冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试优秀同步测试题

这是一份冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试优秀同步测试题，共33页。
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、已知二次函数的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2、对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y=x2+4x+c有两个相异的不动点x1，x2，且x1＜3＜x2，则c的取值范围是（ ）
A．c＜﹣6B．c＜﹣18C．c＜﹣8D．c＜﹣11
3、二次函数y＝ax2﹣4ax＋c（a＞0）的图象过A（﹣2，y1），B（0，y2），C（3，y3），D（5，y4）四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若y1y2＞0，则y3y4＞0B．若y1y4＞0，则y2y3＞0
C．若y2y4＜0，则y1y3＜0D．若y3y4＜0，则y1y2＜0
4、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为(﹣1，0)．则下面的四个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③当y＜0时，x＜﹣1或x＞3；④3a+c＝0．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
5、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论：①x＞0时，y随x的增大而增大；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④关于x的方程ax2+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根．其中，所有正确结论的序号为（ ）
A．②③B．②④C．①②③D．②③④
6、一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7、将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ）
A．B．C．D．
8、已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则（ ）
A．b＞0，c＞0，Δ＝0B．b＜0，c＞0，Δ＝0
C．b＜0，c＜0，Δ＝0D．b＞0，c＞0，Δ＞0
9、已知二次项系数等于1的一个二次函数，其图象与x轴交于，两点，且过，两点．若，则ab的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10、若二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过点（﹣1，1），（4，6），（3，1），则（ ）
A．y≤3B．y≤6C．y≥-3D．y≥6
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如果（2，y1）（3，y2）是抛物线y＝（x+1）2上两点，那么y1_____y2．（填“＞”或“＜”）
2、已知抛物线y＝（x﹣1）2有点A（0，y1）和B（3，y2），则y1___y2．（用“＞”，“＜”，“＝”填写）
3、已知二次函数，当y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是______．
4、二次函数（m、c 是常数，且m≠0）的图像过点 A(3，0)，则方程mx2＋2mx＋c＝0的根为______．
5、把二次函数的图象关于轴对称后得到的图象的函数关系式为_________．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，点D是OC的中点，P是抛物线上位于第一象限的动点，连接PD，PB、BD，求面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将原抛物线水平向右平移，使点A落在点处，点M是原抛物线对称轴上任意一点，在平移后的新抛物线上确定一点N，使得以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．
2、已知直线y1＝kx+1（k＞0）与抛物线y2＝x2．
(1)当﹣4≤x≤3时，函数y1与y2的最大值相等，求k的值；
(2)如图①，直线y1＝kx+1与抛物线y2＝x2交于A，B两点，与y轴交于F点，点C与点F关于原点对称，求证：S△ACF：S△BCF＝AC：BC；
(3)将抛物线y2＝x2先向上平移1个单位，再沿直线y1＝kx+1的方向移动，使向右平行移动的距离为t个单位，如图②所示，直线y1＝kx+1分别交x轴，y轴于E，F两点，交新抛物线于M，N两点，D是新抛物线与y轴的交点，当△OEF∽△DNF时，试探究t与k的关系．
3、抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OA＝OB，与y轴交于点C．
(1)求证：b＝0；
(2)点P是第二象限内抛物线上的一个动点，AP与y轴交于点D．连接BP，过点A作AQ∥BP，与抛物线交于点Q，且AQ与y轴交于点E．
①当a＝﹣1时，求Q，P两点横坐标的差；（用含有c的式子来表示）
②求的值．
4、已知二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)求二次函数的图象与轴的交点坐标．
5、已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C(0，3)，其对称轴是直线x＝1，点P是抛物线上第一象限内的点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交BC于点D，且点P的横坐标为m．
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)如图1，PE⊥BC，垂足为E，当DE＝BD时，求m的值；
(3)如图2，连接AP，交BC于点H，则的最大值是 ．
-参考答案-
一、单选题
1、B
【解析】
【分析】
根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．
【详解】
解：抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2-4ac>0，故①是错误的；
由图象可知，当x=-1时，y=a-b+c>0，因此③是错误的；
由开口方向可得，a>0，对称轴在y轴右侧，a、b异号，因此b-2
因此④正确的，
综上所述，正确的有2个，
故选：B．
【点睛】
考查二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．
