱，中点.

所以，

因为平面，平面，

所以平面.

（2）在三棱柱中，，

因为E，F分别为，中点，

所以，

所以是平行四边形，

所以，

因为平面，平面，

所以平面，

又因为平面，，

所以平面平面，

所以平面.

点睛

本题考查线面平行的证明，考查利用面面平行证明面面平行，属于基础题.

解析

详解

（1）由于分别是的中点，则有，又平面，平面，所以平面．

（2）由（1），又，所以，又是中点，所以，，又，所以，所以，是平面内两条相交直线，所以平面，又平面，所以平面平面．

考点

线面平行与面面垂直．

解析

详解：空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，

，

平面BCD，平面BCD

∴EF∥平面BCD

点睛

本题主要考查线面平行的判定定理，考查学生空间想象能力，推理论证能力，分析解决问题的能力，属于中档题.

解析