冀教版九年级下册第29章 直线与圆的位置关系综合与测试优秀练习题

九年级数学下册第二十九章直线与圆的位置关系综合训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，PA是的切线，切点为A，PO的延长线交于点B，若，则的度数为（       ）．

A．20° B．25° C．30° D．40°

2、如图，是等边三角形的外接圆，若的半径为2，则的面积为（       ）

A． B． C． D．

3、在同一平面内，有一半径为6的⊙O和直线m，直线m上有一点P，且OP=4；则直线m与⊙O的位置关系是 （        ）

A．相交 B．相离 C．相切 D．不能确定

4、如图是一个含有3个正方形的相框，其中∠BCD＝∠DEF＝90°，AB＝2，CD＝3，EF＝5，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，G， H三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（       ）

A． B． C． D．

5、已知半圆O的直径AB＝8，沿弦EF折叠，当折叠后的圆弧与直径AB相切时，折痕EF的长度m（　　）

A．m＝4 B．m＝4 C．4≤m≤4 D．4≤m≤4

6、直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，则该直角三角形的周长是（       ）

A．12 B．14 C．16 D．18

7、如图所示，⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为7，P是直线l上的一个动点，PQ与⊙O相切于点Q．则PQ的最小值为（       ）

A． B． C．2 D．2

8、如图，边长为4的正三角形外接圆，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分面积为（　　）

A．12+2π B．4+π C．24+2π D．12+14π

9、已知的半径为5cm，点P到圆心的距离为4cm，则点P和圆的位置关系（   ）

A．点在圆内 B．点在圆外 C．点在圆上 D．无法判断

10、已知是正六边形的外接圆，正六边形的边心距为，将图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为（       ）

A．1 B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知线段PQ=2cm，以P为圆心，1.5cm为半径画圆，则点Q与⊙P的位置关系是点Q在______．（填“圆内”、“圆外”或“圆上”）

2、如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，若AD＝5，BE＝12，则△ABC的周长为_____．

3、如图，点O和点I分别是△ABC的外心和内心，若∠BOC＝130°，则∠BIC＝______．

4、下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．

已知：⊙O和⊙O外一点P．

求作：过点P的⊙O的切线．作法：如图，

（1）连接OP；

（2）分别以点O和点P为圆心，大于的长半径作弧，两弧相交于M，N两点；

（3）作直线MN，交OP于点C；

（4）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；

（5）作直线PA，PB．直线PA，PB即为所求作⊙O的切线

完成如下证明：

证明：连接OA，OB，

∵OP是⊙C直径，点A在⊙C上

∴∠OAP=90°（___________）（填推理的依据）．

∴OA⊥AP．

又∵点A在⊙O上，

∴直线PA是⊙O的切线（___________）（填推理的依据）．

同理可证直线PB是⊙O的切线．

5、如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．则∠APB=________度；

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，AB是ΘO的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．

(1)判断DE所在直线与ΘO的位置关系，并说明理由；

(2)若AE＝4，ED＝2，求ΘO的半径．

2、如图，在中，，平分交于点D，点O在上，以点O为圆心，为半径的圆恰好经过点D，分别交、于点E、F．

(1)试判断直线与的位置关系，并说明理由；

(2)若，，求阴影部分的面积（结果保留）．

3、如图，AB为的切线，B为切点，过点B作，垂足为点E，交于点C，连接CO，并延长CO与AB的延长线交于点D，与交于点F，连接AC．

(1)求证：AC为的切线：

(2)若半径为2，．求阴影部分的面积．

4、如图，在中，，BO平分，交AC于点O，以点O为圆心，OC长为半径画．

(1)求证：AB是的切线；

(2)若，，求的半径．

5、如图，在中，，⊙O是的外接圆，过点C作，交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使，连接AF．

(1)求证：；

(2)求证：AF是⊙O的切线．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【解析】

【分析】

连接OA，如图，根据切线的性质得∠PAO=90°，再利用互余计算出∠AOP=50°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠B的度数．