2、B
【解析】
【分析】
由题意得不动点的横纵坐标相等，即在直线y=x上，故二次函数与直线y=x有两个交点，且横坐标满足x1＜3＜x2，可以理解为x=3时，一次函数的值大于二次函数的值．
【详解】
解：由题意得：不动点在一次函数y=x图象上，
∴一次函数y=x与二次函数的图象有两个不同的交点，
∵两个不动点x1，x2满足x1＜3＜x2，
∴x=3时，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，
∴3＞32+4×3+c，
∴c＜-18．
故选：B．
【点睛】
本题以新定义为背景，考查了二次函数图象和一次函数图象的交点与系数间的关系，本题亦可以转化为方程的解来解题．
3、C
【解析】
【分析】
根据函数表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而得到y3＜y2＜y4＜y1，再结合题目一一判断即可．
【详解】
解：由函数表达式可知：函数图像开口向上，对称轴为直线x==2，
∵-2＜0＜2＜3＜5，
∴y3＜y2＜y4＜y1，
若y1y2＞0，则y3y4＞0或y3y4＜0，选项A不符合题意，
若y1y4＞0，则y2y3＞0或y2y3＜0，选项B不符合题意，
若y2y4＜0，则y1y3＜0，选项C符合题意，
若y3y4＜0，则y1y2＜0或y1y2＞0，选项D不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
4、B
【解析】
【分析】
①根据函数图象及函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，即可求解；②抛物线和x轴有两个交点，即可求解；③点B坐标为（﹣1，0），点A（3，0），即可求解；④对称轴为x＝1，则b＝﹣2a，点B（﹣1，0），故a﹣b+c＝0，即可求解．
【详解】
解：①∵函数图象开口向下
∴
又函数的对称轴在y轴右侧，
∴
∴
∵抛物线与y轴正半轴相交，
∴c＞0，
∴abc＜0，故原答案错误，不符合题意；
②∵抛物线和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0正确，符合题意；
③∵点B坐标为（﹣1，0），且对称轴为x＝1，
∴点A（3，0），
∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．故正确，符合题意；
④∵函数的对称轴为：x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵点B坐标为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣2a，
∴
即3a+c＝0，正确，符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点等．
5、D
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象及性质即可判断．
【详解】
解：由函数图象可知，抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（3，0），
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故①错误；
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②正确；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴﹣a＞c，
∴直线y＝﹣a与抛物线y＝ax2+x+c有2个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝﹣a有两个不相等的实数根，
即关于a的方程ax2+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根，故④正确；
正确的有②③④，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系，本题属于中等题型．
6、C
【解析】
【分析】
逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【详解】
A、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，A不可能；
B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，B不可能；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C可能；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D不可能．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限．
7、B
【解析】
【分析】
由题意知，平移后的抛物线解析式为，将各选项中的横坐标代入，求出纵坐标并与各选项的纵坐标比较，纵坐标相同的即为正确答案．
【详解】
解：由题意知，平移后的抛物线解析式为
将代入解析式得，与A中点坐标不同，故不符合要求；
将代入解析式得，与B中点坐标相同，故符合要求；
将代入解析式得，与C中点坐标不同，故不符合要求；
将代入解析式得，与D中点坐标不同，故不符合要求；
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移．解题的关键在于写出平移后的二次函数解析式．
8、B
【解析】
【分析】
根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定b的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定△的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案．
【详解】
解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴＞0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∵抛物线与x轴有一个交点，
∴Δ=0，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与系数的关系，牢记抛物线的对称轴公式．
9、D
【解析】
【分析】
由题意可设抛物线为y=（x-m）（x-n），则，再利用二次函数的性质可得答案.
【详解】
解：由已知二次项系数等于1的一个二次函数，
其图象与x轴交于两点（m，0），（n，0），
所以可设交点式y=（x-m）（x-n），
分别代入，，
∴


∵0＜m＜n＜3，
∴0＜≤4 ，0＜≤4 ，
∵m＜n，
∴ab不能取16 ，
∴0＜ab＜16 ，
故选D
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质得到是解本题的关键.
