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2021学年第三节 电磁感应定律的应用巩固练习
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这是一份2021学年第三节 电磁感应定律的应用巩固练习，共28页。试卷主要包含了3电磁感应定律的应用 课后练习，2J等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年粤教版（2019）选择性必修第二册
2.3电磁感应定律的应用 课后练习（解析版）
1．一个面积S = 0.05m2匝数n = 100的闭合线圈放在匀强磁场中，磁场方向垂直于线圈平面，磁感应强度B随时间t变化的规律如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．0 ~ 2s内线圈中感应电流的方向发生了改变
B．2 ~ 4s内穿过线圈的磁通量的变化量等于零
C．0 ~ 2s内线圈中产生的感应电动势等于10V
D．在第3s末线圈中的感应电动势等于零
2．如图甲所示，在垂直纸面的匀强磁场中固定放置一个与磁场方向垂直的正方形线框，规定垂直纸面向里为磁场的正方向，顺时针方向为电流的正方向。磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示，下图中能定性反应线框中的感应电流i随时间t变化的图像是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示，等腰直角三角形OPQ区域内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，它的OP边在x轴且长为L。纸面内一边长为L的正方形导线框的一条边在x轴上，且线框沿x轴正方向以恒定的速度v穿过磁场区域，在时该线框恰好位于如图所示的位置。现规定以逆时针方向为导线框中感应电流的正方向，在下列四幅图中，能正确表示感应电流随线框位移关系的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图所示“U"形光滑金属导轨水平放置，导轨间距为L=1m，匀强磁场竖直向下，磁感应强度为B=1T；有一质量为m=1kg、长度为L=1m、电阻为的金属棒MN垂直导轨静止放置，现给金属棒一水平向右的力F，使金属棒从静止开始向右做加速度为a=2m/s2的匀加速直线运动，若导轨电阻不计，g=10m/s2，则（ ）
A．1s末通过金属棒的电流强度大小为4A
B．1s末金属棒受到的拉力大小为4N
C．前1s内通过金属棒的电荷量为2C
D．前1s内拉力F做功为4J
5．如图所示，一匝数为10匝的闭合金属线圈，总电阻为10.0Ω，线圈面积为1.0m2，图示区域内有匀强磁场，且磁感应强度随时间的变化规律为B=0.5+2t（T），则（ ）
A．线圈中产生顺时针方向的感应电流
B．线圈中产生的感应电动势为2V
C．线圈中的感应电流大小为2A
D．t=0.25s时线圈中消耗的电功率为10W
6．如图所示，纸面内两个宽度均为a的区域内存在着方向相反、磁感应强度大小相等的匀强磁场，纸面内一个边长为的等边三角形闭合金属线框水平向右匀速通过两个磁场区域。已知运动过程中线框的BC边始终与虚线边界平行，若规定逆时针方向为感应电流i的正方向，则从线框的A点进入磁场开始，线框中的感应电流i随线框移动距离x变化的i-x图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图所示，一端接有定值电阻R=0.9Ω的平行光滑金属轨道，固定在水平面内，其宽度L=0.5m，导轨电阻不计，整个装置处在B=2T的匀强磁场中，磁场方向与水平面成30°角。现有一根垂直于导轨放置的导体棒ab，在水平向右的恒力F作用下以v=4m/s的速率向右匀速运动，导体棒ab的电阻为r=0.1Ω，导体棒始终与导轨接触良好，则下列说法正确的是（ ）
A．导体棒ab中的电流大小为4A，且a端电势高
B．导体棒ab中的电流大小为2A，且b端电势高
C．为了维持导体棒的匀速运动，水平恒力的大小为F=1N
D．为了维持导体棒的匀速运动，水平恒力的大小为F=2N
8．如图所示，在绝缘水平面内固定着一金属框架MON，金属棒ab和框架MON均足够长且接触良好。已知框架MON和金属棒ab的材料、粗细均相同，且单位长度的电阻均为R0，框架顶角∠MON=θ。在该空间内存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。金属棒ab在水平外力的作用下从O点开始沿垂直金属棒ab的方向以速度v水平向右匀速运动，回路始终构成顶角为θ的等腰三角形，则下列回路中的电流I、通过金属棒的电荷量q、外力F与回路中的热功率P随时间t变化的图像，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图所示，导体棒a、b分别置于平行光滑水平固定金属导轨的左右两侧，其中a棒离宽轨道足够长，b棒所在导轨无限长，导轨所在区域存在垂直导轨所在平面竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。已知导体棒的长度等于导轨间的距离，导体棒粗细均匀，材质相同，a棒的质量为m，电阻为R，a棒的长度为L，b棒的长度为。现给导体棒a一个水平向右的瞬时冲量I。导体棒始终垂直于导轨且与导轨接触良好，不计导轨电阻，关于导体棒以后的运动，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒a稳定运动后的速度为
B．导体棒b稳定运动后的速度为
C．从开始到稳定运动过程中，通过导体棒a的电荷量为
D．从开始到稳定运动过程中，导体棒b产生的热量为