【详解】

解：连接OA，如图，

∵PA是⊙O的切线，

∴OA⊥AP，

∴∠PAO=90°，

∵∠P=40°，

∴∠AOP=50°，

∵OA=OB，

∴∠B=∠OAB，

∵∠AOP=∠B+∠OAB，

∴∠B=∠AOP=×50°=25°．

故选：B．

【点睛】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．

2、D

【解析】

【分析】

过点O作OH⊥BC于点H，根据等边三角形的性质即可求出OH和BH的长，再根据垂径定理求出BC的长，最后运用三角形面积公式求解即可．

【详解】

解：过点O作OH⊥BC于点H，连接AO，BO，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=60°，

∵O为三角形外心，

∴∠OAH=30°，

∴OH=OB=1，

∴BH=，AH=-AO+OH=2+1=3

∴

∴

故选：D

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

3、A

【解析】

【分析】

直接根据直线与圆的位置关系即可得出结论．

【详解】

解：∵⊙O的半径为6，直线m上有一动点P，OP=4，

∴直线与⊙O相交．

故选：A．

【点睛】

本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d=r时，直线l和⊙O相切是解答此题的关键．

4、A

【解析】

【分析】

如图，记过A，G， H三点的圆为则是，的垂直平分线的交点， 记的交点为 的交点为 延长交于为的垂直平分线，结合正方形的性质可得：再设利用勾股定理建立方程，再解方程即可得到答案.

【详解】

解：如图，记过A，G， H三点的圆为则是，的垂直平分线的交点，

记的交点为 的交点为 延长交于为的垂直平分线，结合正方形的性质可得：

四边形为正方形，则

设 而AB＝2，CD＝3，EF＝5，结合正方形的性质可得：

而

又 而

解得：

故选A

【点睛】

本题考查的是正方形的性质，三角形外接圆圆心的确定，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，确定过A，G， H三点的圆的圆心是解本题的关键.

5、D

【解析】

【分析】

根据题意作出图形，根据垂径定理可得,设，则，分情况讨论求得最大值与最小值，即可解决问题

【详解】

解：如图，

根据题意，折叠后的弧为，为切点，设点为所在的圆心，的半径相等，即，连接，设交于点，

根据折叠的性质可得，又则四边形是菱形，且

设，则

则当取得最大值时，取得最小值，即取得最小值，

当取得最小值时，取得最大值，

根据题意，当点于点重合时，四边形是正方形

则

此时

当点与点重合时，此时最小，

则

即

则

故选D

【点睛】

本题考查了垂径定理，切线的性质，折叠的性质，勾股定理，分别求得的最大值与最小值是解题的关键．

6、B

【解析】

【分析】

⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，得出正方形CDIF推出CD=CF=1，根据切线长定理得出AD=AE，BE=BF，CF=CD，求出AD+BF=AE+BE=AB=6，即可求出答案．

