数学九年级下册第30章 二次函数综合与测试精品课后测评

这是一份数学九年级下册第30章 二次函数综合与测试精品课后测评，共37页。试卷主要包含了二次函数图像的顶点坐标是，已知平面直角坐标系中有点A等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数同步训练
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、已知二次函数y＝x2﹣2x+m，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）（x1＜x2）是图象上两点，下列结论正确的是（　　）
A．若x1+x2＜2，则y1＞y2 B．若x1+x2＞2，则y1＞y2
C．若x1+x2＜﹣2，则y1＜y2 D．若x1+x2＞﹣2，则y1＞y2
2、对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则y随x的增大而增大 B．函数图象的顶点坐标是
C．当时，函数有最大值－4 D．函数图象与x轴有两个交点
3、已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列结论中正确的是（ ）

A． B． C． D．
4、2020年2月3日，随着南立交匝道最后一条交通线划线完毕，蒙山大道祊河桥迎来了南北东西方向全线通车，蒙山高架路“踏实落地”，市民从此可一路畅通．蒙山大道祊河桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象－抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB＝90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（ ）

A． B． C． D．
5、下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（ ）
A．正方体集装箱的体积，棱长xm
B．小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm
C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤
D．高为14m的圆柱形储油罐的体积，底面圆半径xm
6、二次函数图像的顶点坐标是（ ）
A．（0，－2） B．（－2，0） C．（2，0） D．（0，2）
7、已知二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点，则a的取值范围是（ ）
A．a＜4 B．a≤4 C．a＜4且a≠0 D．a≤4且a≠0
8、已知平面直角坐标系中有点A（﹣4，﹣4），点B（a，0），二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k的图象必过一定点C，则AB+BC的最小值是（　　）
A．4 B．2 C．6 D．3
9、如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），且与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），此时抛物线与y轴交于点A′，则AA′的长度为（　　）

A．2 B．3 C．3 D．D3
10、已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于，两点，且过，两点．若，则ab的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点（﹣1，﹣4），则下列结论：①对于任意的x＝m，均有am2＋bm＋c≥﹣6；②ac＞0；③若点（），（，y2）在抛物线上，则y1＞y2；④关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝﹣4的两根为﹣5和﹣1；⑤b﹣6a＝0；其中正确的有_______（填序号）．

2、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连接OQ．则线段OQ的最大值是______．

3、已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数解析式为__________________．
4、二次函数的图象的顶点坐标为______．
5、已知抛物线，将其图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则得到的抛物线解析式为________．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、在平面直角坐标系xOy中的图形W与图形N，如果图形W与图形N有两个交点，我们则称图形W与图形N互为“友好图形”．
(1)已知A（－1，1），B（2，1）则下列图形中与线段AB互为“友好图形”的是　 　；
①抛物线y＝x2；
②双曲线；
③以O为圆心1为半径的圆．
(2)已知：图形W为以O为圆心，1为半径的圆，图形N为直线y＝x＋b，若图形W与图形N互为“友好图形”，求b的取值范围．
(3)如图，已知，，，图形W是以（t，0）为圆心，1为半径的圆，若图形W与△ABC互为“友好图形”，直接写出t的取值范围．

2、问题呈现：探究二次函数（其中，m为常数）的图像与一次函数的图像公共点．
(1)问题可转化为：二次函数的图像与一次函数______的图像的公共点．
(2)问题解决：在如图平面直角坐标系中画出的图像．

(3)请结合（2）中图像，就m的取值范围讨论两个图像公共点的个数．
(4)问题拓展：若二次函数（其中，m为常数）的图像与一次函数的图像有两个公共点，则m的取值范围为______．
3、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于点A(1，0)、B(4，0)，与y轴交于点C． 已知点E(0，3)、点F(4，t)(t＞3)，点M是线段EF上一动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N．

(1)直接写出二次函数的表达式：
(2)若t=5，当MN最大时，求M的坐标；
(3)在点M从点E运动至点F的过程中，若线段MN的长逐渐增大，求t的取值范围
4、已知抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合）．