10．如图所示，一质量为2m的足够长U形光滑金属框abcd置于水平绝缘平台上，bc边长为L，不计金属框电阻。一长为L的导体棒MN置于金属框上，导体棒的阻值为R、质量为m。装置处于磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中。现给金属框水平向右的初速度v0，在整个运动过程中MN始终与金属框保持良好接触，则（ ）
A．刚开始运动时产生的感应电流方向为M→N→c→b→M
B．导体棒的最大速度为
C．通过导体棒的电荷量为
D．导体棒产生的焦耳热为
11．竖直面内，两足够长的光滑导轨、成一定角度放置，如图所示，两导轨上端距离小，下端距离逐渐变大，在两导轨下端连有电阻R。虚线下方空间存在水平向里的匀强磁场。一金属杆P贴紧导轨水平放置，从虚线上方一定高处由静止释放，当P与虚线重合时立即给P一个竖直方向的外力F，使其始终匀速下落，不计导轨和P的电阻，P始终与导轨垂直并接触良好，P进入磁场以后的运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．电阻R中的电流方向由b指向d
B．电阻R消耗的电功率保持不变
C．外力F可能一直变大
D．外力F可能先变小后变大
12．如图所示。现有两个宽度均为L的垂直于纸面的有界匀强磁场，磁感应强度大小均为B，方向相反。另有一个边长为L、质量为m的正方形线框，其电阻为R，线框初始时与磁场的距离也为L，若使线框从图示位置由静止开始下落，下列说法正确的是（ ）
A．若线框能够匀速进入磁场，则进入磁场时的速度
B．若线框能够匀速离开磁场，则离开磁场时的速度
C．若线框完全进入磁场后做匀速运动，则运动的速度
D．线框在进入磁场的过程中，因没有受到外力作用，线框减少的重力势能完全转化成了线框的动能
13．如图甲所示，平行光滑金属导轨水平放置，两导轨相距，导轨一端与阻值的电阻相连，导轨电阻不计，一侧存在沿轴正方向均匀增大的磁场，其方向垂直导轨平面向下，磁感应强度与位置的关系如图乙所示。一根质量、接入电路的电阻的金属棒置于导轨上，并与导轨垂直，棒在外力作用下从处以初速度沿导轨向右做变速运动，且金属棒在运动过程中受到的安培力大小不变。下列说法正确的是（ ）。
A．金属棒向右做匀减速直线运动
B．金属棒在处的速度大小为
C．金属棒从运动到的过程中，流过金属棒的电荷量为
D．金属棒从运动到的过程中，外力所做的功为
14．如图所示，电阻不计的光滑U形金属导轨固定在绝缘斜面上。区域Ⅰ、Ⅱ中磁场方向均垂直斜面向上，Ⅰ区中磁感应强度随时间均匀增加，Ⅱ区中为匀强磁场。阻值恒定的金属棒从无磁场区域中a处由静止释放，进入Ⅱ区后，经b下行至c处反向上行。运动过程中金属棒始终垂直导轨且接触良好。在第一次下行和上行的过程中，以下叙述正确的是（ ）
A．金属棒下行过b时的速度大于上行过b时的速度
B．金属棒下行过b时的加速度大于上行过b时的加速度
C．金属棒不能回到无磁场区
D．金属棒能回到无磁场区，但不能回到a处
15．如图所示，一个边长为L的正方形导线框，其电阻为R，线框以恒定速度v沿x轴运动，并穿过图中所示由虚线围成的匀强磁场区域，磁感应强度为B。如果以x轴的正方向作为安培力的正方向，线框在图示位置的时刻开始计时，则b、c两点间的电势差和线框所受的安培力随时间的变化图像为（ ）
A． B．
C． D．
16．如图所示，一对平行的粗糙金属导轨固定于同一水平面上，导轨间距L=0.2m，导轨左端接有阻值R=0.2的电阻，右侧平滑连接一对弯曲的光滑轨道，仅在水平导轨的整个区域内存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小B=1.0T。一根质量m=0.4kg，电阻r=0.1的金属棒ab垂直放置于导轨上，金属棒ab在水平向右F=0.8N的恒力作时下从静止开始运动，当金属棒通过位移x=9m时离开磁场，在离开磁场前金属棒ab的速度已达到最大值。当金属棒离开磁场时撤去外力F，接着金属棒沿弯曲轨道向上运动。已知金属棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.1，导轨电阻不计，金属棒在运动过程中始终与导轨垂直且与导轨保持良好接触，取g=10m/s2。求∶
（1）金属棒运动的最大速率v及金属棒沿弯曲轨道上升的最大高度h；
（2）金属棒在磁场中速度为时的加速度大小；
（3）金属棒在磁场区域运动过程中，电阻R上产生的焦耳热。
17．如图所示，一面积为S的单匝圆形金属线圈与阻值为R的电阻连接成闭合电路，不计圆形金属线圈及导线的电阻。线圈内存在一个方向垂直纸面向里、磁感应强度大小均匀增加且变化率为k的磁场B。电阻R两端并联一对平行金属板M、N，两板间距为d，N板右侧坐标系（坐标原点О在N板的下端）的第一象限内，有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场边界OA和y轴的夹角，区域为无场区。在靠近M板处的Р点由静止释放一质量为m、带电荷量为的粒子（不计重力），经过N板的小孔，从点垂直y轴进入第一象限，经OA上D点（图中未画出）离开磁场，最后垂直轴离开第一象限。求：
（1）平行金属板M、N间的电压U；
（2）区域内匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（3）其他条件不变，仅把区域内的匀强磁场换成平行y轴向下的匀强电场，粒子从Q点进入磁场，仍经OA上的D点离开电场，求该电场的电场强度E的大小。
18．如图所示，在光滑水平面内，平行虚线与间距为d，两虚线之间分布有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．是质量为m、总电阻为R、边长为l的正方形单匝导线框，导线框以大小为的速度垂直磁场左边界进入磁场，最后从右边界穿出。不计空气阻力，。求：
（1）导线框边刚进入磁场时，导线框中感应电流的大小和方向；
（2）导线框穿越磁场过程中增加的内能。
