2021学年第29章 直线与圆的位置关系综合与测试精品精练
展开九年级数学下册第二十九章直线与圆的位置关系专题测试
考试时间:90分钟;命题人:数学教研组
考生注意:
1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题 30分)
一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
1、如图,正方形ABCD的边长为8,若经过C,D两点的⊙O与直线AB相切,则⊙O的半径为( )
A.4.8 B.5 C.4 D.4
2、已知⊙O的半径为4,点P 在⊙O外部,则OP需要满足的条件是( )
A.OP>4 B.0≤OP<4 C.OP>2 D.0≤OP<2
3、如图,在平面直角坐标系中,,,.则△ABC的外心坐标为( )
A. B. C. D.
4、如图,AB,BC,CD分别与⊙O相切于E、F、G三点,且ABCD,BO=3,CO=4,则OF的长为( )
A.5 B. C. D.
5、已知⊙O的半径为4,,则点A在( )
A.⊙O内 B.⊙O上 C.⊙O外 D.无法确定
6、已知半圆O的直径AB=8,沿弦EF折叠,当折叠后的圆弧与直径AB相切时,折痕EF的长度m( )
A.m=4 B.m=4 C.4≤m≤4 D.4≤m≤4
7、直角三角形的外接圆半径为3,内切圆半径为1,则该直角三角形的周长是( )
A.12 B.14 C.16 D.18
8、已知⊙O的直径为10cm,圆心O到直线l的距离为5cm,则直线l与⊙O的位置关系是( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切
9、在ABC中,∠B=45°,AB=6;①AC=4;②AC=8;③外接圆半径为4.请在给出的3个条件中选取一个,使得BC的长唯一.可以选取的是( )
A.① B.② C.③ D.①或③
10、以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则( )
A.不能构成三角形 B.这个三角形是等边三角形
C.这个三角形是直角三角形 D.这个三角形是等腰三角形
第Ⅱ卷(非选择题 70分)
二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)
1、如图,已知正方形ABCD和正△EGF都内接于⊙O,当EF∥BC时,的度数为 _____.
2、如图,AB是半圆O的弦,DE是直径,过点B的切线BC与⊙O相切于点B,与DE的延长线交于点C,连接BD,若四边形OABC为平行四边形,则∠BDC的度数为______.
3、半径为3cm的圆内有长为的弦,则此弦所对的圆周角的度数为______.
4、已知圆O的半径为10cm,OP=8cm,则点P和圆O的位置关系是________.
5、如图,在ABC中,∠C=90°,AB=10,在同一平面内,点O到点A,B,C的距离均等于a(a为常数).那么常数a的值等于________.
三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)
1、如图,是的直径,是圆上两点,且有,连结,作的延长线于点.
(1)求证:是的切线;
(2)若,求阴影部分的面积.(结果保留)
2、如图,是的切线,点在上,与相交于,是的直径,连接,若.
(1)求证:平分;
(2)当,时,求的半径长.
3、如图,是的直径,是半径,连接,.延长至点,使,过点作交的延长线于点.
(1)求证:是的切线;
(2)若,,求半径的长.
4、如图,点E是的内心,AE的延长线交BC于点F,交的外接圆点D.过D作直线.
(1)求证:DM是的切线;
(2)求证:;
(3)若,,求的半径.
5、如图,在中,,⊙O是的外接圆,过点C作,交⊙O于点D,连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使,连接AF.
(1)求证:;
(2)求证:AF是⊙O的切线.
-参考答案-
一、单选题
1、B
【解析】
【分析】
连接EO,延长EO交CD于F,连接DO,设半径为x.构建方程即可解决问题.
【详解】
解:设⊙O与AB相切于点E.连接EO,延长EO交CD于F,连接DO,
再设⊙O的半径为x.
∵AB切⊙O于E,
∴EF⊥AB,
∵AB∥CD,
∴EF⊥CD,
∴∠OFD=90°,
在Rt△DOF中,∵∠OFD=90°,OF2+DF2=OD2,
∴(8-x)2+42= x2,
∴x=5,
∴⊙O的半径为5.
故选:B.
【点睛】
本题考查了切线的性质、正方形的性质、垂径定理、勾股定理等知识,解题的关键是灵活运用这些知识解决问题,学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.
2、A
【解析】
【分析】
点在圆外,则点与圆心的距离大于半径,根据点与圆的位置关系解答.
【详解】
解:∵⊙O的半径为4,点P 在⊙O外部,
∴OP需要满足的条件是OP>4,
故选:A.
【点睛】
此题考查了点与圆的位置关系,熟记点在圆内、圆上、圆外的判断方法是解题的关键.