(1)当为直角三角形时，求的面积
(2)如图，当时，过点P作轴于点Q，求BQ的长．
(3)当以点A，B，P为顶点的三角形和相似时（不包括两个三角形全等），求m的值．
5、已知：在直角坐标平面内，抛物线y＝x2+bx+6经过x轴上两点A、B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C．求：
(1)抛物线的表达式及顶点坐标；
(2)△ABC的面积．

-参考答案-
一、单选题
1、A
【解析】
【分析】
由二次函数y＝x2﹣2x+m可知对称轴为x＝1，当x1+x2＜2时，点A与点B在对称轴的左边，或点A在左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离小，再结合抛物线开口方向，即可判断．
【详解】
解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，
∵x1＜x2，
∴当x1+x2＜2时，点A与点B在对称轴的左边，或点A在左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离大，
∴y1＞y2，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，灵活应用x1+x2与2的关系确定点A、点B与对称轴的关系是解决本题的关键．
2、A
【解析】
【分析】
先将二次函数的解析式化为顶点式，再逐项判断即可求解．
【详解】
解：∵，且 ，
∴二次函数图象开口向下，
∴A、若，则y随x的增大而增大，故本选项正确，符合题意；
B、函数图象的顶点坐标是，故本选项错误，不符合题意；
C、当时，函数有最大值-2，故本选项错误，不符合题意；
∵ ，
∴D、函数图象与x轴没有交点，故本选项错误，不符合题意；
故选：A
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
3、D
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴确定的符号，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：图象开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴右侧，
得到：，，，，
A、，，，得，故选项错误，不符合题意；
B、对称轴为直线，得，解得，故选项错误，不符合题意；
C、当时，得，整理得：，故选项错误，不符合题意；
D、根据图象知，抛物线与轴的交点横坐标，是一正一负，即，根据，整理得：，根据对称性可得出，则，故选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定．
4、B
【解析】
【分析】
直接利用图象设出抛物线解析式，进而得出答案．
【详解】
∵拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，
∴设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)，
∴-78=452a，
解得：a=，
∴此抛物线钢拱的函数表达式为，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，正确设出抛物线解析式是解题关键．
5、D
【解析】
【分析】
根据题意，列出关系式，即可判断是否是二次函数．
【详解】
A.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；
C.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D.由题得：，是二次函数，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的定义，形如的形式为二次函数，掌握二次函数的定义是解题的关键．
6、C
【解析】
【分析】
直接利用顶点式写出二次函数的顶点坐标即可得到正确的选项．
【详解】
解：抛物线的顶点坐标为，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解二次函数的顶点式，难度不大．
7、D
【解析】
【分析】
由二次函数的定义得a≠0，再由二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点得到Δ≥0，解不等式即可．
【详解】
解：∵二次函数y＝ax2＋4x＋1的图象与x轴有公共点，
∴Δ＝42﹣4a×1≥0，且a≠0，
解得：a≤4，且a≠0．
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与x轴的交点，关键是Δ＝b2−4ac决定抛物线与x轴交点的个数．
8、C
【解析】
【分析】
将抛物线解析式变形求出点C坐标，再根据两点之间线段最短求出AB+BC的最小值即可．
【详解】
解：二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k=(x-2)(x-1+k)-2
∴函数图象一定经过点C（2，-2）
点C关于x轴对称的点的坐标为（2，2），连接，如图，

∵
∴
故选：C
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，两点之间线段最短以及勾股定理等知识，明确“两点之间线段最短”是解答本题的关键．
9、B
【解析】
【分析】
先运用待定系数法求出原抛物线的解析式，再根据平移不改变二次项系数，得出平移后的抛物线解析式，求出A′的坐标，进而得出AA′的长度．
【详解】
∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），
∴y＝a（x+2）2+2，
∵与y轴交于点A（0，3），
∴3＝a（0+2）2+2，解得a＝
∴原抛物线的解析式为：y＝（x+2）2+2，
∵平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），
∴平移后的抛物线为y＝（x﹣1）2﹣1，
∴当x＝0时，y＝，
∴A′的坐标为（0，），
∴AA′的长度为：3﹣（）＝3．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平移、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．
10、D
【解析】
【分析】
由题意可设抛物线为y=（x-m）（x-n），则，再利用二次函数的性质可得答案.
【详解】
解：由已知二次项系数等于1的一个二次函数，
其图象与x轴交于两点（m，0），（n，0），
所以可设交点式y=（x-m）（x-n），
分别代入，，
∴