19．如图所示，MN、PQ为间距L=0.5m足够长的平行导轨，导轨平面与水平面间的夹角θ=37°，N、Q间连接有一个阻值R=1Ω的电阻。有一匀强磁场垂直于导轨平面且方向向上，磁感应强度为B0=1T，将一根质量为m=0.5kg的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上，且与导轨接触良好。现由静止释放金属棒，当金属棒滑行至cd处时达到稳定速度。已知金属棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.50，金属棒沿导轨下滑过程中始终与NQ平行，不计金属棒和导轨的电阻（g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）。求：
（1）金属棒沿导轨开始下滑时的加速度大小；
（2）金属棒到达cd处的速度大小；
（3）已知金属棒从ab运动到cd过程中，通过电阻的电荷量为2.5C，求此过程中电阻R产生的焦耳热。
（4）若将金属棒滑行至cd处的时刻计作t=0，从此时刻起，让磁感应强度逐渐减小，为使金属棒中不产生感应电流，则磁感应强度B应该怎样随时间t变化（写出B与t的关系式）。
20．如图，倾角为的金属导轨光滑且足够长，上端连接一的定值电阻，底端通过一小段光滑的圆弧与水平金属导轨平滑连接，两导轨间距均为。在倾斜导轨的区域有垂直于轨道平面斜向上的匀强磁场，在水平导轨的区域有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小都为，导体棒的质量为、电阻，棒由倾斜导轨上足够高处下滑至两导轨交界处（交界处无磁场）时，与静止在交界处的棒发生弹性正碰，棒的质量也为，电阻。导体棒进入匀强磁场区域，在磁场中运动距离后停止运动，其中导体棒与水平导轨间的动摩擦因数，g取，不计导轨的电阻，求：
（1）棒下滑的最大速度；
（2）导体棒开始运动到停止，电阻产生的热量；
（3）导体棒的运动时间t。
参考答案
1．C
【详解】
A．在0 ~ 2s内线圈的磁通量变化率是恒定的，则产生的电流为恒定电流，A错误；
B．在2 ~ 4s内穿过线圈的磁通量的变化量为DΦ = 2BS不等于零，B错误；
C．在0 ~ 2s内线圈中产生的感应电动势为
E = n = 100 × 0.1V = 10V
C正确；
D．在2 ~ 4s内线圈的磁通量变化率是恒定的且不为零，则产生的电流为恒定电流，所以在第3s末线圈中的感应电动势不等于零，D错误。
故选C。
2．B
【详解】
在0~t0时间内，感应电流为顺时针方向，即正方向；电流大小
在t2~2t0时间内，感应电流为顺时针方向，即正方向；电流大小
故选B。
3．A
【详解】
导线框前进0~L过程中，单边(右边框)切割磁感线，有
其中l为实际切割长度，随着导线框的移动而减小，故感应电流减小。又根据右手定则判断出导线框中电流方向为逆时针。即该过程中，感应电流在第一象限，且不断减小。同理导线框前进L~2L过程中，也是单边(左边框)切割，其实际切割长度一直再减小，其感应电流减小，根据右手定则，电流方向为顺时针。图线在第四象限，且不断减小。
故选A。
4．B
【详解】
A．1s末金属棒的速度为
则感应电流为
故A错误；
B．由左手定则可知1s末金属棒受到的安培力向左，大小为
由牛顿第二定律有
解得
故B正确；
C．由
代入数据联立可得
故C错误；
D．由
代入数据联立可得
前1s内的位移为
第1s末的力F=4N，因力F是变力，则力F前1s内拉力做的功不等于4J,故D错误。
故选B。
5．C
【详解】
A．穿过金属线圈的磁场在增强，根据楞次定律可判断线圈中的感应电流方向应为逆时针，故A错误;
B．根据
代入数据得
故B错误；
C．线圈中感应电流为
故C正确；
D．线圈中消耗的电功率
故D错误。
故选C。
6．C
【详解】
A．线框进磁场和出磁场时，有效切割长度都是均匀增加的，由楞次定律知进出磁场时感应电流的方向均为逆时针，故A错误；
BCD．在a～2a的过程中，线框的有效切割长度也是均匀增加的，但在左右两个磁场中均切割磁感线，产生的最大感应电流为进出磁场时最大感应电流的2倍，电流方向为顺时针方向，故C正确，BD错误。
故选C。
7．BC
【详解】
AB．导体棒ab以v=4m/s的速率向右匀速运动，产生的感应电流为
由右手定则可知导体棒内部电流从a到b，则b为电源正极电势高，故A错误，B正确；
CD．为了维持导体棒的匀速运动，则导体棒受力平衡，ab棒所受安培力垂直棒斜向左上，分解成水平向左的分力后有
故C正确，D错误；
故选BC。
8．AC
【详解】
导体棒运动时间为t时位移x=vt，回路中有效的切割长度为
感应电动势为
感应回路的总电阻为
A．由闭合电路的欧姆定律可知，感应电流
电流I不随时间t变化，I-t图线是平行于t轴的直线，故A正确；
B．根据q=It可知q-t图像为过原点的倾斜的直线，选项B错误；
C．导体棒受到的安培力
导体棒做匀速直线运动，由平衡条件得
F与t成正比，F-t图线是一条倾斜的直线，故C正确；
D．回路消耗的功率
P与t成正比，P-t图线是一条倾斜的直线，故D错误。
故选AC。
9．AC
【详解】
AB．导体棒a受向右的瞬时冲量I，由动量定理可知导体棒的初速度
导体棒开始向右运动后，受安培力作用做减速运动，导体棒b受安培力作用开始向右做加速运动，当两棒产生的感应电动势大小相等时，回路中的电流是零，两棒不在受安培力作用，均做匀速直线运动，达到稳定状态，则有
BLva=B2Lvb
解得
va=2vb
对a棒，由动量定理得
−BL∙∆t=mva−mv0
对b棒，由动量定理得
B2L∙∆t=2mvb
解得
A正确，B错误；
C．设从开始到稳定运动中，经导体棒a的电荷量为q，则有
结合
−BL∙∆t=mva−mv0
解得
C正确；
D．从开始到稳定运动中，对整个电路，由能量守恒定律可得
解得
D错误。
故选AC。
10．AC
【详解】
