


初中数学冀教版九年级下册第29章 直线与圆的位置关系综合与测试优秀同步测试题
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这是一份初中数学冀教版九年级下册第29章 直线与圆的位置关系综合与测试优秀同步测试题,共33页。试卷主要包含了以半径为1的圆的内接正三角形等内容,欢迎下载使用。
九年级数学下册第二十九章直线与圆的位置关系综合练习
考试时间:90分钟;命题人:数学教研组
考生注意:
1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题 30分)
一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
1、如图,为的直径,为外一点,过作的切线,切点为,连接交于,,点在右侧的半圆周上运动(不与,重合),则的大小是( )
A.19° B.38° C.52° D.76°
2、如图,是等边三角形的外接圆,若的半径为2,则的面积为( )
A. B. C. D.
3、如图,为正六边形边上一动点,点从点出发,沿六边形的边以1cm/s的速度按逆时针方向运动,运动到点停止.设点的运动时间为,以点、、为顶点的三角形的面积是,则下列图像能大致反映与的函数关系的是( )
A. B.
C. D.
4、如图,BD是⊙O的切线,∠BCE=30°,则∠D=( )
A.40° B.50° C.60° D.30°
5、如图,△ABC周长为20cm,BC=6cm,圆O是△ABC的内切圆,圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N,则△AMN的周长为( )
A.14cm B.8cm C.7cm D.9cm
6、如图,面积为18的正方形ABCD内接于⊙O,则⊙O的半径为( )
A. B.
C.3 D.
7、已知⊙O的半径等于5,圆心O到直线l的距离为6,那么直线l与⊙O的公共点的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.无法确定
8、如图,⊙O的半径为2,PA,PB,CD分别切⊙O于点A,B,E,CD分别交PA,PB于点C,D,且P,E,O三点共线.若∠P=60°,则CD的长为( )
A.4 B.2 C.3 D.6
9、以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则( )
A.不能构成三角形 B.这个三角形是等边三角形
C.这个三角形是直角三角形 D.这个三角形是等腰三角形
10、已知半径为5的圆,直线l上一点到圆心的距离是5,则直线和圆的位置关系为( )
A.相切 B.相离 C.相切或相交 D.相切或相离
第Ⅱ卷(非选择题 70分)
二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)
1、已知圆O的圆心到直线l的距离为2,且圆的半径是方程x2﹣5x+6=0的根,则直线l与圆O的的位置关系是______.
2、如图,PA,PB是的切线,切点分别为A,B.若,,则AB的长为______.
3、半径为3cm的圆内有长为的弦,则此弦所对的圆周角的度数为______.
4、如图,PB与⊙O相切于点B,OP与⊙O相交于点A,∠P=30°,若⊙O的半径为2,则OP的长为 _____.
5、如图,PA,PB分别切⊙O于点A,B,Q是优弧上一点,若∠P=40°,则∠Q的度数是________.
三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)
1、【提出问题】如图①,已知直线l与⊙O相离,在⊙O上找一点M,使点M到直线l的距离最短.
(1)小明给出下列解答,请你补全小明的解答.
小明的解答
过点O作ON⊥l,垂足为N,ON与⊙O的交点M即为所求,此时线段MN最短.
理由:不妨在⊙O上另外任取一点P,过点P作PQ⊥l,垂足为Q,连接OP,OQ.
∵OP+PQ>OQ,OQ>ON,
∴ .
又ON=OM+MN;
∴OP+PQ>OM+MN.
又 ,
∴ .
(2)【操作实践】如图②,已知直线l和直线外一点A,线段MN的长度为1.请用直尺和圆规作出满足条件的某一个⊙O,使⊙O经过点A,且⊙O上的点到直线l的距离的最小值为1.(不写作法,保留作图痕迹并用水笔加黑描粗)
(3)【应用尝试】如图③,在Rt△ABC中,∠C=90,∠B=30,AB=8,⊙O经过点A,且⊙O上的点到直线BC的距离的最小值为2,距离最小值为2时所对应的⊙O上的点记为点P,若点P在△ABC的内部(不包括边界),则⊙O的半径r的取值范围是 .