∵0＜m＜n＜3，
∴0＜≤4 ，0＜≤4 ，
∵m＜n，
∴ab不能取16 ，
∴0＜ab＜16 ，
故选D
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质得到是解本题的关键.
二、填空题
1、①④⑤
【解析】
【分析】
根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系综合进行判断即可．
【详解】
解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为（﹣3，﹣6），
∴当x＝﹣3时，y最小值＝﹣6，
∴对于任意的x＝m，其函数值y＝am2＋bm＋c≥﹣6，
因此①正确；
∵开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴ac＜0，
因此②不正确；
∵点（），（，y2）在对称轴右侧的抛物线上，根据在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴y1＜y2，
因此③不正确；
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点（﹣1，﹣4），由对称轴为x＝﹣3，根据对称性可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c还过点（﹣5，﹣4），
∴当y＝﹣4时，即方程ax2＋bx＋c＝﹣4有两个不相等的实数根﹣1和﹣5，
因此④正确；
∵对称轴x＝﹣＝﹣3，
∴b﹣6a＝0，
因此⑤正确；
综上所述，正确的结论有①④⑤，
【点睛】
本题考查了二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系综合，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
2、
【解析】
【分析】
连接PB，当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，而OQ是△ABP的中位线，即可求解．
【详解】
令，则x＝±4，
故点B（4，0），
∴OB=4
设圆的半径为r，则r＝2，
连接PB，如图，
∵点Q、O分别为AP、AB的中点，
∴OQ是△ABP的中位线，
当B、C、P三点共线，且点C在PB之间时，PB最大，此时OQ最大，
∵C（0，3）
∴OC=3
在Rt△OBC中，由勾股定理得：
则，
故答案为3.5．

【点睛】
本题考查了抛物线与坐标轴的交点，三角形中位线定理，勾股定理，圆的基本性质等知识，连接PB并运用三角形中位线定理是本题的关键和难点．
3、或
【解析】
【分析】
设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），由图象与x轴的另一交点到原点的距离为1可得到抛物线与x轴的另一交点坐标为（1，0）或（-1，0），然后分别把（0，0）、（1，0）、（-，-）或（0，0）、（-1，0）、（-，-）代入解析式中得到两个方程组，解方程组即可确定解析式．
【详解】
解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
当图象与x轴的另一交点坐标为（1，0）时，
把（0，0）、（1，0）、（-，-）代入得
，解得，
则二次函数的解析式为；
当图象与x轴的另一交点坐标为（-1，0）时，
把（0，0）、（-1，0）、（-，-）代入得
，解得，
则二次函数的解析式为y=x2+x．
所以该二次函数解析式为y=-x2+x或y=x2+x．
故答案为：y=-x2+x或y=x2+x．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：先设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），然后把二次函数图象上三个点的坐标代入得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值，从而确定二次函数的解析式．也考查了分类讨论思想的运用．
4、
【解析】
【分析】
根据的意义直接解答即可．
【详解】
解：二次函数的图象的顶点坐标是．
故答案为．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确：（a≠0）的顶点坐标为（0，c）．
5、
【解析】
【分析】
根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】
解：∵抛物线的顶点坐标为（0,2），
其图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，
得到的抛物线解析式为
即
故答案为：
【点睛】
本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．
三、解答题
1、 (1)①
(2)b的取值范围是
(3)t的取值范围是或．
【解析】
【分析】
（1）根据“友好图形”分别作出抛物线，双曲线，以及圆，根据定义进行判断即可；
（2）作⊙O的两条切线，过点O作OQ⊥KL，求得的值，根据对称性即可求得的取值范围；
（3）如图5，过点E作EQ⊥AC于Q，当图形W是⊙D时，⊙D与AB相切，此时，当图形W是⊙E时，⊙E与AB相切，此时，根据的坐标可得，BAy轴，BCx轴，可得出⊙E与AC相离，进而可得图形W与△ABC有两个交点时，t的取值是，如图6，当⊙E'与AC相切时，设切点为G，连接E'G，同理得，当⊙D'与AC相切时，设切点为H，连接D'H，同理得，t的取值是．综合2种情形即可得t的取值范围
(1)
①如图1，当y＝1时，x2＝1，

