初中冀教版第30章 二次函数综合与测试精品课后练习题

九年级数学下册第三十章二次函数专题练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、一个球从地面竖直向上弹起时的速度为8米/秒，经过秒时球的高度为米，和满足公式：表示球弹起时的速度，表示重力系数，取米/秒，则球不低于3米的持续时间是（       ）

A．秒 B．秒 C．秒 D．1秒

2、对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y=x2+4x+c有两个相异的不动点x1，x2，且x1＜3＜x2，则c的取值范围是（       ）

A．c＜﹣6 B．c＜﹣18 C．c＜﹣8 D．c＜﹣11

3、如图，二次函数的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线，点B的坐标为，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（       ）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4、对于抛物线下列说法正确的是（       ）

A．开口向下 B．其最大值为-2 C．顶点坐标 D．与x轴有交点

5、如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），且与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），此时抛物线与y轴交于点A′，则AA′的长度为（　　）

A．2 B．3 C．3 D．D3

6、抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的对称轴是（　　）

A．直线x＝3 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝4 D．直线x＝﹣4

7、一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

8、已知点，，都在函数的图象上，则（       ）

A． B． C． D．

9、如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论正确的是（       ）

A．ac＞0 B．a+b＝1 C．4ac﹣b2≠4a D．a+b+c＞0

10、已知平面直角坐标系中有点A（﹣4，﹣4），点B（a，0），二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k的图象必过一定点C，则AB+BC的最小值是（　　）

A．4 B．2 C．6 D．3

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条拋物线的“特征三角形”．已知的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么的值为_________．

2、如图，已知点A是抛物线图像上一点，将点A向下平移2个单位到点B，再把A绕点B顺时针旋转120°得到点C，如果点C也在该抛物线上，那么点A的坐标是______．

3、已知抛物线，点在抛物线上，则的最小值是______．

4、抛物线y＝（x﹣1）2＋3的顶点坐标为___．

5、抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4，则t的值是______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图， 在平面直角坐标系 中， 直线 与 牰交于点 ， 与 轴交于点 ． 点C为拋物线 的顶点．

(1)用含 的代数式表示顶点 的坐标：

(2)当顶点 在 内部， 且 时，求抛物线的表达式：

(3)如果将抛物线向右平移一个单位，再向下平移 个单位后，平移后的抛物线的顶 点 仍在 内， 求 的取值范围．

2、在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（2，3），且交x轴于A（﹣1，0）、B（m，0），求m的值及二次函数图象的对称轴.

3、己知二次函数．

(1)若此二次函数图象的对称轴为，求它的解析式；

(2)当时，y随x增大而减小，求k的取值范围．

4、如图，一名垒球运动员进行投球训练，站在点O开始投球，球出手的高度是2米，球运动的轨迹是抛物线，当球达到最高点E时，水平距离EG=20米，与地面的高度EF=6米，掷出的球恰好落在训练墙AB上B点的位置，AB=3米．

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)求点O到训练墙AB的距离OA的长度．

5、已知抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合）．

(1)当为直角三角形时，求的面积

(2)如图，当时，过点P作轴于点Q，求BQ的长．

(3)当以点A，B，P为顶点的三角形和相似时（不包括两个三角形全等），求m的值．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【解析】