2、如图,在RtABC中,∠ACB=Rt∠,以AC为直径的半圆⊙O交AB于点D,E为BC的中点,连结DE、CD.过点D作DF⊥AC于点F.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AD=5,DF=3,求⊙O的半径.
3、如图,点E是的内心,AE的延长线交BC于点F,交的外接圆点D.过D作直线.
(1)求证:DM是的切线;
(2)求证:;
(3)若,,求的半径.
4、如图,在中,,BO平分,交AC于点O,以点O为圆心,OC长为半径画.
(1)求证:AB是的切线;
(2)若,,求的半径.
5、如图,PA,PB是圆的切线,A,B为切点.
(1)求作:这个圆的圆心O(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明);
(2)在(1)的条件下,延长AO交射线PB于C点,若AC=4,PA=3,请补全图形,并求⊙O的半径.
-参考答案-
一、单选题
1、B
【解析】
【分析】
连接 由为的直径,求解 结合为的切线,求解 再利用圆周角定理可得答案.
【详解】
解:连接 为的直径,
为的切线,
故选B
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理,直径所对的圆周角是直角,圆周角定理,切线的性质定理,熟练运用以上知识逐一求解相关联的角的大小是解本题的关键.
2、D
【解析】
【分析】
过点O作OH⊥BC于点H,根据等边三角形的性质即可求出OH和BH的长,再根据垂径定理求出BC的长,最后运用三角形面积公式求解即可.
【详解】
解:过点O作OH⊥BC于点H,连接AO,BO,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=60°,
∵O为三角形外心,
∴∠OAH=30°,
∴OH=OB=1,
∴BH=,AH=-AO+OH=2+1=3
∴
∴
故选:D
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质,熟练掌握等边三角形的性质,并能进行推理计算是解决问题的关键.
3、A
【解析】
【分析】
设正六边形的边长为1,当在上时,过作于 而 求解此时的函数解析式,当在上时,延长交于点 过作于 并求解此时的函数解析式,当在上时,连接 并求解此时的函数解析式,由正六边形的对称性可得:在上的图象与在上的图象是对称的,在上的图象与在上的图象是对称的,从而可得答案.
【详解】
解:设正六边形的边长为1,当在上时,
过作于 而
当在上时,延长交于点 过作于
同理:
则为等边三角形,
当在上时,连接
由正六边形的性质可得:
由正六边形的对称性可得: 而
由正六边形的对称性可得:在上的图象与在上的图象是对称的,
在上的图象与在上的图象是对称的,
所以符合题意的是A,
故选A
【点睛】
本题考查的是动点问题的函数图象,锐角三角函数的应用,正多边形的性质,清晰的分类讨论是解本题的关键.
4、D
【解析】
【分析】
连接,根据同弧所对的圆周角相等,等角对等边,三角形的外角性质可得,根据切线的性质可得,根据直角三角形的两个锐角互余即可求得.
【详解】
解:连接
BD是⊙O的切线
故选D
【点睛】
本题考查了切线的性质,等弧所对的圆周角相等,直角三角形的两锐角互余,掌握切线的性质是解题的关键.
5、B
【解析】
【分析】
根据切线长定理得到BF=BE,CF=CD,DN=NG,EM=GM,AD=AE,然后利用三角形的周长和BC的长求得AE和AD的长,从而求得△AMN的周长.
【详解】
解:∵圆O是△ABC的内切圆,圆O的切线MN与AB、CA相交于点M、N,
∴BF=BE,CF=CD,DN=NG,EM=GM,AD=AE,
∵△ABC周长为20cm,BC=6cm,
∴AE=AD====4(cm),
∴△AMN的周长为AM+MG+NG+AN=AM+ME+AN+ND=AE+AD=4+4=8(cm),
故选:B.
【点睛】
本题考查三角形的内切圆与内心及切线的性质的知识,解题的关键是利用切线长定理求得AE和AD的长,难度不大.
6、C
【解析】
【分析】
连接OA、OB,则为等腰直角三角形,由正方形面积为18,可求边长为,进而通过勾股定理,可得半径为3.
【详解】
解:如图,连接OA,OB,则OA=OB,
∵四边形ABCD是正方形,
∴,
∴是等腰直角三角形,
∵正方形ABCD的面积是18,
∴,
∴,即:
∴
故选C.