∴x＝±1，∴抛物线y＝x2与线段AB有两个交点为（1，1）和（－1，1），
∴抛物线y＝x2与线段AB互为“友好图形”；
②如图2，当y＝1时，，

∴x＝1，
∴双曲线与线段AB有1个交点为（1，1），
∴抛物线与线段AB不是互为“友好图形”．
③如图3，以O为圆心1为半径的圆与线段AB有1个交点为（0，1），

∴以O为圆心1为半径的圆与线段AB不是互为“友好图形”；
故答案为：①；
(2)
如图4，作⊙O的两条切线，这两条切线与直线y=kx+b平行，过点O作OQ⊥KL，

∵OQ＝1，△OQK是等腰直角三角形，
∴，
∴b的取值范围是．
(3)
如图5，过点E作EQ⊥AC于Q，

∵，，图形W是以（t，0）为圆心，1为半径的圆，
当图形W是⊙D时，⊙D与AB相切，此时，
当图形W是⊙E时，⊙E与AB相切，此时，
∵，，，
∴BAy轴，BCx轴，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝4，，
∴AC＝8，
∴∠C＝30°，
∴∠AFD＝∠C＝30°，
∴，
∴，
∴，
∴⊙E与AC相离，
∴图形W与△ABC有两个交点时，t的取值是．
如图6，当⊙E'与AC相切时，设切点为G，连接E'G，

同理得，
∴，
当⊙D'与AC相切时，设切点为H，连接D'H，同理得，
∴，
∴图形W与△ABC有两个交点时，t的取值是．
综上，若图形W与△ABC互为“友好图形”，t的取值范围是或．
【点睛】
本题考查了新定义，抛物线的性质，反比例函数图象的性质，圆的切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，直线与圆的位置关系，理解题意，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
2、 (1)
(2)见解析
(3)或或，两个图像公共点的个数为1个；时，两个图像公共点的个数为2个；或时，两个图像公共点的个数为0个；
(4)
【解析】
【分析】
（1）令，整理得：，可以转化为二次函数的图像与一次函数图像的公共点；
（2）先在坐标轴上描出点，再连线即可；
（3）通过数形结合的方式进行分类讨论；
（4）通过数形结合的方式，分当时；当时；注意当时，要使有两个公共点，则满足，求解即可．
(1)
解：令，
整理得：，
可以转化为二次函数的图像与一次函数图像的公共点，
故答案为：；
(2)
解：先在坐标轴上描出点，
再连线即可，如下图：

(3)
解：如图：

当时，与有一个交点，
当时，与有两个交点，
当时，与有一个交点，
综上：或或，两个图像公共点的个数为1个；时，两个图像公共点的个数为2个；或时，两个图像公共点的个数为0个；
(4)
解：如下图：

当时，（其中，m为常数）与有一个交点有一个公共点；
当时，（其中，m为常数）与没有公共点；
要使（其中，m为常数）与有两个公共点，则满足
且，
解得：且，
，
故时，（其中，m为常数）与有两个公共点，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数与一次函数的综合，函数图象的交点问题，解题的关键是利用数形结合、分类讨论、转化的思想进行求解．
3、 (1)
(2)
(3)t≥9
【解析】
【分析】
（1）从交点式即可求得表达式；
（2）求得直线EF的关系式，设出，，表示出MN的关系式，配方求得结果；
（3）先求得直线EF的关系式，设，，进而表示出MN的关系式，进一步求得结果．
(1)
由题意得，
故答案是：；
(2)
∵t=5
∴F（4，5），
∵E（0，3），F（4，5），
∴设直线EF的关系式为y=kx+b
把E（0，3），F（4，5）代入y=kx+b得，