10、C
【解析】
【分析】
根据图像经过三点求出函数表达式，再根据最值的求法求出结果．
【详解】
解：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c经过（﹣1，1），（4，6），（3，1），
∴，
解得：，
∴函数表达式为y＝x2-2x-2，开口向上，
∴函数的最小值为=，即y≥-3，
故选C．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的最值，属于基础题，解题的关键是掌握二次函数最值的求法．
二、填空题
1、＜
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x+1）2的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，则在对称轴右侧，y随x的增大而增大．
【详解】
解：∵y＝（x+1）2，
∴a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线y＝（x+1）2对称轴为直线x＝﹣1，
∵﹣1＜2＜3，
∴y1＜y2．
故答案为＜．
【点睛】
本题考查了的性质，求得对称轴是解题的关键．
2、＜
【解析】
【分析】
分别把A、B点的横坐标代入抛物线解析式求解即可．
【详解】
解：x＝0时，y1＝（0﹣1）2＝1，
x＝3时，y3＝（3﹣1）2＝4，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出相应的函数值是解题的关键．
3、
【解析】
【分析】
函数图象的对称轴为直线，图象在对称轴的右侧y随x的增大而增大，进而可得自变量x的取值范围．
【详解】
解：由知函数图象的对称轴为直线，图象在对称轴的右侧y随x的增大而增大
∴自变量x的取值范围是
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练把握二次函数的图象与性质．
4、3或-5##-5或3
【解析】
【分析】
将A点坐标代入得，解得，原方程变为，因式分解法解方程即可．
【详解】
解：将A点坐标代入得
解得
∴原方程变为
∴
∴或
解得的值为3或
故答案为：3或．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，二次函数与一元二次方程的关系．解题的关键在于理解二次函数与一元二次方程的关系．
5、
【解析】
【分析】
函数的图象关于y轴对称后的顶点坐标为(-1，0)，然后根据顶点式写出解析式．
【详解】
解：的顶点坐标是(1，2)，由于(1，2)关于y轴的对称点为(-1，2)，所以得到的图象的函数解析式是；
故答案为．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
三、解答题
1、 (1)抛物线的解析式为：；
(2)面积的最大值为，此时；
(3)或时，以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形．
【解析】
【分析】
（1）将点A、点B的坐标代入抛物线解析式，解方程组即可确定；
（2）根据（1）及题干条件可得，，设直线BD的函数解析式为：，将点D、点B的坐标代入解析式确定直线解析式，过点P作轴，交BD于点F，设，则，可得线段PF长度，结合图形求三角形面积得到解析式，然后化为顶点式，即可确定面积最大值及此时x的值，最后代入点P坐标即可确定；
（3）原抛物线水平向右平移，使点A落在点处，相当于抛物线向右平移2个单位，求出平移后的解析式，然后设，，分两种情况进行讨论：①当BC为平行四边形的边时；②当BC为平行四边形的对角线时；分别利用平行四边形的性质：对角线互相平分求出中点坐标得出方程求解即可得．
(1)
解：将点A、点B的坐标代入抛物线解析式为：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
(2)
解：根据（1）可得：当时，，
∴点，
∵点D是OC的中点，
∴，
设直线BD的函数解析式为：，将点D、点B的坐标代入解析式为：
，
解得：，
∴直线BD的函数解析式为：，
过点P作轴，交BD于点F，
设，则，
∴，
∴
，
，
，
，
∴当时，∴取得最大值为，
当时，，
∴，
故面积的最大值为，此时；
(3)
解：，
原抛物线水平向右平移，使点A落在点处，相当于抛物线向右平移2个单位，
平移后的解析式为：，
点M是原抛物线对称轴上任意一点，，，
设，，
①当BC为平行四边形的边时，如图所示：
根据平行线的对角线互相平分，中点为同一个点，
∴线段BM的中点为：，线段CN的中点为：，
可得：，，
解得：，，
当时，，
，
∴，；
②当BC为平行四边形的对角线时，如图所示：
根据平行线的对角线互相平分，中点为同一个点，
∴线段BC的中点为：，线段MN的中点为：，
可得：，，
解得：，，
当时，，
，
∴，；
综上可得：或时，以点B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形．
【点睛】
题目主要考查利用待定系数法确定二次函数解析式，抛物线上动点面积问题，平行四边形的性质，坐标中两个点的中点坐标等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
2、 (1)
(2)证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据函数图象的性质可知，当时，， ，，有，求解即可；
（2）如图，分别过点作交点分别为，设两点横坐标分别为，由题意知：，， ，，；有，，，，故可证；
（3）平移后的二次函数解析式为，与y轴的交点坐标为，可知，有相同的纵坐标，可得，解得，知点横纵标，在点一次函数与二次函数相交，有相同的纵坐标，可得，进而可得的关系．
(1)
解：∵，