【点睛】
本题考查了正多边形和圆、正方形的性质等知识,构造等腰直角三角形是解题的关键.
7、A
【解析】
【分析】
圆的半径为 圆心到直线的距离为 当时,圆与直线相离,直线与圆没有交点,当时,圆与直线相切,直线与圆有一个交点,时,圆与直线相交,直线与圆有两个交点,根据原理可得答案.
【详解】
解:∵⊙O的半径等于为8,圆心O到直线l的距离为为6,
∴,
∴直线l与相离,
∴直线l与⊙O的公共点的个数为0,
故选A.
【点睛】
本题考查的是圆与直线的位置关系,圆与直线的位置关系有相离,相交,相切,熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键.
8、A
【解析】
【分析】
,先证明,得出,,得出,过点作,在中,设,则,利用勾股定理求出,即可求解.
【详解】
解:连接,
在和,
PA,PB,分别切⊙O于点A,B,
,
,
,
,
,
是等边三角形,
,
,
又,
,
,
,
过点作,如下图
根据等腰三角形的性质,
点为的中点,
,
在中,
设,则,
,
,
解得:,
,
,
故选:A.
【点睛】
本题考查了圆的切线,三角形全等、等腰三角形、勾股定理,解题的关键是添加适当的辅助线,掌握切线的性质来求解.
9、C
【解析】
【分析】
分别计算出正三角形、正方形、正六边形的边心距,后根据勾股定理的逆定理,等腰三角形的判定,等边三角形的判定,三角形构成的条件,判断即可.
【详解】
如图,∵正三角形、正方形、正六边形都内接于半径为1的圆,边心距分别为OC,OE,OG,OA=1,∠AOC=60°,∠AOE=45°,∠AOG=30°,
∴OC=OAcos60°=,OE= OAcos45°=,OG= OAcos30°=,
∵,
∴这个三角形是直角三角形,
故选C.
【点睛】
本题考查了正多边形与圆,特殊角的三角函数,勾股定理的逆定理,熟练掌握正多边形的计算是解题的关键.
10、C
【解析】
【分析】
根据若直线上一点到圆心的距离等于圆的半径,则圆心到直线的距离等于或小于圆的半径,此时直线和圆相交或相切.
【详解】
解:∵半径为5的圆,直线l上一点到圆心的距离是5,
∴圆心到直线的距离等于或小于5,
∴直线和圆的位置关系为相交或相切,
故选:C.
【点睛】
本题考查了直线和圆的位置关系,判断的依据是半径和直线到圆心的距离的大小关系:设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,①直线l和⊙O相交⇔d<r;②直线l和⊙O相切⇔d=r;③直线l和⊙O相离⇔d>r.
二、填空题
1、相切或相交
【解析】
【详解】
首先求出方程的根,再利用半径长度,由点O到直线l的距离为d,若d<r,则直线与圆相交;若d=r,则直线于圆相切;若d>r,则直线与圆相离,从而得出答案.
【分析】
解:∵x2﹣5x+6=0,
(x﹣2)(x﹣3)=0,
解得:x1=2,x2=3,
∵圆的半径是方程x2﹣5x+6=0的根,即圆的半径为2或3,
∴当半径为2时,直线l与圆O的的位置关系是相切,
当半径为3时,直线l与圆O的的位置关系是相交,
综上所述,直线l与圆O的的位置关系是相切或相交.
故答案为:相切或相交.
【点睛】
本题考查的是直线与圆的位置关系,因式分解法解一元二次方程,解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆的半径大小关系完成判定.
2、3
【解析】
【分析】
由切线长定理和,可得为等边三角形,则.
【详解】
解:连接,如下图:
,分别为的切线,
,
为等腰三角形,
,
,
为等边三角形,
,
,
.
故答案为:3.
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和切线长定理,解题的关键是作出相应辅助线.
3、60°或120°
【解析】
【分析】
如下图所示,分两种情况考虑:D点在优弧CDB上或E点在劣弧BC上时,根据三角函数可求出∠OCF的大小,进而求出∠BOC的大小,再由圆周角定理可求出∠D、∠E大小,进而得到弦BC所对的圆周角.