3、D
【解析】
【分析】
由BC两点的坐标可以得到直线BC∥y轴,则直线BC的垂直平分线为直线y=1,再由外心的定义可知△ABC外心的纵坐标为1,则设△ABC的外心为P(a,-1),利用两点距离公式和外心的性质得到,由此求解即可.
【详解】
解:∵B点坐标为(2,-1),C点坐标为(2, 3),
∴直线BC∥y轴,
∴直线BC的垂直平分线为直线y=1,
∵外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,
∴△ABC外心的纵坐标为1,
设△ABC的外心为P(a,1),
∴,
∴,
解得,
∴△ABC外心的坐标为(-2, 1),
故选D.
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形,外心的性质与定义,两点距离公式,解题的关键在于能够熟知外心是三角形三边垂直平分线的交点.
4、D
【解析】
【分析】
连接OF,OE,OG,根据切线的性质及角平分线的判定可得OB平分,OC平分,利用平行线的性质及角之间的关系得出,利用勾股定理得出,再由三角形的等面积法即可得.
【详解】
解:连接OF,OE,OG,
∵AB、BC、CD分别与相切,
∴,,,且,
∴OB平分,OC平分,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,
,
∴,
∴,
故选:D.
【点睛】
题目主要考查圆的切线性质,角平分线的判定和性质,平行线的性质,勾股定理等,理解题意,作出辅助线,综合运用这些知识点是解题关键.
5、C
【解析】
【分析】
根据⊙O的半径r=4,且点A到圆心O的距离d=5知d>r,据此可得答案.
【详解】
解:∵⊙O的半径r=4,且点A到圆心O的距离d=5,
∴d>r,
∴点A在⊙O外,
故选:C.
【点睛】
本题主要考查点与圆的位置关系,点与圆的位置关系有3种.设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:①点P在圆外⇔d>r;②点P在圆上⇔d=r;③点P在圆内⇔d<r.
6、D
【解析】
【分析】
根据题意作出图形,根据垂径定理可得,设,则,分情况讨论求得最大值与最小值,即可解决问题
【详解】
解:如图,
根据题意,折叠后的弧为,为切点,设点为所在的圆心,的半径相等,即,连接,设交于点,
根据折叠的性质可得,又则四边形是菱形,且
设,则
则当取得最大值时,取得最小值,即取得最小值,
当取得最小值时,取得最大值,
根据题意,当点于点重合时,四边形是正方形
则
此时
当点与点重合时,此时最小,
则
即
则
故选D
【点睛】
本题考查了垂径定理,切线的性质,折叠的性质,勾股定理,分别求得的最大值与最小值是解题的关键.
7、B
【解析】
【分析】
⊙I切AB于E,切BC于F,切AC于D,连接IE,IF,ID,得出正方形CDIF推出CD=CF=1,根据切线长定理得出AD=AE,BE=BF,CF=CD,求出AD+BF=AE+BE=AB=6,即可求出答案.
【详解】
解:如图,⊙I切AB于E,切BC于F,切AC于D,连接IE,IF,ID,
则∠CDI=∠C=∠CFI=90°,ID=IF=1,
∴四边形CDIF是正方形,
∴CD=CF=1,
由切线长定理得:AD=AE,BE=BF,CF=CD,
∵直角三角形的外接圆半径为3,内切圆半径为1,
∴AB=6=AE+BE=BF+AD,
即△ABC的周长是AC+BC+AB=AD+CD+CF+BF+AB=6+1+1+6=14,
故选:B.
【点睛】
本题考查了直角三角形的外接圆与内切圆,正方形的性质和判定,切线的性质,切线长定理等知识点的综合运用.
8、B
【解析】
【分析】
圆的半径为 圆心O到直线l的距离为 当时,直线与圆相切,当时,直线与圆相离,当时,直线与圆相交,根据原理直接作答即可.
【详解】
解: ⊙O的直径为10cm,圆心O到直线l的距离为5cm,
⊙O的半径等于圆心O到直线l的距离,
直线l与⊙O的位置关系为相切,
故选B
【点睛】
本题考查的是直线与圆的位置关系的判定,掌握“直线与圆的位置关系的判定方法”是解本题的关键.
9、B
【解析】
【分析】
作AD⊥BC于D,求出AD的长,根据直线和圆的位置关系判断即可.
【详解】
解:作AD⊥BC于D,
∵∠B=45°,AB=6;
∴,
设三角形ABC1的外接圆为O,连接OA、OC1,
∵∠B=45°,
∴∠O=90°,
∵外接圆半径为4,
∴;
∵
∴以点A为圆心,AC为半径画圆,如图所示,当AC=4时,圆A与射线BD没有交点;
当AC=8时,圆A与射线BD只有一个交点;当AC= 时,圆A与射线BD有两个交点;
故选:B.