【详解】

解：如图，⊙I切AB于E，切BC于F，切AC于D，连接IE，IF，ID，

则∠CDI=∠C=∠CFI=90°，ID=IF=1，

∴四边形CDIF是正方形，

∴CD=CF=1，

由切线长定理得：AD=AE，BE=BF，CF=CD，

∵直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，

∴AB=6=AE+BE=BF+AD，

即△ABC的周长是AC+BC+AB=AD+CD+CF+BF+AB=6+1+1+6=14，

故选：B．

【点睛】

本题考查了直角三角形的外接圆与内切圆，正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的综合运用．

7、C

【解析】

【分析】

由切线的性质可知OQ⊥PQ，在Rt△OPQ中，OQ=5，则可知当OP最小时，PQ有最小值，当OP⊥l时，OP最小，利用勾股定理可求得PQ的最小值．

【详解】

∵PQ与⊙O相切于点Q，

∴OQ⊥PQ，

∴PQ2=OP2-OQ2=OP2-52=OP2-25，

∴当OP最小时，PQ有最小值，

∵点O到直线l的距离为7，

∴OP的最小值为7，

∴PQ的最小值=，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键．

8、A

【解析】

【分析】

正三角形的面积加上三个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果．

【详解】

解：正三角形的面积为：，

三个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：，

所以阴影部分的面积为：，

故选：

【点睛】

本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．

9、A

【解析】

【分析】

直接根据点与圆的位置关系进行解答即可．

【详解】

解：∵⊙O的半径为5cm，点P与圆心O的距离为4cm，5cm＞4cm，

∴点P在圆内．

故选：A．

【点睛】

本题考查了点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外．

10、C

【解析】

【分析】

根据边心距求得外接圆的半径为2，根据圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长，计算圆锥的半径即可．

【详解】

如图,过点O作OG⊥AF，垂足为G，

∵正六边形的边心距为，

∴∠AOG=30°，OG=，

∴OA=2AG，

∴，

解得GA=1，

∴OA=2，

设圆锥的半径为r，根据题意，得2πr=，

解得r=，

故选C．

【点睛】

本题考查了扇形的弧长公式，圆锥的侧面积，熟练掌握弧长公式，圆锥的侧面积公式是解题的关键．

二、填空题

1、圆外

【解析】

【分析】

根据点的圆的位置关系的判定方法进行判断．

【详解】

解：∵⊙O的半径为1.5cm，PQ=2cm，

∴2＞1.5，

∴点Q在圆外．

故答案为：圆外．

【点睛】

本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．

2、40

【解析】

【分析】

利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形OECD是正方形，进而利用勾股定理得出答案．

【详解】

解：连接EO，DO，

∵⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，

∴OE⊥BC，OD⊥AC，BF＝BE＝12，AD＝AF＝5，EC＝CD，

又∵∠C＝90°，

∴四边形ECDO是矩形，

又∵EO＝DO，

∴矩形OECD是正方形，

设EO＝x，

则EC＝CD＝x，

在Rt△ABC中

BC2+AC2＝AB2

故（x+12）2+（x+5）2＝172，

解得：x＝3(负值已舍)，

∴△ABC的周长＝8+15+17＝40．

故答案为：40．

【点睛】

本题主要考查了三角形内切圆与内心，切线长定理，勾股定理，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．

3、122.5°

【解析】

【分析】

如图所示，作△ABC外接圆，利用圆周角定理得到∠A=65°，由于I是△ABC的内心，则∠BIC=180°-∠ABC-∠ACB，然后把∠BAC的度数代入计算即可．

【详解】

解：如图所示，作△ABC外接圆，

∵点O是△ABC的外心，∠BOC=130°，

∴∠A=65°，

∴∠ABC+∠ACB=115°，

∵点I是△ABC的内心，

∴∠IBC+∠ICB=×115°=57.5°，

∴∠BIC=180°﹣57.5°=122.5°．

故答案为：122.5°．

【点睛】

此题主要考查了三角形内心和外心的综合应用，根据题意得出∠IBC+∠ICB的度数是解题关键．

4、     直径所对的圆周角是直角     经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

【解析】

【分析】

连接OA，OB，根据圆周角定理可知∠OAP=90°，再依据切线的判定证明结论；

【详解】

证明：连接OA，OB，

∵OP是⊙C直径，点A在⊙C上，

∴∠OAP=90°（直径所对的圆周角是直角），

∴OA⊥AP．

又∵点A在⊙O上，

∴直线PA是⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线），

同理可证直线PB是⊙O的切线，

故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

5、60

【解析】

【分析】

先根据圆的切线的性质可得，从而可得，再根据切线长定理可得，然后根据等边三角形的判定与性质即可得．

【详解】

解：是的切线，

，

，

，

，

是等边三角形，

，

故答案为：60．

【点睛】

本题考查了圆的切线的性质、切线长定理等知识点，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．

三、解答题

1、 (1)相切，理由见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）连接OD，根据角平分线的性质与角的等量代换易得∠ODE＝90°，而D是圆上的一点；故可得直线DE与⊙O相切；