【详解】
解:分两种情况考虑:D在优弧CDB上或E在劣弧BC上时,可得弦BC所对的圆周角为∠D或∠E,如下图所示,
作OF⊥BC,由垂径定理可知,F为BC的中点,
∵BC=,
∴CF=BF=BC=× =,
又因为半径为3,
∵OC=3,
在Rt△FOC中,cos∠OCF= =÷3=,
∴∠OCF=30°,
∵OC=OB,
∴∠OCF=∠OBF=30°,
∴∠COB=120°,
∴∠D=∠COB=×120°=60°,
又圆内接四边形的对角互补,
∴∠E=120°,
则弦BC所对的圆周角为60°或120°.
故答案为:60°或120°.
【点睛】
此题考查了圆周角定理,圆内接四边形的性质,锐角三角函数定义,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握圆周角定理是解本题的关键.
4、4
【解析】
【分析】
连接OB,利用切线性质,判定三角形POB是直角三角形,利用直角三角形的性质,确定PO的长度即可.
【详解】
如图,连接OB,
∵PB与⊙O相切于点B,
∴∠PBO=90°,
∵∠P=30°,OB=2,
∴PO=4,
故答案为:4.
【点睛】
本题考查了切线性质,直角三角形的性质,熟练掌握切线的性质是解题的关键.
5、70°##70度
【解析】
【分析】
连接OA、OB,根据切线性质可得∠OAP=∠OBP=90°,再根据四边形的内角和为360°求得∠AOB,然后利用圆周角定理求解即可.
【详解】
解:连接OA、OB,
∵PA,PB分别切⊙O于点A,B,
∴∠OAP=∠OBP=90°,又∠P=40°,
∴∠AOB=360°-90°-90°-40°=140°,
∴∠Q=∠AOB=70°,
故答案为:70°.
【点睛】
本题考查切线性质、四边形内角和为360°、圆周角定理,熟练掌握切线性质和圆周角定理是解答的关键.
三、解答题
1、 (1)OP+PQ>ON; OP=OM;PQ>MN
(2)见解析
(3)1<r<4
【解析】
【分析】
(1)利用两点之间线段最短解答即可;
(2)过点A作l的线AB,截取BC=MN,以AC为直径作⊙O;
(3)作AC的垂直平分线,交AC于F,交AB于E,以AF为直径作圆,过点A和点E作⊙O′,使⊙O′切EF于E,求出⊙O和⊙O′的半径,从而求出半径r的范围.
(1)
理由:不妨在⊙O上另外任取一点P,过点P作PQ⊥l,垂足为Q,连接OP,OQ.
∵OP+PQ>OQ,OQ>ON,
∴OP+PQ>ON.
又ON=OM+MN;
∴OP+PQ>OM+MN.
又 OP=OM,
∴PQ>MN.
故答案为:OP+PQ>ON, OP=OM,PQ>MN;
(2)
解:如图,
⊙O是求作的图形;
(3)
(3)如图2,
作AC的垂直平分线,交AC于F,交AB于E,以AF为直径作圆,过点A和点E作⊙O′,使⊙O′切EF于E,
∴∠FEO′=∠AFE=90°,
∴AF∥EO′,
∴∠AEO′=∠BAC=60°,
∵AO′=EO′,
∴△ADO′是等边三角形,
∴AE=AO′,
∵AB=8,∠B=30°,
∴AC=AB=4,
∴AF=2,
∴⊙O的半径是1,
∴AE=AB=4,
∴1<r<4,
故答案是:1<r<4.
【点睛】
本题考查了与圆的有关位置,等边三角形判定和性质,尺规作图等知识,解决问题的关键是找出临界位置,作出图形.
2、 (1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)连接OD,求出DE=CE=BE,推出∠EDC+∠ODC=∠ECD +∠OCD,求出∠ACB=∠ODE=90°,根据切线的判定推出即可.
(2)根据勾股定理求出AF=3,设OD=x,根据勾股定理列出方程即可.