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质和射线与圆的交点,解题关键是求出AC长和点A到BC的距离.
10、C
【解析】
【分析】
分别计算出正三角形、正方形、正六边形的边心距,后根据勾股定理的逆定理,等腰三角形的判定,等边三角形的判定,三角形构成的条件,判断即可.
【详解】
如图,∵正三角形、正方形、正六边形都内接于半径为1的圆,边心距分别为OC,OE,OG,OA=1,∠AOC=60°,∠AOE=45°,∠AOG=30°,
∴OC=OAcos60°=,OE= OAcos45°=,OG= OAcos30°=,
∵,
∴这个三角形是直角三角形,
故选C.
【点睛】
本题考查了正多边形与圆,特殊角的三角函数,勾股定理的逆定理,熟练掌握正多边形的计算是解题的关键.
二、填空题
1、
【解析】
【分析】
连接,并延长交于点,连接,先根据圆内接正多边形的性质可得,再根据圆周角定理可得,然后根据直角三角形的性质可得,从而可得,于是可得答案.
【详解】
解:如图,连接,并延长交于点,连接,
正方形和正都内接于,
,
由圆周角定理得:,
,
,
,
,
则的度数为,
故答案为:.
【点睛】
本题考查了圆周角定理、圆内接正多边形的性质等知识点,熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题关键.
2、
【解析】
【分析】
先由切线的性质得到∠OBC=90°,再由平行四边形的性质得到BO=BC,则∠BOC=∠BCO=45°,由OD=OB,得到∠ODB=∠OBD,由∠ODB+∠OBD=∠BOC,即可得到∠ODB=∠OBD=22.5°,即∠BDC=22.5°.
【详解】
解:∵BC是圆O的切线,
∴∠OBC=90°,
∵四边形ABCO是平行四边形,
∴AO=BC,
又∵AO=BO,
∴BO=BC,
∴∠BOC=∠BCO=45°,
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD,
∵∠ODB+∠OBD=∠BOC,
∴∠ODB=∠OBD=22.5°,即∠BDC=22.5°,
故答案为:22.5°.
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质,切线的性质,等腰三角形的性质与判定,三角形外角的性质,熟知切线的性质是解题的关键.
3、60°或120°
【解析】
【分析】
如下图所示,分两种情况考虑:D点在优弧CDB上或E点在劣弧BC上时,根据三角函数可求出∠OCF的大小,进而求出∠BOC的大小,再由圆周角定理可求出∠D、∠E大小,进而得到弦BC所对的圆周角.
【详解】
解:分两种情况考虑:D在优弧CDB上或E在劣弧BC上时,可得弦BC所对的圆周角为∠D或∠E,如下图所示,
作OF⊥BC,由垂径定理可知,F为BC的中点,
∵BC=,
∴CF=BF=BC=× =,
又因为半径为3,
∵OC=3,
在Rt△FOC中,cos∠OCF= =÷3=,
∴∠OCF=30°,
∵OC=OB,
∴∠OCF=∠OBF=30°,
∴∠COB=120°,
∴∠D=∠COB=×120°=60°,
又圆内接四边形的对角互补,
∴∠E=120°,
则弦BC所对的圆周角为60°或120°.
故答案为:60°或120°.
【点睛】
此题考查了圆周角定理,圆内接四边形的性质,锐角三角函数定义,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握圆周角定理是解本题的关键.
4、点P在圆内
【解析】
【分析】
要确定点与圆的位置关系,主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系,设点与圆心的距离d,则d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上;当d<r时,点在圆内.
【详解】
解:∵点P到圆心的距离OP=8cm,小于⊙O的半径10cm,
∴点P在圆内.
故答案为:点P在圆内.
【点睛】
本题考查了对点与圆的位置关系的判断.关键要记住若半径为r,点到圆心的距离为d,则有:当d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上,当d<r时,点在圆内.
5、5
【解析】
【分析】
直接利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解.
【详解】
解:根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,
即可知道点到点A,B,C的距离相等,
如下图:
,
,
故答案是:5.
【点睛】
本题考查了直角三角形的外接圆的外心,解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解.
三、解答题
1、 (1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)要证明DE是⊙O的切线,所以连接OD,只要求出∠ODE=90°即可解答;
(2)连接BD,利用Rt△ADB的面积加上弓形面积即可求出阴影部分的面积.