∴根据函数图象的性质可知，当时，，
∵
∴
解得．
(2)
证明：如图，分别过点作交点分别为
∴
设两点横坐标分别为，
由题意知：
∴，
∵
∴
∵，
∴
∴
∴．
(3)
解：由题意知，平移后的二次函数解析式为，与y轴的交点坐标为，
∵
∴
∴有相同的纵坐标
∴
解得
故可知点横纵标
∵在点一次函数与二次函数相交，有相同的纵坐标
∴
解得．
【点睛】
本题考查了一次函数与二次函数的综合，相似三角形等知识．解题的关键在于灵活运用知识求解．
3、 (1)见解析
(2)①2；②2．
【解析】
【分析】
（1）利用根与系数的关系即可证明b=0；
（2）①设出P点坐标，然后令c=t²，然后表示出A、B的坐标，先求出直线BP的解析式，即可得到直线AQ的解析式，然后联立抛物线与直线AQ解析式，求出Q点横坐标，即可求解；②同①的方法，令a=-s²，c=t²，设出P点坐标，分别求出D、E的坐标，代入计算即可求解．
(1)
解：设方程ax2+bx+c=0两根为x1，x2，
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，且OA＝OB，
∴x1=-x2，即x1+x2=0，
∵x1+x2=-，
∴-=0，
∵a＜0，
∴b=0；
(2)
解：①当a=﹣1时，令c=t2，抛物线的解析式为y=-x2+t2，
解方程-x2+t2=0，得：x1=t，x2=-t，
∴A(-t，0)，B(t，0)，
设点P的坐标为(p，-p2+ t2)，
设直线PB的解析式为y=kx+m，
∴，解得：，
∴直线PB的解析式为y=x+，
∵AQ∥BP，
设直线AQ的解析式为y=x+n，
把A(-t，0)代入得：n=
∴直线AQ的解析式为y=，
联立y=和y=-x2+ t2得：，
整理得：，
解得x1=-t，x2=p+2t，
∴点Q的横坐标为p+2t，
∴Q，P两点横坐标的差为p+2t-p=2t=2；
②令c=t2，a=-s²，抛物线的解析式为y=-s²x2+t2，
解方程-s²x2+t2=0，得：x1=，x2=-，
∴A(-，0)，B(，0)，C(0，t2)，
设点P的坐标为(p，-s²p2+ t2)，
同理求得直线PB的解析式为y=x+，
直线AQ的解析式为y=，
令x=0，则y=，
即点E的坐标为(0，)，
同理求得直线AP的解析式为y=，
令x=0，则y=，
即点D的坐标为(0，)，
∴OD=，OE=，OC=，
∴．
．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．
4、 (1)y＝x 2+ x﹣；
(2)（0，﹣）．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法，把代入函数解析式即可求；
（2）令x＝0，求得y的值即可得出结论．
(1)
解：∵二次函数y＝a（x+1）2﹣2的图象经过点（﹣5，6），
∴a（﹣5+1）2﹣2＝6．
解得：a＝．
∴二次函数的表达式为：y＝（x+1）2﹣2，即y＝x 2+ x﹣；
(2)
解：令x＝0，则y＝×（0+1）2﹣2＝﹣，
∴二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣）．
【点睛】
本题主要考查了待定系数法确定抛物线的解析式，二次函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键．
5、 (1)
(2)m=2
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据对称轴是直线x=1，利用二次函数对称轴方程可求出b，再根据抛物线与y轴的交点坐标C（0，3）可求出c，即可求出二次函数解析式；
（2）先求出抛物线与x轴的交点坐标，可得OB=OC，继而得出△OBC是等腰直角三角形，由PQ⊥OB，PE⊥BC，可得△DQB和△PED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BQ=DQ，BD=，DE=PD，由P的横坐标是m，用含m表示出DE、BD的长，再根据DE=BD列方程求解；
（3）过点A作垂直x轴直线交BC与点G，先直线BC解析式，再求AG，由 PQ⊥OB，AG⊥OB，可得 PQ∥AG，继而可得△PDH∽△AHG，由相似三角形的性质可得，再根据二次函数求最值求解即可
(1)
将C （0，3）代入y=-x2+bx+c可得c=3，
∵对称轴是直线x=1，
∴=1，即-=l，解得b=2，
∴二次函数解析式为y=-x2+2x+3；
(2)
令解得，
∴A(-1，0)，B（3，0），
∴OB=3，
∵OC=3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，BC=，
∵PQ⊥OB，PE⊥BC，
∴∠PQB=∠PED=90°，
∴∠QDB=∠PDE=∠OBC=45°，
∴△DQB和△PED是等腰直角三角形，
∴BQ=DQ，BD=，DE=，
∵P点横坐标是m，且在抛物线上，
∴PQ=，OQ=m，
∴BQ=DQ=3-m，BD=，
∴PD=PQ-DQ=，DE=，
∵DE＝BD，
∴，
解得：（舍去），
∴m=2
(3)
过点A作x轴的垂线交BC于点G，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
将B（3，0），C（0，3）代入，可得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
∵A（-1，0），
∴G（-1，4），
∴AG=4，
∴PQ⊥OB，AG⊥OB，
∴PQ∥AG，
∴△PDH∽△AHG，
∴，
∴当a=时，有最大值，最大值是．
故答案为：
【点睛】
本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数最值问题，相似三角形的性质与判定等知识，第（3）问将比例转化是解题关键．