【分析】

根据已知得到函数关系式，将h=3代入，求出t值的差即为答案．

【详解】

解：由题意得，

当h=3时，，

解得，

∴球不低于3米的持续时间是1-0.6=0.4（秒），

故选：A．

【点睛】

此题考查了二次函数的实际应用，解一元二次方程，正确理解题中各字母的值，代入求出函数解析式解决问题是解题的关键．

2、B

【解析】

【分析】

由题意得不动点的横纵坐标相等，即在直线y=x上，故二次函数与直线y=x有两个交点，且横坐标满足x1＜3＜x2，可以理解为x=3时，一次函数的值大于二次函数的值．

【详解】

解：由题意得：不动点在一次函数y=x图象上，

∴一次函数y=x与二次函数的图象有两个不同的交点，

∵两个不动点x1，x2满足x1＜3＜x2，

∴x=3时，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，

∴3＞32+4×3+c，

∴c＜-18．

故选：B．

【点睛】

本题以新定义为背景，考查了二次函数图象和一次函数图象的交点与系数间的关系，本题亦可以转化为方程的解来解题．

3、D

【解析】

【分析】

根据二次函数的对称性，以及参数a、b、c的意义即可求出答案．

【详解】

解：∵抛物线的对称轴为x=-1，

所以B（1，0）关于直线x=-1的对称点为A（-3，0），

∴AB=1-（-3）=4，故①正确；

由图象可知：抛物线与x轴有两个交点，

∴Δ=b2-4ac>0，故②正确；

由图象可知：抛物线开口向上，

∴a>0，

由对称轴可知：−<0，

∴b>0，故③正确；

当x=-1时，y=a-b+c<0，故④正确；

所以，正确的结论有4个，

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质．

4、D

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质对各选项分析判断即可得解．

【详解】

解：由y=（x-1）2-2，可知，a=1＞0，则抛物线的开口向上，

∴A选项不正确；

由抛物线，可知其最小值为-2，∴B选项不正确；

由抛物线，可知其顶点坐标，∴C选项不正确；

在抛物线中，△=b²-4ac=8>0，与与x轴有交点，∴D选项正确；

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，掌握开口方向，对称轴、顶点坐标以及与x轴的交点坐标的求法是解决问题的关键．

5、B

【解析】

【分析】

先运用待定系数法求出原抛物线的解析式，再根据平移不改变二次项系数，得出平移后的抛物线解析式，求出A′的坐标，进而得出AA′的长度．

【详解】

∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），

∴y＝a（x+2）2+2，

∵与y轴交于点A（0，3），

∴3＝a（0+2）2+2，解得a＝

∴原抛物线的解析式为：y＝（x+2）2+2，

∵平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），

∴平移后的抛物线为y＝（x﹣1）2﹣1，

∴当x＝0时，y＝，

∴A′的坐标为（0，），

∴AA′的长度为：3﹣（）＝3．

故选：B．

【点睛】

本题考查了平移、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．

6、A

【解析】

【分析】

直接利用抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4，求得对称轴方程为：x=3．

【详解】

解：抛物线y=﹣2（x﹣3）2﹣4的对称轴方程为：直线x=3，

故选：A．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质与图象，解题的关键是掌握：二次函数的顶点式与对称轴的关系．

7、C

【解析】

【分析】

逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．

【详解】

A、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，

∴a＜0，b＜0，

∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，A不可能；

B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，

∴a＞0，b＜0，

∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，B不可能；

C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，

∴a＜0，b＜0，

∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C可能；

D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，

∴a＜0，b＜0，

∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D不可能．

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限．

8、C

【解析】

【分析】

把点的坐标分别代入函数解析式可分别求得、、，再比较其大小即可．

【详解】

解：点，，都在函数的图象上，

，，，

，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．

9、D

【解析】

【分析】

由抛物线开口方向及抛物线与轴交点位置，即可得出、，进而判断结论A；由抛物线顶点的横坐标可得出，进而判断结论B；由抛物线顶点的纵坐标可得出，进而判断结论C；由、，进而判断结论D．由此即可得出结论．

【详解】

解：A、抛物线开口向下，且与轴正半轴相交，

，，

，结论A错误，不符合题意；

B、抛物线顶点坐标为，，

，

，即，结论B错误，不符合题意；

C、抛物线顶点坐标为，，

，

，结论C错误，不符合题意；

D、，，

，结论D正确，符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，解题的关键是观察函数图象，逐一分析四个选项的正误．

10、C

【解析】

【分析】

将抛物线解析式变形求出点C坐标，再根据两点之间线段最短求出AB+BC的最小值即可．

【详解】

解：二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k=(x-2)(x-1+k)-2

∴函数图象一定经过点C（2，-2）

点C关于x轴对称的点的坐标为（2，2），连接，如图，

∵

∴

故选：C

【点睛】

本题主要考查了二次函数的性质，两点之间线段最短以及勾股定理等知识，明确“两点之间线段最短”是解答本题的关键．

二、填空题

1、2

【解析】

【分析】

首先求出的顶点坐标和与x轴两个交点坐标，然后根据“特征三角形”是等腰直角三角形列方程求解即可．

【详解】

解：∵

∴，代入得：

∴抛物线的顶点坐标为

∵当时，即，

解得：，

∴抛物线与x轴两个交点坐标为和

∵的“特征三角形”是等腰直角三角形，

∴，即

解得：．

故答案为：2．

【点睛】

此题考查了二次函数与x轴的交点问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是求出的顶点坐标和与x轴两个交点坐标．

