2022届新教材北师大版立体几何单元测试含答案12

2022届新教材北师大版  　立体几何   单 元测试

一、选择题

1、某组合体的三视图如下，则它的体积是（    ）

A． B． C． D．

2、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（    ）

A． B． C． D．

3、某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（   ）

A． B． C．16 D．32

4、已知，，在球的球面上，，，，直线与截面所成的角为，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

5、如图是一个三棱锥的三视图，其俯视图是正三角形，主视图与左视图都是直角三角形.则这个三棱锥的外接球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

6、如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中

①BM与ED成 角

②NF与BM是异面直线

③CN与BM成角

④DM与BN是异面直线

以上四个结论中，正确结论的个数是（    ）

A．1个      B．2个       C．3个      D．4个

7、阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （    ）

A． B． C． D．

8、下列说法中正确的个数是（     ）

①圆锥的轴截面是等腰三角形；②用一个平面去截棱锥，得到一个棱锥和一个棱台；③棱台各侧棱的延长线交于一点；④有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱．

A．0 B．1 C．2 D．3

9、在三棱锥中，，，，，点到底面的距离为2，则三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

10、已知不同直线、与不同平面、，且，，则下列说法中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

11、正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积（ ）

A． B． C． D．

12、已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（    ）

A． B．3 C． D．

二、填空题

13、有如下命题：

①过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面；

②如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；

③平行于同一条直线的两条直线平行；

④如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

其中作为公理（基本事实）的是_____（填写序号）．

14、如图为一个几何体的展开图，其中是边长为6的正方形，，，，点、、、及、、、共线，沿图中直线将它们折叠，使、、、四点重合，则需要________个这样的几何体，就可以拼成一个棱长为12的正方体

15、已知，，垂足分别为A，B，且，若，，则P到l上任一点距离最小值是________.

16、唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示.已知球的半径为，酒杯内壁表面积为.设酒杯上部分（圆柱）的体积为，下部分（半球）的体积为，则的值是______.

三、解答题

17、（本小题满分10分）如图为一简单组合体，其底面为正方形，棱与均垂直于底面，，求证：平面平面.

18、（本小题满分12分）已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量．，＝k，＝k．求证：四点E，F，G，H共面.

19、（本小题满分12分）如图，四棱锥中，平面分别为线段的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面

20、（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点

(1)证明:平面；

(2)平面将四棱锥分成多面体和多面体两部分，求上述两个多面体的体积比

参考答案

1、答案A

解析，故选A．

考点：1、三视图；2、体积．

方法点晴本题主要考查三视图和锥体的体积，计算量较大，属于中等题型．应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正）,主视图与左视图高度保持平齐（简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称．此外本题应注意掌握锥体和柱体的体积公式．

2、答案D

解析由三视图知几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是一个直角三角形，直角边长分别是4，6cm，三棱柱的侧棱与底面垂直，且侧棱长是3，利用体积公式得到结果

详解：由题可得直观图为三棱柱，故体积为：，故选D.

点睛

本题考查由三视图还原几何体并且求几何体的体积，本题解题的关键是看出所给的几何体的形状和长度，熟练应用体积公式，本题是一个基础题．

3、答案A

解析几何体为一个三棱锥，高为4，底面为一个等腰直角三角形，直角边长为4，所以体积是，选A.

4、答案B

解析根据题中数量关系和余弦定理可证为直角三角形，设的中点为，由球的性质可知平面，由线面角的概念可知，在中可求出球的半径，由此即可求出结果.

详解：由题意可知，在中，，，

由余弦定理可知，，

所以，所以为直角三角形，

设的中点为，连接， 如下图所示：

由题意可知平面，

又直线与截面所成的角为，所以，

在中，，所以，即球的半径为，

所以球的表面积为.

故选：B.

点睛

本题考查的知识点是球的表面积，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的关键．

5、答案B

解析由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其外接球的半径，代入球的表面积公式，可得答案.

详解

解：三视图可知几何体是底面为正三角形，边长为：3，

一条侧棱垂直底面正三角形的一个顶点的三棱锥，三棱锥的高为4，

三棱锥补充为三棱柱，三棱柱与三棱锥的外接球是同一个外接球，

由棱柱的底面边长为3，则底面半径为，

由棱柱的高为4，则球心距，

外接球的半径，

故这个三棱锥的外接球的表面积，

故选：B.

点睛

本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状.

6、答案C

解析根据展开图，画出立体图形，与垂直，不成，与是异面直线，与成，与是异面直线，故②③④正确，故选C．

7、答案C

解析设球的半径为R，根据组合体的关系，圆柱的表面积为，解得球的半径，再代入球的体积公式求解.

详解：设球的半径为R，

根据题意圆柱的表面积为，

解得，

所以该球的体积为 .

故选：C

点睛

本题主要考查组合体的表面积和体积，还考查了对数学史了解，属于基础题.

8、答案C

解析利用空间几何体的概念对每一个命题的正误逐一判断得解.