A．金属框开始获得向右的初速度v0，根据右手定则可知电流方向为M→N→c→b→M，最后二者速度相等时，回路中没有感应电流，故A正确；
B．以整体为研究对象，由于整体水平方向不受力，所以整体水平方向动量守恒，最后二者速度达到相等，取初速度方向为正，根据动量守恒定律可得
可得
故B错误；
C．对导体棒根据动量定理可得
其中
可得通过导体棒的电荷量为
故C正确；
D．导体棒产生的焦耳热为
故D错误。
故选AC。
11．CD
【详解】
A．金属杆P到达虚线位置前做自由落体运动，进入磁场时回路中出现感应电流，由右手定则可知电阻R中的电流方向由d指向b，选项A错误；
B．设P释放时离虚线距离为h，下落到虚线位置时速度
进入磁场时回路中出现感应电动势
感应电流
由于P的有效长度L变大，电阻R中的电流变大，R消耗的电功率变大，选项B错误；
CD．在虚线位置时P受到的安培力
方向向上。
如果h较大，P受到的安培力大于重力，则外力初始方向向下，有
随着P的有效长度L变大，外力F一直变大；
如果h较小，P受到的安培力小于重力，则外力初始方向向上，有
随着P的有效长度L变大，外力F逐渐变小，当安培力大于重力时，外力变为方向向下，有
后来外力F逐渐变大，选项CD正确。
故选CD。
12．AC
【详解】
A．若线框能够匀速进入磁场，则
解得
选项A正确；
B．若线框能够匀速进入磁场，则
解得
选项B错误；
C．若线框完全进入磁场后做匀速运动，则
解得
即运动的速度
选项C正确；
D．线框在进入磁场的过程中，因有向上的安培力对线框做负功，则线框减少的重力势能转化成了线框的动能以及电能，选项D错误。
故选AC。
13．BD
【详解】
A．单杆切割磁感线产生感应电流而导致金属棒受到的安培力为
由题意可知安培力大小不变，故
结合乙图，金属棒不可能做匀减速直线运动，故A错误；
B．由
，
得金属棒在外的速度大小为
故B正确；
C．在发生磁通量的过程中通过导体横截面的电荷量结论
在本题中
则
故C错误；
D．金属棒从运动到的过程中，对金属棒由动能定理
其中
解得外力所做的功为
D正确。
故选BD。
14．ABD
【详解】
AB．在I区域中，磁感应强度为，感应电动势
感应电动势恒定，所以导体棒上的感应电流恒为
导体棒进入Ⅱ区域后，导体切割磁感线，产生一个感应电动势，因为导体棒到达点后又能上行，说明加速度始终沿斜面向上，下行和上行经过点的受力分析如图
设下行、上行过b时导体棒的速度分别为，，则下行过b时导体棒切割磁感线产生的感应电流为
下行过b时导体棒上的电流为
下行过b时，根据牛顿第二定律可知
上行过b时，切割磁感线的产出的感应电动势为
上行过b时导体棒上的电流为
根据牛顿第二定律可知
比较加速度大小可知
由于段距离不变，下行过程中加速度大，上行过程中加速度小，所以金属板下行过经过点时的速度大于上行经过点时的速度，AB正确；
CD．导体棒上行时，加速度与速度同向，则导体棒做加速度减小的加速度运动，则一定能回到无磁场区。由AB分析可得，导体棒进磁场Ⅱ区（下行进磁场）的速度大于出磁场Ⅱ区（下行进磁场）的速度，导体棒在无磁场区做加速度相同的减速运动
则金属棒不能回到处，C错误，D正确。
故选ABD。
15．BC
【详解】
当时，线框未进入磁场，安培力为
感应电动势，则bc之间的电势差为
当时，bc边切割磁感线，得安培力
由楞次定律得知安培力方向向左，将bc看成电源，由右手定定则知，b点电势高于c点，则bc之间的电势差为
当时，线圈全部进入磁场，bc棒和ad棒产生的感应电动势抵消，感应电流为零，所以安培力
由于bc棒在切割磁感线，所以bc之间的电势差为感应电动势
当时，是线圈离开磁场的过程，ad边切割磁感线，安培力为
由楞次定律得知安培力方向向左，ad边切割磁感线，将ad边看成电源，电流方向为顺时针，所以b点电势高于c点电势，则bc之间的电势差为
综上可得BC正确，AD错误。
故选BC。
16．（1）3m/s，0.45m；（2）0.5m/s2；（3）1.2J
【详解】
（1）金属棒在磁场中做匀速运动时，设回路中的电流为I，根据平衡条件得
F=BIL+μmg
解得金属棒运动的最大速率为
v=3m/s
金属棒出磁场后在弯曲轨道上上升的过程中，由机械能守恒定律得
金属棒沿弯曲轨道上升的最大高度为
h=0.45m
（2）金属棒速度为时，设回路中的电流为I'，根据牛顿第二定律得
F-BI'L-μmg=ma
代入数据解得
a=0.5m/s2
（3）设金属棒在磁场区域运动过程中，回路中产生的焦耳热为Q，根据功能关系
则电阻R上的焦耳热为
代入数据解得
QR=1.2J
17．（1）；（2）；（3）
【详解】
（1）根据法拉第电磁感应定律，可知金属线圈产生的感应电动势为
因平行金属板M、N与电阻R并联，故M、N两板间的电压为
（2）带电粒子在M、N间做匀加速直线运动，有
带电粒子进入磁场区域的运动轨迹如图所示
有
由几何关系可得
可得
联立解得
（3）若换为电场，则粒子在该电场中做类平抛运动，则有
联立解得
18．（1），方向为 ；（2）
【详解】
（1）导线框边刚进入磁场时，感应电动势
线圈中感应电流的大小
解得
由楞次定律知线圈中感应电流方向为；
（2）设导线框进入或离开磁场过程中速度为v，由牛顿运动定律得：
求和得
设导线框边刚穿入磁场时速度为
设导线框边刚穿出磁场时速度为，同理可得
联立解得
导线框穿越磁场过程中增加的内能
解得
19．（1）2m/s2；（2）4m/s；（3）1J；（4）
【详解】
（1）金属棒开始下滑的初速为零，根据牛顿第二定律可得
mgsinθ-μmgcosθ=ma
代入数据解得
a=2m/s2
（2）对金属棒ab受力分析，达到稳定速度时，根据平衡条件有
mgsinθ=F安+μmgcosθ
又
F安=B0IL
代入数据解得金属棒达到的稳定速度
v=4m/s
（3）根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律，可得金属棒从进入磁场通过电阻的电荷量为
则金属棒在磁场下滑的位移
由动能定理有
此过程中电阻产生的焦耳热等于克服安培力做的功