2、（，）

【解析】

【分析】

设A（x，x2），根据平移、旋转的性质求出C点坐标，代入抛物线求出x，故可求解．

【详解】

解：∵点A是抛物线图像上一点

故设A（x，x2），

∵将点A向下平移2个单位到点B，

故B（x，x2-2）

∵把A绕点B顺时针旋转120°得到点C，如图，

过点B作BD⊥AB于B，过点C作CD⊥BD于D，

AB=BC=2，∠ABC=120°，∠ABD=90°，

∴∠DBC=30°

故CD=，BD=，

故C（x+，x2-3），

把C（x+，x2-3）代入，

∴x2-3=（x+）2，

解得x=-

∴A（-，3）

故答案为：（，3）．

【点睛】

此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知坐标与函数的关系、平移与旋转的特点及直角三角形的性质．

3、1

【解析】

【分析】

把点代入得，再代入进行配方求解即可．

【详解】

解：∵点在抛物线上，

∴

∴

∵

∴的最小值是1，

故答案为：1

【点睛】

本题主要考查了二次函数的性质，能用含a的代数式表示出2a+b是解答本题的关键．

4、（1，3）

【解析】

【分析】

根据顶点式判断顶点即可．

【详解】

解：∵抛物线解析式为y＝（x﹣1）2＋3

∴顶点坐标是（1，3）．

故答案为：（1，3）

【点睛】

本题考查了二次函数解析式---顶点式，明确的顶点坐标为（h，k）是解答本题的关键．

5、

【解析】

【分析】

设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为 则是的两根，且 再利用两个交点之间的距离为4列方程，再解方程可得答案.

【详解】

解：设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为

是的两根，且

两个交点之间的距离为4，

解得： 经检验：是原方程的根且符合题意，

故答案为：

【点睛】

本题考查的是二次函数与轴的交点坐标，两个交点之间的距离，掌握“求解二次函数与轴的交点坐标”是解本题的关键.

三、解答题

1、 (1)

(2)；

(3)1＜a＜3

【解析】

【分析】

（1）利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可解答；

（2）求出点A、B的坐标，利用三角形面积公式求解a值即可解答；

（3）根据点的坐标平移规律“右加左减，上加下减”得出P点坐标，再根据条件得出a的一元一次不等式组，解不等式组即可求解

(1)

解：拋物线 ，

∴顶点C的坐标为；

(2)

解：对于，当x=0时，y=5，当y=0时，x=5，

∴A（5，0），B（0，5），

∵顶点 在 内部， 且 ，

∴，

∴a=2，

∴拋物线的表达式为 ；

(3)

解：由题意，平移后的抛物线的顶点P的坐标为，

∵平移后的抛物线的顶 点 仍在 内，

∴，

解得：1＜a＜3，

即 的取值范围为1＜a＜3．

【点睛】

本题考查求二次函数的顶点坐标和表达式、二次函数的图象平移、一次函数的图象与坐标轴的交点问题、坐标与图象、解一元一次不等式组，熟练掌握相关知识的联系与运用，第（3）小问正确得出不等式组是解答的关键．

2、m=3，对称轴为直线x=1

【解析】

【分析】

先根据待定系数法求出二次函数的解析式，令y=0求解x即可求得m，进而可求得二次函数图象的对称轴．

【详解】

解：将（2，3）和（－1，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，

得：，解得：，

∴y＝﹣x2+2x+3，

令y=0，则﹣x2+2x+3=0，即x2﹣2x﹣3=0，

解得：x1=－1，x2=3，

∴该二次函数图象与x轴的交点坐标为A（－1，0）和B（3，0），

∴m=3，

该二次函数图象的对称轴为直线x=1．

【点睛】

本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象与坐标轴的交点问题、二次函数图象的对称轴，熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤是解答的关键．

3、 (1)y= x 2−2x−3

(2)

【解析】

【分析】

（1）直接根据二次函数对称轴的概念可得答案；

（2）根据二次函数的性质可得问题的答案.

(1)

解：由题意，得：a=1，b=−k，c= k−5；

∴对称轴x=，

解得：k=2，

∴二次函数解析式y= x 2−2x−3；

(2)

解：二次函数，a=1>0，

∴其图象开口向上，

∵时，y随x 的增大而减小，

∴对称轴位于x＝1的右侧或对称轴为直线x＝1，

∴，

解得：.