详解

对于①，圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，①正确；

对于②，只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，②错误；

对于③，棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥所得的几何体，所以它的各侧棱延长线交于一点，③正确；

对于④，有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如：把两个同底面的倾斜方向不同的斜四棱柱拼在一起，这个几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但是这个几何体不是四棱柱，所以④错误；

综上所述，正确命题的序号是①③，共2个．

故选：C．

点睛

本题主要考查空间几何体的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

9、答案C

解析首先根据垂直关系可确定，由此可知为三棱锥外接球的球心，在中，可以算出的一个表达式，在中，可以计算出的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积．

详解：取中点，由，可知：，

为三棱锥外接球球心，

过作平面，交平面于，连接交于，连接，，，

，，，为的中点

由球的性质可知：平面，，且．

设，

，，

，在中，，

即，解得：，

三棱锥的外接球的半径为：，

三棱锥外接球的表面积为．

故选：.

点睛

本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置.

10、答案C

解析根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果.

详解：对于，若，则可能为平行或异面直线，错误；

对于，若，则可能为平行、相交或异面直线，错误；

对于，若，且，由面面垂直的判定定理可知，正确；

对于，若，只有当垂直于的交线时才有，错误.

故选：.

点睛

本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.

11、答案A

解析详解：如图:

正四棱锥的高PO，斜高PE，

底面边心距OE组成直角△POE．

∵OE=2cm，∠OPE=30°，

∴斜高h′=PE=，

∴S正棱锥侧=

故选：A

12、答案B

解析设底面圆半径为，高为，根据题目条件列出关于和的方程组，解出.

详解：设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，

则圆锥的侧面积为，

故表面积为，得①，

又底面圆周长等于侧面展开半圆的弧长，故，即，

得②，

联立①②得：，.

故答案为：B.

点睛

本题考查圆圆锥中的相关计算，难度一般，解答的关键在于得出底面半径与高的关系.

13、答案①②③

解析根据公理可得出结论.

详解：公理如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，命题②为公理；

公理过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，命题①为公理；

公理如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；

公理平行于同一条直线的两条直线平行，命题③为公理.

命题④为等角定理.

故答案为：①②③.

点睛

本题考查对平面几个公理的理解，属于基础题.

14、答案24

解析先将展开图还原为原图：四棱锥，求出棱锥的体积和正方体的体积，然后确定几何体的个数.

详解

将展开图折叠起来后，得到四棱锥，其中平面，因此该四棱锥的体积为，而棱长为的长方体体积为，所以需要个这样的几何体.

故填：.

点睛

本小题主要考查折叠问题，考查锥体体积计算和正方体体积计算，属于基础题.

15、答案

解析延展平面交于点，可推出，则即为所求，在三角形中，由正弦定理可得结果.

详解

如图所示：延展平面交于点，

因为，，所以，

同理，

又，所以平面，

因为平面，所以，

所以即为所求，

因为，，

所以，

所以四点共圆，其直径为，

在三角形中，由正弦定理得.

故答案为：

点睛

本题考查了直线与平面垂直的判定和性质，考查了正弦定理，考查了运算求解能力，属于中档题.

16、答案2.

解析设圆柱的高为，表示出表面积可得，再分别表示出，即可.

详解：解：设酒杯上部分高为，

则酒杯内壁表面积，

则，

所以，，

故，

故答案为：2.

点睛

本题考查圆柱、球体积及表面积的公式，需熟记公式，属于基础题.

详解：由于四边形是正方形，，

平面，平面，平面，

平面，平面，，

平面，平面，平面，

，平面平面.

点睛

本题考查面面平行的证明，考查推理能力，属于基础题.

解析

18、答案证明见解析.

详解：证明：如图，

∵；∴；

EF∥AB，且EF＝|k|AB；

同理HG∥DC，且HG＝|k|DC，AB＝DC；

∴EF∥HG，且EF＝HG；

∴四边形EFGH为平行四边形；

∴四点E，F，G，H共面.

点睛

本题考查点线面的位置关系，属于基础题.证明平行四边形是证明四点共面的常用方法.

解析

19、答案（1）证明见详解（2）证明见详解

（2）由线段关系可证，又由平面可得，进而可得，再结合四边形是菱形可得，即可求证；

详解：（1）

设交点为，连接，又，

又，所以四边形是菱形，则是中点，

又为中点，是中位线，，

平面，平面，平面；

（2）由（1）可知四边形是菱形，，又平面可得，

为中点可得，又，四边形为平行四边形，，

，，平面，又平面，

平面平面

点睛

本题考查线面平行面面垂直的证明，属于中档题

解析

20、答案(1)证明见解析；(2)2:1

 (2)先求,,从而可得.

详解

证明（1）取中点，连接、，依题意，

四边形是平行四边形，

所以.

又面，面，

面.

（2）因为,

所以,

点睛

本题考查了线面平面的判定定理以及棱锥的体积公式.属于中档题.

解析