(1)
证明:连接OD,
∵AC是直径,
∴∠ADC=90°,
∴∠BDC=180°﹣∠ADC=90°,
∵E是BC的中点,
∴,
∴∠EDC=∠ECD,
∵OC=OD,
∴∠ODC=∠OCD,
∴∠EDC+∠ODC=∠ECD +∠OCD,
即∠ACB=∠ODE,
∵∠ACB=90°,
∴∠ODE=90°,
又∵OD是半径,
∴DE是⊙O的切线.
(2)
解:设OD=x,
∵DF⊥AC,AD=5,DF=3,
∴,
在三角形ADF中,
,
解得,,
⊙O的半径为.
【点睛】
本题考查了切线的证明和直角三角形的性质,解题关键是熟练运用直角三角形和等腰三角形的性质证明切线,利用勾股定理求半径.
3、 (1)见解析
(2)见解析
(3)⊙O的半径为5.
【解析】
【分析】
(1)连接OD交BC于H,根据圆周角定理和切线的判定即可证明;
(2)连接BD,由点E是△ABC的内心,得到∠ABE=∠CBE,∠DBC=∠BAD,推出∠BED=∠DBE,根据等角对等边得到BD=DE;
(3)根据垂径定理和勾股定理即可求出结果.
(1)
证明:连接OD交BC于H,如图,
∵点E是△ABC的内心,
∴AD平分∠BAC,
即∠BAD=∠CAD,
∴,
∴OD⊥BC,BH=CH,
∵DM∥BC,
∴OD⊥DM,
∴DM是⊙O的切线;
(2)
证明:∵点E是△ABC的内心,
∴∠ABE=∠CBE,
∵,
∴∠DBC=∠BAD,
∴∠DEB=∠BAD+∠ABE=∠DBC+∠CBE=∠DBE,
即∠BED=∠DBE,
∴BD=DE;
(3)
解:设⊙O的半径为r,
连接OD,OB,如图,
由(1)得OD⊥BC,BH=CH,
∵BC=8,
∴BH=CH=4,
∵DE=2,BD=DE,
∴BD=2,
在Rt△BHD中,BD2=BH2+HD2,
∴(2)2=42+HD2,解得:HD=2,
在Rt△BHO中,
r2=BH2+(r-2)2,解得:r=5.
∴⊙O的半径为5.
【点睛】
本题考查了三角形的内心,切线的判定与性质,三角形的外接圆与外心,圆周角定理,垂径定理,解决本题的关键是综合运用以上知识.
4、 (1)见解析
(2)2.4.
【解析】
【分析】
(1)过O作OD⊥AB交AB于点D,先根据角平分线的性质求出DO=CO,再根据切线的判定定理即可得出答案;
(2)设圆O的半径为r,即OC=r,由得BC=3r,由勾股定理求得AD=,AB=3r+根据方程求解即可.
(1)
如图所示:过O作OD⊥AB交AB于点D.
∵OC⊥BC,且BO平分∠ABC,
∴OD=OC,
∵OC是圆O的半径
∴AB与圆O相切.
(2)
设圆O的半径为r,即OC=r,
∵
∴
∴
∵OC⊥BC,且OC是圆O的半径
∴BC是圆O的切线,
又AB是圆O的切线,
∴BD=BC=3r
在中,
∴
∴
在中,
∴
整理得,
解得,,(不合题意,舍去)
∴的半径为2.4
【点睛】
此题主要考查了复杂作图以及切线的判定等知识,正确把握切线的判定定理是解题关键.
5、 (1)见解析;
(2)见解析,的半径为
【解析】
【分析】
(1)过点B作BP的垂线,作∠APB的平分线,二线的交点就是圆心;
(2)根据切线的性质,利用勾股定理,建立一元一次方程求解即可.
(1)
如图所示,点O即为所求
(2)
如图,∵PA是圆的切线,AO是半径,PB是圆的切线,
∴∠CAP=90°,PA=PB=3,∠CBO=90°,
∵AC=4,
∴PC==5,BC=5-3=2,
设圆的半径为x,则OC=4-x,
∴,
解得x=,
故圆的半径为.
【点睛】
本题考查了垂线的画法,角的平分线的画法,切线的性质,切线长定理,勾股定理,一元一次方程的解法,熟练掌握切线的性质,切线长定理和勾股定理是解题的关键.
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