【点睛】

此题考查的是二次函数的图象与系数的关系，掌握对称轴的概念、二次函数的图象的性质是解决此题关键．

4、 (1)抛物线的关系式为y=-0.01（x-20）2+6；

(2)点O到训练墙AB的距离OA的长度为（20+10）米．

【解析】

【分析】

（1）根据抛物线的顶点设关系式为y=a（x-20）2+6，再根据点C的坐标可得关系式；

（2）把y=3代入可得答案．

(1)

解：由题意得，顶点E（20，6）和C（0，2），

设抛物线的关系式为y=a（x-20）2+6，

∴2=a（0-20）2+6，

解得a=-0.01，

∴抛物线的关系式为y=-0.01（x-20）2+6；

(2)

（2）当y=3时，3=-0.01（x-20）2+6，

解得x1=20+10，x2=20-10（舍去），

答：点O到训练墙AB的距离OA的长度为（20+10）米．

【点睛】

本题考查了二次函数的实际应用，利用待定系数法得到抛物线的关系式是解题关键．

5、 (1)4

(2)2

(3)或m=

【解析】

【分析】

（1）先求出A、B、C三点的坐标，进而表示出AB、BC、AC的长，然后根据勾股定理求得m，确定C的坐标，最后运用三角形的面积公式解答即可；

（2）先用待定系数法求得BC所在直线直线的解析式，进而求得直线AP的解析式，然后与抛物线的解析式联立即可解答；

（3）先说明∠ABC=45°，然后分三种情况解答即可．

(1)

解：由抛物线开口向上，则m＞0

令x=0，则y=-2，即C点坐标为（0，-2），OC=2

令y=0，则，解得x=-2或x=m，即点A（-2，0），点B（m，0）

∴OA=2,OB=m

∴AB=m+2

由勾股定理可得AC2=(-2-0)2+[0-（-2）]2=8, BC2=(m-0)2+[0-（-2）]2=m2+4

∵当为直角三角形时，仅有∠ACB=90°

∴AB2= AC2+BC2,即(m+2)2=8+m2+4,解得m=2

∴AB=m+2=4

∴的面积为：·AB·OC=×4×2=4．

(2)

解：设BC所在直线的解析式为：y=kx+b

则 ，解得

∴BC所在直线的解析式为y=x-2

设直线AP的解析式为y=x+c

则有：0=×（-2）+c，即c=

∴线AP的解析式为y=x+

联立 解得x=-2（A点横坐标）,x=m+2（P点横坐标）

∴点P的纵坐标为：

∴点P的坐标为（m+2，）

∴OQ=m+2

∴BQ=OQ-OB= m+2-m=2．

(3)

解：∵点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合）．

∴设P（x，）

∵在△ABC中，∠BAC=45°

∴当以点A，B，P为顶点的三角形和相似时，有三种情况：

①a.若△ABC∽△BAP

∴

又∵BP=AC

∴△ABC∽△BAP不符合题意；

b. 若△ABP∽△BAC

∴

过P作PQ⊥x轴于点Q，则∠PQB=90°

∴∠BPQ=90°-∠PBQ=45°

∴PQ=BQ=m-x

由于PQ=

∴

∴

∴x-m=0或

∴x=m（舍去），x=-m-2

∴BQ=m-（-m-2）=2m+2

∵

∴

∴m2-4m-4=0，解得：m=或m=（舍去）

∴m=；

②当∠PAB=∠BAC=45°时，分两种情况讨论：

a. 若△ABP∽△ABC,则 ,点C与点P重合，不合题意；

b. 若△ABP∽△BAC,则 ,

过P作PQ⊥x轴于点Q，则∠PQA=90°

∴∠APQ=90°-∠PAB=45°

∴PQ=AQ=x+2

由于PQ=

∴

∴

∴x+2=0或

∴x=-2（舍去），x=2m

∴AQ= =2m+2

∵

∴

∴m2-4m-4=0，解得：m=（舍去）或m=

∴m=；

③当∠APB=∠BAC=45°时，分两种情况讨论：

a.过点A作PM//BC交抛物线于点M，则∠MAB=∠ABC，

∵∠MAB≠∠PAB，

∴∠PAB≠∠ABC，

∴△PAB与△BAC不相似；

b. 取点C关于x轴的对称点，连接并延长 交抛物线于点N，则∠NBA=∠CBA，

∵∠PBA≠∠NBA，

∴∠PBA≠∠CBA，

∴△PAB与△BAC不相似；

综上，m的值为m=或m=．

【点睛】

本题属于二次函数综合题，涉及抛物线与坐标轴的交点、勾股定理、三角形面积公式、运用待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．