（2）连接BD，根据勾股定理得到AD＝＝2，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据相似三角形的性质列方程得到AB＝5，即可求解．

(1)

解：所在直线与相切．

理由：连接．

∵，

∴．

∵平分，

∴．

∴．

∴．

∴．

∵，

∴．

∴．

∴．

∵是半径，

∴所在直线与相切．

(2)

解：连接．

∵是的直径，

∴．

∴．

又∵，

∴．

∴．

∵，，，

∴．

∴．

∴的半径为．

【点睛】

本题考查的是直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质及勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

2、 (1)BC与⊙O相切，理由见详解

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据题意先证明OD∥AC，即可证得∠ODB=90°，从而证得BC是圆的切线；

（2）由题意直接根据三角形和扇形的面积公式进行计算即可得到结论．

(1)

解： BC与⊙O相切．

证明：∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD=∠CAD．

又∵OD=OA，

∴∠OAD=∠ODA．

∴∠CAD=∠ODA．

∴OD∥AC．

∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．

又∵BC过半径OD的外端点D，

∴BC与⊙O相切；

(2)

∵，∠ODB=90°，，

∴，

在Rt△OBD中，

由勾股定理得：，

∴S△OBD= OD•BD= ，S扇形ODF= ，

∴阴影部分的面积=．

【点睛】

本题考查切线的判定和扇形面积以及勾股定理，熟练掌握切线的判定是解答本题的关键．

3、 (1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据切线的判定方法，证出即可；

（2）由勾股定理得，，，在中，根据，结合锐角三角函数求出角，再利用扇形的面积的公式求解即可．

(1)

解：如图，连接OB，

∵AB是的切线，

∴，即，

∵BC是弦，，

∴，

∴，在和中，，

∴，

∴，即，

∴AC是的切线；

(2)

解：在中，

由勾股定理得，，，

在中，，

∴，

∴，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查切线的判定和性质，三角形全等的判定及性质、勾股定理、锐角三角函数、扇形的面积公式，解题的关键是掌握切线的判定方法，锐角三角函数的知识求解．

4、 (1)见解析

(2)2.4．

【解析】

【分析】

（1）过O作OD⊥AB交AB于点D，先根据角平分线的性质求出DO=CO，再根据切线的判定定理即可得出答案；

（2）设圆O的半径为r，即OC=r，由得BC=3r，由勾股定理求得AD=，AB=3r+根据方程求解即可．

(1)

如图所示：过O作OD⊥AB交AB于点D．

∵OC⊥BC，且BO平分∠ABC，

∴OD=OC，

∵OC是圆O的半径

∴AB与圆O相切．

(2)

设圆O的半径为r，即OC=r，

∵

∴

∴

∵OC⊥BC，且OC是圆O的半径

∴BC是圆O的切线，

又AB是圆O的切线，

∴BD=BC=3r

在中，

∴

∴

在中，

∴

整理得，

解得，，（不合题意，舍去）

∴的半径为2.4

【点睛】

此题主要考查了复杂作图以及切线的判定等知识，正确把握切线的判定定理是解题关键．

5、 (1)见解析；

(2)见解析

【解析】

【分析】

(1)由AB=AC知∠ABC=∠ACB，结合∠ACB=∠BCD，∠ABC=∠ADC得∠BCD=∠ADC，从而得证；

(2)连接OA，由∠CAF=∠CFA知∠ACD=∠CAF+∠CFA=2∠CAF，结合∠ACB=∠BCD得∠ACD=2∠ACB，∠CAF=∠ACB，据此可知AF∥BC，从而得OA⊥AF，从而得证．

(1)

解：∵，

∴，

又∵，

∴，

∴ ；

(2)

解：如图，连接OA，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵已知，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴AF为⊙O的切线．

【点睛】

本题考查了圆周角定理、垂径定理推论、切线的判定、平行线的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．