联立解得，此过程中电阻产生的焦耳热
（4）由感应电流产生的条件知
B0Lx0=BL(x0+x)
由运动学公式的
联立解得
20．（1）；（2）；（3）
【详解】
（1）对棒下滑至速度最大时有：
解得
（2）棒与棒碰撞动量守恒
弹性碰撞系统机械能守恒
解得
，
对棒减速至0的过程据能量守恒
电阻产生的热量
解得
（3）对棒减速至0的过程据能量守恒动量定理（以水平向左为正方向）：
解得
2021-2022学年粤教版（2019）选择性必修第二册
2.3电磁感应定律的应用 课后练习（解析版）
1．一个面积S = 0.05m2匝数n = 100的闭合线圈放在匀强磁场中，磁场方向垂直于线圈平面，磁感应强度B随时间t变化的规律如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．0 ~ 2s内线圈中感应电流的方向发生了改变
B．2 ~ 4s内穿过线圈的磁通量的变化量等于零
C．0 ~ 2s内线圈中产生的感应电动势等于10V
D．在第3s末线圈中的感应电动势等于零
2．如图甲所示，在垂直纸面的匀强磁场中固定放置一个与磁场方向垂直的正方形线框，规定垂直纸面向里为磁场的正方向，顺时针方向为电流的正方向。磁场的磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示，下图中能定性反应线框中的感应电流i随时间t变化的图像是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图所示，等腰直角三角形OPQ区域内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，它的OP边在x轴且长为L。纸面内一边长为L的正方形导线框的一条边在x轴上，且线框沿x轴正方向以恒定的速度v穿过磁场区域，在时该线框恰好位于如图所示的位置。现规定以逆时针方向为导线框中感应电流的正方向，在下列四幅图中，能正确表示感应电流随线框位移关系的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图所示“U"形光滑金属导轨水平放置，导轨间距为L=1m，匀强磁场竖直向下，磁感应强度为B=1T；有一质量为m=1kg、长度为L=1m、电阻为的金属棒MN垂直导轨静止放置，现给金属棒一水平向右的力F，使金属棒从静止开始向右做加速度为a=2m/s2的匀加速直线运动，若导轨电阻不计，g=10m/s2，则（ ）
A．1s末通过金属棒的电流强度大小为4A
B．1s末金属棒受到的拉力大小为4N
C．前1s内通过金属棒的电荷量为2C
D．前1s内拉力F做功为4J
5．如图所示，一匝数为10匝的闭合金属线圈，总电阻为10.0Ω，线圈面积为1.0m2，图示区域内有匀强磁场，且磁感应强度随时间的变化规律为B=0.5+2t（T），则（ ）
A．线圈中产生顺时针方向的感应电流
B．线圈中产生的感应电动势为2V
C．线圈中的感应电流大小为2A
D．t=0.25s时线圈中消耗的电功率为10W
6．如图所示，纸面内两个宽度均为a的区域内存在着方向相反、磁感应强度大小相等的匀强磁场，纸面内一个边长为的等边三角形闭合金属线框水平向右匀速通过两个磁场区域。已知运动过程中线框的BC边始终与虚线边界平行，若规定逆时针方向为感应电流i的正方向，则从线框的A点进入磁场开始，线框中的感应电流i随线框移动距离x变化的i-x图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图所示，一端接有定值电阻R=0.9Ω的平行光滑金属轨道，固定在水平面内，其宽度L=0.5m，导轨电阻不计，整个装置处在B=2T的匀强磁场中，磁场方向与水平面成30°角。现有一根垂直于导轨放置的导体棒ab，在水平向右的恒力F作用下以v=4m/s的速率向右匀速运动，导体棒ab的电阻为r=0.1Ω，导体棒始终与导轨接触良好，则下列说法正确的是（ ）
A．导体棒ab中的电流大小为4A，且a端电势高
B．导体棒ab中的电流大小为2A，且b端电势高
C．为了维持导体棒的匀速运动，水平恒力的大小为F=1N
D．为了维持导体棒的匀速运动，水平恒力的大小为F=2N
8．如图所示，在绝缘水平面内固定着一金属框架MON，金属棒ab和框架MON均足够长且接触良好。已知框架MON和金属棒ab的材料、粗细均相同，且单位长度的电阻均为R0，框架顶角∠MON=θ。在该空间内存在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场。金属棒ab在水平外力的作用下从O点开始沿垂直金属棒ab的方向以速度v水平向右匀速运动，回路始终构成顶角为θ的等腰三角形，则下列回路中的电流I、通过金属棒的电荷量q、外力F与回路中的热功率P随时间t变化的图像，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图所示，导体棒a、b分别置于平行光滑水平固定金属导轨的左右两侧，其中a棒离宽轨道足够长，b棒所在导轨无限长，导轨所在区域存在垂直导轨所在平面竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。已知导体棒的长度等于导轨间的距离，导体棒粗细均匀，材质相同，a棒的质量为m，电阻为R，a棒的长度为L，b棒的长度为。现给导体棒a一个水平向右的瞬时冲量I。导体棒始终垂直于导轨且与导轨接触良好，不计导轨电阻，关于导体棒以后的运动，下列说法正确的是（ ）
A．导体棒a稳定运动后的速度为
B．导体棒b稳定运动后的速度为
C．从开始到稳定运动过程中，通过导体棒a的电荷量为
D．从开始到稳定运动过程中，导体棒b产生的热量为