(1)
证明:连接OD,
∵,
∴∠CAD=∠BAD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠CAD=∠ODA,
∴AE∥OD,
∴∠E+∠ODE=90°,
∵DE⊥AC,
∴∠E=90°,
∴∠ODE=180°﹣∠E=90°,
∵OD是圆O的半径,
∴DE是⊙O的切线;
(2)
连接BD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∵∠ADE=60°,∠E=90°,
∴∠CAD=90°﹣∠ADE=30°,
∴∠DAB=∠CAD=30°,
∴AB=2BD,
∵,
∴
∴BD=2,BA=4,
∴OD=OB=2,
∴△ODB是等边三角形,
∴∠DOB=60°,
∴△ADB的面积=AD•DB
=×2×2
=2,
∵OA=OB,
∴△DOB的面积=△ADB的面积=,
∴阴影部分的面积为:
△ADB的面积+扇形DOB的面积﹣△DOB的面积
=2﹣
=,
∴阴影部分的面积为:.
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质,圆周角定理,扇形的面积公式,勾股定理,含30°角的直角三角形,根据题目的已知条件并结合图形,添加适当的辅助线是解题的关键.
2、 (1)见解析
(2)的半径长为.
【解析】
【分析】
(1)根据切线的性质,可得,由平行线的性质,等边对等角,等量代换即可得,进而得证;
(2)连接,根据直径所对的圆周角是直角,勾股定理求得,证明列出比例式,代入数值求解可得,进而求得半径
(1)
证明:如图,连接,
∵是的切线,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,即平分;
(2)
解:如图,连接,
在中,,,
由勾股定理得:,
∵是的直径,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,即,
解得:,
∴的半径长为.
【点睛】
本题考查了切线的性质,直径所对的圆周角是直角,相似三角形的性质与判定,勾股定理,掌握圆的相关知识以及相似三角形的是解题的关键.
3、 (1)证明见解析
(2)⊙O半径的长为
【解析】
【分析】
(1)根据角度的数量关系,可得,即,进而可证是的切线;
(2)由题意知,,由可得的值,由,知,,得,在中,,求解即可.
(1)
证明:∵是的直径
∴
∴
∵
∴
∴,
∴
∴是的切线;
(2)
解:∵,
∴
∵
∴
∵,
∴
∴,
∵
∴
∴,
在中,,即
∴
∴半径长为.
【点睛】
本题考查了切线的判定,勾股定理,正切值.解题的关键在于对知识的灵活运用.
4、 (1)见解析
(2)见解析
(3)⊙O的半径为5.
【解析】
【分析】
(1)连接OD交BC于H,根据圆周角定理和切线的判定即可证明;
(2)连接BD,由点E是△ABC的内心,得到∠ABE=∠CBE,∠DBC=∠BAD,推出∠BED=∠DBE,根据等角对等边得到BD=DE;
(3)根据垂径定理和勾股定理即可求出结果.
(1)
证明:连接OD交BC于H,如图,
∵点E是△ABC的内心,
∴AD平分∠BAC,
即∠BAD=∠CAD,
∴,
∴OD⊥BC,BH=CH,
∵DM∥BC,
∴OD⊥DM,
∴DM是⊙O的切线;
(2)
证明:∵点E是△ABC的内心,
∴∠ABE=∠CBE,
∵,
∴∠DBC=∠BAD,
∴∠DEB=∠BAD+∠ABE=∠DBC+∠CBE=∠DBE,
即∠BED=∠DBE,
∴BD=DE;
(3)
解:设⊙O的半径为r,
连接OD,OB,如图,
由(1)得OD⊥BC,BH=CH,
∵BC=8,
∴BH=CH=4,
∵DE=2,BD=DE,
∴BD=2,
在Rt△BHD中,BD2=BH2+HD2,
∴(2)2=42+HD2,解得:HD=2,
在Rt△BHO中,
r2=BH2+(r-2)2,解得:r=5.
∴⊙O的半径为5.
【点睛】
本题考查了三角形的内心,切线的判定与性质,三角形的外接圆与外心,圆周角定理,垂径定理,解决本题的关键是综合运用以上知识.
5、 (1)见解析;
(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)由AB=AC知∠ABC=∠ACB,结合∠ACB=∠BCD,∠ABC=∠ADC得∠BCD=∠ADC,从而得证;
(2)连接OA,由∠CAF=∠CFA知∠ACD=∠CAF+∠CFA=2∠CAF,结合∠ACB=∠BCD得∠ACD=2∠ACB,∠CAF=∠ACB,据此可知AF∥BC,从而得OA⊥AF,从而得证.
(1)
解:∵,
∴,
又∵,
∴,
∴ ;
(2)
解:如图,连接OA,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵已知,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴AF为⊙O的切线.
【点睛】
本题考查了圆周角定理、垂径定理推论、切线的判定、平行线的判定和性质,熟练掌握切线的判定定理是解题的关键.
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