解得，
∴直线EF的关系式是：y=x+3，
设，，
∴，
∴当a=3时，MN最大=，
当a=3时，，
∴；
(3)
∵E（0，3），F（4，t），
∴直线EF的关系式是：，
设，
∴，
∵对称轴，0≤m≤4，
∴当时，MN随m的增大而增大，
∴t≥9．
【点睛】
本题考查了二次及其图象性质，求一次函数的关系式等知识，解决问题的关键是熟练掌握二次函数图图象性质．
4、 (1)4
(2)2
(3)或m=
【解析】
【分析】
（1）先求出A、B、C三点的坐标，进而表示出AB、BC、AC的长，然后根据勾股定理求得m，确定C的坐标，最后运用三角形的面积公式解答即可；
（2）先用待定系数法求得BC所在直线直线的解析式，进而求得直线AP的解析式，然后与抛物线的解析式联立即可解答；
（3）先说明∠ABC=45°，然后分三种情况解答即可．
(1)
解：由抛物线开口向上，则m＞0
令x=0，则y=-2，即C点坐标为（0，-2），OC=2
令y=0，则，解得x=-2或x=m，即点A（-2，0），点B（m，0）
∴OA=2,OB=m
∴AB=m+2
由勾股定理可得AC2=(-2-0)2+[0-（-2）]2=8, BC2=(m-0)2+[0-（-2）]2=m2+4
∵当为直角三角形时，仅有∠ACB=90°
∴AB2= AC2+BC2,即(m+2)2=8+m2+4,解得m=2
∴AB=m+2=4
∴的面积为：·AB·OC=×4×2=4．
(2)
解：设BC所在直线的解析式为：y=kx+b
则 ，解得
∴BC所在直线的解析式为y=x-2
设直线AP的解析式为y=x+c
则有：0=×（-2）+c，即c=
∴线AP的解析式为y=x+
联立 解得x=-2（A点横坐标）,x=m+2（P点横坐标）
∴点P的纵坐标为：
∴点P的坐标为（m+2，）
∴OQ=m+2
∴BQ=OQ-OB= m+2-m=2．
(3)
解：∵点P为抛物线上一动点（点P不与点C重合）．
∴设P（x，）
∵在△ABC中，∠BAC=45°
∴当以点A，B，P为顶点的三角形和相似时，有三种情况：
①a.若△ABC∽△BAP
∴
又∵BP=AC
∴△ABC∽△BAP不符合题意；

b. 若△ABP∽△BAC
∴
过P作PQ⊥x轴于点Q，则∠PQB=90°
∴∠BPQ=90°-∠PBQ=45°
∴PQ=BQ=m-x
由于PQ=
∴
∴
∴x-m=0或
∴x=m（舍去），x=-m-2
∴BQ=m-（-m-2）=2m+2
∵
∴
∴m2-4m-4=0，解得：m=或m=（舍去）
∴m=；

②当∠PAB=∠BAC=45°时，分两种情况讨论：
a. 若△ABP∽△ABC,则 ,点C与点P重合，不合题意；
b. 若△ABP∽△BAC,则 ,
过P作PQ⊥x轴于点Q，则∠PQA=90°
∴∠APQ=90°-∠PAB=45°
∴PQ=AQ=x+2
由于PQ=
∴
∴
∴x+2=0或
∴x=-2（舍去），x=2m
∴AQ= =2m+2
∵
∴
∴m2-4m-4=0，解得：m=（舍去）或m=
∴m=；

③当∠APB=∠BAC=45°时，分两种情况讨论：
a.过点A作PM//BC交抛物线于点M，则∠MAB=∠ABC，
∵∠MAB≠∠PAB，
∴∠PAB≠∠ABC，
∴△PAB与△BAC不相似；

b. 取点C关于x轴的对称点，连接并延长 交抛物线于点N，则∠NBA=∠CBA，
∵∠PBA≠∠NBA，
∴∠PBA≠∠CBA，
∴△PAB与△BAC不相似；

综上，m的值为m=或m=．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，涉及抛物线与坐标轴的交点、勾股定理、三角形面积公式、运用待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
5、 (1)
(2)3
【解析】
【分析】
（1）把点的坐标代入抛物线，即可得出抛物线的表达式；
（2）先求出，，，再利用三角形面积公式求解即可．
(1)
解：把点的坐标代入抛物线，
得，
解得，
所以抛物线的表达式：；
(2)
解：抛物线的表达式，
令时，，
解得：，
，
当，，
，
，
．
【点睛】
本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确的设出抛物线的解析式．