10．如图所示，一质量为2m的足够长U形光滑金属框abcd置于水平绝缘平台上，bc边长为L，不计金属框电阻。一长为L的导体棒MN置于金属框上，导体棒的阻值为R、质量为m。装置处于磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场中。现给金属框水平向右的初速度v0，在整个运动过程中MN始终与金属框保持良好接触，则（ ）
A．刚开始运动时产生的感应电流方向为M→N→c→b→M
B．导体棒的最大速度为
C．通过导体棒的电荷量为
D．导体棒产生的焦耳热为
11．竖直面内，两足够长的光滑导轨、成一定角度放置，如图所示，两导轨上端距离小，下端距离逐渐变大，在两导轨下端连有电阻R。虚线下方空间存在水平向里的匀强磁场。一金属杆P贴紧导轨水平放置，从虚线上方一定高处由静止释放，当P与虚线重合时立即给P一个竖直方向的外力F，使其始终匀速下落，不计导轨和P的电阻，P始终与导轨垂直并接触良好，P进入磁场以后的运动过程中，下列说法正确的是（ ）
A．电阻R中的电流方向由b指向d
B．电阻R消耗的电功率保持不变
C．外力F可能一直变大
D．外力F可能先变小后变大
12．如图所示。现有两个宽度均为L的垂直于纸面的有界匀强磁场，磁感应强度大小均为B，方向相反。另有一个边长为L、质量为m的正方形线框，其电阻为R，线框初始时与磁场的距离也为L，若使线框从图示位置由静止开始下落，下列说法正确的是（ ）
A．若线框能够匀速进入磁场，则进入磁场时的速度
B．若线框能够匀速离开磁场，则离开磁场时的速度
C．若线框完全进入磁场后做匀速运动，则运动的速度
D．线框在进入磁场的过程中，因没有受到外力作用，线框减少的重力势能完全转化成了线框的动能
13．如图甲所示，平行光滑金属导轨水平放置，两导轨相距，导轨一端与阻值的电阻相连，导轨电阻不计，一侧存在沿轴正方向均匀增大的磁场，其方向垂直导轨平面向下，磁感应强度与位置的关系如图乙所示。一根质量、接入电路的电阻的金属棒置于导轨上，并与导轨垂直，棒在外力作用下从处以初速度沿导轨向右做变速运动，且金属棒在运动过程中受到的安培力大小不变。下列说法正确的是（ ）。
A．金属棒向右做匀减速直线运动
B．金属棒在处的速度大小为
C．金属棒从运动到的过程中，流过金属棒的电荷量为
D．金属棒从运动到的过程中，外力所做的功为
14．如图所示，电阻不计的光滑U形金属导轨固定在绝缘斜面上。区域Ⅰ、Ⅱ中磁场方向均垂直斜面向上，Ⅰ区中磁感应强度随时间均匀增加，Ⅱ区中为匀强磁场。阻值恒定的金属棒从无磁场区域中a处由静止释放，进入Ⅱ区后，经b下行至c处反向上行。运动过程中金属棒始终垂直导轨且接触良好。在第一次下行和上行的过程中，以下叙述正确的是（ ）
A．金属棒下行过b时的速度大于上行过b时的速度
B．金属棒下行过b时的加速度大于上行过b时的加速度
C．金属棒不能回到无磁场区
D．金属棒能回到无磁场区，但不能回到a处
15．如图所示，一个边长为L的正方形导线框，其电阻为R，线框以恒定速度v沿x轴运动，并穿过图中所示由虚线围成的匀强磁场区域，磁感应强度为B。如果以x轴的正方向作为安培力的正方向，线框在图示位置的时刻开始计时，则b、c两点间的电势差和线框所受的安培力随时间的变化图像为（ ）
A． B．
C． D．
16．如图所示，一对平行的粗糙金属导轨固定于同一水平面上，导轨间距L=0.2m，导轨左端接有阻值R=0.2的电阻，右侧平滑连接一对弯曲的光滑轨道，仅在水平导轨的整个区域内存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小B=1.0T。一根质量m=0.4kg，电阻r=0.1的金属棒ab垂直放置于导轨上，金属棒ab在水平向右F=0.8N的恒力作时下从静止开始运动，当金属棒通过位移x=9m时离开磁场，在离开磁场前金属棒ab的速度已达到最大值。当金属棒离开磁场时撤去外力F，接着金属棒沿弯曲轨道向上运动。已知金属棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.1，导轨电阻不计，金属棒在运动过程中始终与导轨垂直且与导轨保持良好接触，取g=10m/s2。求∶
（1）金属棒运动的最大速率v及金属棒沿弯曲轨道上升的最大高度h；
（2）金属棒在磁场中速度为时的加速度大小；
（3）金属棒在磁场区域运动过程中，电阻R上产生的焦耳热。
17．如图所示，一面积为S的单匝圆形金属线圈与阻值为R的电阻连接成闭合电路，不计圆形金属线圈及导线的电阻。线圈内存在一个方向垂直纸面向里、磁感应强度大小均匀增加且变化率为k的磁场B。电阻R两端并联一对平行金属板M、N，两板间距为d，N板右侧坐标系（坐标原点О在N板的下端）的第一象限内，有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场边界OA和y轴的夹角，区域为无场区。在靠近M板处的Р点由静止释放一质量为m、带电荷量为的粒子（不计重力），经过N板的小孔，从点垂直y轴进入第一象限，经OA上D点（图中未画出）离开磁场，最后垂直轴离开第一象限。求：
（1）平行金属板M、N间的电压U；
（2）区域内匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（3）其他条件不变，仅把区域内的匀强磁场换成平行y轴向下的匀强电场，粒子从Q点进入磁场，仍经OA上的D点离开电场，求该电场的电场强度E的大小。
18．如图所示，在光滑水平面内，平行虚线与间距为d，两虚线之间分布有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．是质量为m、总电阻为R、边长为l的正方形单匝导线框，导线框以大小为的速度垂直磁场左边界进入磁场，最后从右边界穿出。不计空气阻力，。求：
（1）导线框边刚进入磁场时，导线框中感应电流的大小和方向；
（2）导线框穿越磁场过程中增加的内能。
19．如图所示，MN、PQ为间距L=0.5m足够长的平行导轨，导轨平面与水平面间的夹角θ=37°，N、Q间连接有一个阻值R=1Ω的电阻。有一匀强磁场垂直于导轨平面且方向向上，磁感应强度为B0=1T，将一根质量为m=0.5kg的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上，且与导轨接触良好。现由静止释放金属棒，当金属棒滑行至cd处时达到稳定速度。已知金属棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.50，金属棒沿导轨下滑过程中始终与NQ平行，不计金属棒和导轨的电阻（g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）。求：
（1）金属棒沿导轨开始下滑时的加速度大小；
（2）金属棒到达cd处的速度大小；
（3）已知金属棒从ab运动到cd过程中，通过电阻的电荷量为2.5C，求此过程中电阻R产生的焦耳热。
（4）若将金属棒滑行至cd处的时刻计作t=0，从此时刻起，让磁感应强度逐渐减小，为使金属棒中不产生感应电流，则磁感应强度B应该怎样随时间t变化（写出B与t的关系式）。
20．如图，倾角为的金属导轨光滑且足够长，上端连接一的定值电阻，底端通过一小段光滑的圆弧与水平金属导轨平滑连接，两导轨间距均为。在倾斜导轨的区域有垂直于轨道平面斜向上的匀强磁场，在水平导轨的区域有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小都为，导体棒的质量为、电阻，棒由倾斜导轨上足够高处下滑至两导轨交界处（交界处无磁场）时，与静止在交界处的棒发生弹性正碰，棒的质量也为，电阻。导体棒进入匀强磁场区域，在磁场中运动距离后停止运动，其中导体棒与水平导轨间的动摩擦因数，g取，不计导轨的电阻，求：
（1）棒下滑的最大速度；
（2）导体棒开始运动到停止，电阻产生的热量；
（3）导体棒的运动时间t。
参考答案
1．C
【详解】
A．在0 ~ 2s内线圈的磁通量变化率是恒定的，则产生的电流为恒定电流，A错误；
B．在2 ~ 4s内穿过线圈的磁通量的变化量为DΦ = 2BS不等于零，B错误；
C．在0 ~ 2s内线圈中产生的感应电动势为
E = n = 100 × 0.1V = 10V
C正确；
D．在2 ~ 4s内线圈的磁通量变化率是恒定的且不为零，则产生的电流为恒定电流，所以在第3s末线圈中的感应电动势不等于零，D错误。
故选C。
2．B
【详解】
在0~t0时间内，感应电流为顺时针方向，即正方向；电流大小
在t2~2t0时间内，感应电流为顺时针方向，即正方向；电流大小
故选B。
3．A
【详解】
导线框前进0~L过程中，单边(右边框)切割磁感线，有
其中l为实际切割长度，随着导线框的移动而减小，故感应电流减小。又根据右手定则判断出导线框中电流方向为逆时针。即该过程中，感应电流在第一象限，且不断减小。同理导线框前进L~2L过程中，也是单边(左边框)切割，其实际切割长度一直再减小，其感应电流减小，根据右手定则，电流方向为顺时针。图线在第四象限，且不断减小。
故选A。
4．B
【详解】
A．1s末金属棒的速度为
则感应电流为
故A错误；
B．由左手定则可知1s末金属棒受到的安培力向左，大小为
由牛顿第二定律有
解得
故B正确；
C．由
代入数据联立可得
故C错误；
D．由
代入数据联立可得
前1s内的位移为
第1s末的力F=4N，因力F是变力，则力F前1s内拉力做的功不等于4J,故D错误。
故选B。
5．C
【详解】
A．穿过金属线圈的磁场在增强，根据楞次定律可判断线圈中的感应电流方向应为逆时针，故A错误;
B．根据
代入数据得
故B错误；
C．线圈中感应电流为
故C正确；
D．线圈中消耗的电功率
故D错误。
故选C。
6．C
【详解】
A．线框进磁场和出磁场时，有效切割长度都是均匀增加的，由楞次定律知进出磁场时感应电流的方向均为逆时针，故A错误；
BCD．在a～2a的过程中，线框的有效切割长度也是均匀增加的，但在左右两个磁场中均切割磁感线，产生的最大感应电流为进出磁场时最大感应电流的2倍，电流方向为顺时针方向，故C正确，BD错误。
故选C。
7．BC
【详解】
AB．导体棒ab以v=4m/s的速率向右匀速运动，产生的感应电流为
由右手定则可知导体棒内部电流从a到b，则b为电源正极电势高，故A错误，B正确；
CD．为了维持导体棒的匀速运动，则导体棒受力平衡，ab棒所受安培力垂直棒斜向左上，分解成水平向左的分力后有
故C正确，D错误；
故选BC。
8．AC
【详解】
导体棒运动时间为t时位移x=vt，回路中有效的切割长度为
感应电动势为
感应回路的总电阻为
A．由闭合电路的欧姆定律可知，感应电流
电流I不随时间t变化，I-t图线是平行于t轴的直线，故A正确；
B．根据q=It可知q-t图像为过原点的倾斜的直线，选项B错误；
C．导体棒受到的安培力
导体棒做匀速直线运动，由平衡条件得
F与t成正比，F-t图线是一条倾斜的直线，故C正确；
D．回路消耗的功率
P与t成正比，P-t图线是一条倾斜的直线，故D错误。
故选AC。
9．AC
【详解】
AB．导体棒a受向右的瞬时冲量I，由动量定理可知导体棒的初速度
导体棒开始向右运动后，受安培力作用做减速运动，导体棒b受安培力作用开始向右做加速运动，当两棒产生的感应电动势大小相等时，回路中的电流是零，两棒不在受安培力作用，均做匀速直线运动，达到稳定状态，则有
BLva=B2Lvb
解得
va=2vb
对a棒，由动量定理得
−BL∙∆t=mva−mv0
对b棒，由动量定理得
B2L∙∆t=2mvb
解得
A正确，B错误；
C．设从开始到稳定运动中，经导体棒a的电荷量为q，则有
结合
−BL∙∆t=mva−mv0
解得
C正确；
D．从开始到稳定运动中，对整个电路，由能量守恒定律可得
解得
D错误。
故选AC。
10．AC
【详解】
A．金属框开始获得向右的初速度v0，根据右手定则可知电流方向为M→N→c→b→M，最后二者速度相等时，回路中没有感应电流，故A正确；
B．以整体为研究对象，由于整体水平方向不受力，所以整体水平方向动量守恒，最后二者速度达到相等，取初速度方向为正，根据动量守恒定律可得
可得
故B错误；
C．对导体棒根据动量定理可得
其中
可得通过导体棒的电荷量为
故C正确；
D．导体棒产生的焦耳热为
故D错误。
故选AC。
11．CD
【详解】
A．金属杆P到达虚线位置前做自由落体运动，进入磁场时回路中出现感应电流，由右手定则可知电阻R中的电流方向由d指向b，选项A错误；
B．设P释放时离虚线距离为h，下落到虚线位置时速度
进入磁场时回路中出现感应电动势
感应电流
由于P的有效长度L变大，电阻R中的电流变大，R消耗的电功率变大，选项B错误；
CD．在虚线位置时P受到的安培力
方向向上。
如果h较大，P受到的安培力大于重力，则外力初始方向向下，有
随着P的有效长度L变大，外力F一直变大；
如果h较小，P受到的安培力小于重力，则外力初始方向向上，有
随着P的有效长度L变大，外力F逐渐变小，当安培力大于重力时，外力变为方向向下，有
后来外力F逐渐变大，选项CD正确。
故选CD。
12．AC
【详解】
A．若线框能够匀速进入磁场，则
解得
选项A正确；
B．若线框能够匀速进入磁场，则
解得
选项B错误；
C．若线框完全进入磁场后做匀速运动，则
解得
即运动的速度
选项C正确；
D．线框在进入磁场的过程中，因有向上的安培力对线框做负功，则线框减少的重力势能转化成了线框的动能以及电能，选项D错误。
故选AC。
13．BD
【详解】
A．单杆切割磁感线产生感应电流而导致金属棒受到的安培力为
由题意可知安培力大小不变，故
结合乙图，金属棒不可能做匀减速直线运动，故A错误；
B．由
，
得金属棒在外的速度大小为
故B正确；
C．在发生磁通量的过程中通过导体横截面的电荷量结论
在本题中
则
故C错误；
D．金属棒从运动到的过程中，对金属棒由动能定理
其中
解得外力所做的功为
D正确。
故选BD。
14．ABD
【详解】
AB．在I区域中，磁感应强度为，感应电动势
感应电动势恒定，所以导体棒上的感应电流恒为
导体棒进入Ⅱ区域后，导体切割磁感线，产生一个感应电动势，因为导体棒到达点后又能上行，说明加速度始终沿斜面向上，下行和上行经过点的受力分析如图
设下行、上行过b时导体棒的速度分别为，，则下行过b时导体棒切割磁感线产生的感应电流为
下行过b时导体棒上的电流为
下行过b时，根据牛顿第二定律可知
上行过b时，切割磁感线的产出的感应电动势为
上行过b时导体棒上的电流为
根据牛顿第二定律可知
比较加速度大小可知
由于段距离不变，下行过程中加速度大，上行过程中加速度小，所以金属板下行过经过点时的速度大于上行经过点时的速度，AB正确；
CD．导体棒上行时，加速度与速度同向，则导体棒做加速度减小的加速度运动，则一定能回到无磁场区。由AB分析可得，导体棒进磁场Ⅱ区（下行进磁场）的速度大于出磁场Ⅱ区（下行进磁场）的速度，导体棒在无磁场区做加速度相同的减速运动
则金属棒不能回到处，C错误，D正确。
故选ABD。
15．BC
【详解】
当时，线框未进入磁场，安培力为
感应电动势，则bc之间的电势差为
当时，bc边切割磁感线，得安培力
由楞次定律得知安培力方向向左，将bc看成电源，由右手定定则知，b点电势高于c点，则bc之间的电势差为
当时，线圈全部进入磁场，bc棒和ad棒产生的感应电动势抵消，感应电流为零，所以安培力
由于bc棒在切割磁感线，所以bc之间的电势差为感应电动势
当时，是线圈离开磁场的过程，ad边切割磁感线，安培力为
由楞次定律得知安培力方向向左，ad边切割磁感线，将ad边看成电源，电流方向为顺时针，所以b点电势高于c点电势，则bc之间的电势差为
综上可得BC正确，AD错误。
故选BC。
16．（1）3m/s，0.45m；（2）0.5m/s2；（3）1.2J
【详解】
（1）金属棒在磁场中做匀速运动时，设回路中的电流为I，根据平衡条件得
F=BIL+μmg
解得金属棒运动的最大速率为
v=3m/s
金属棒出磁场后在弯曲轨道上上升的过程中，由机械能守恒定律得
金属棒沿弯曲轨道上升的最大高度为
h=0.45m
（2）金属棒速度为时，设回路中的电流为I'，根据牛顿第二定律得
F-BI'L-μmg=ma
代入数据解得
a=0.5m/s2
（3）设金属棒在磁场区域运动过程中，回路中产生的焦耳热为Q，根据功能关系
则电阻R上的焦耳热为
代入数据解得
QR=1.2J
17．（1）；（2）；（3）
【详解】
（1）根据法拉第电磁感应定律，可知金属线圈产生的感应电动势为
因平行金属板M、N与电阻R并联，故M、N两板间的电压为
（2）带电粒子在M、N间做匀加速直线运动，有
带电粒子进入磁场区域的运动轨迹如图所示
有
由几何关系可得
可得
联立解得
（3）若换为电场，则粒子在该电场中做类平抛运动，则有
联立解得
18．（1），方向为 ；（2）
【详解】
（1）导线框边刚进入磁场时，感应电动势
线圈中感应电流的大小
解得
由楞次定律知线圈中感应电流方向为；
（2）设导线框进入或离开磁场过程中速度为v，由牛顿运动定律得：
求和得
设导线框边刚穿入磁场时速度为
设导线框边刚穿出磁场时速度为，同理可得
联立解得
导线框穿越磁场过程中增加的内能
解得
19．（1）2m/s2；（2）4m/s；（3）1J；（4）
【详解】
（1）金属棒开始下滑的初速为零，根据牛顿第二定律可得
mgsinθ-μmgcosθ=ma
代入数据解得
a=2m/s2
（2）对金属棒ab受力分析，达到稳定速度时，根据平衡条件有
mgsinθ=F安+μmgcosθ
又
F安=B0IL
代入数据解得金属棒达到的稳定速度
v=4m/s
（3）根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律，可得金属棒从进入磁场通过电阻的电荷量为
则金属棒在磁场下滑的位移
由动能定理有
此过程中电阻产生的焦耳热等于克服安培力做的功
联立解得，此过程中电阻产生的焦耳热
（4）由感应电流产生的条件知
B0Lx0=BL(x0+x)
由运动学公式的
联立解得
20．（1）；（2）；（3）
【详解】
（1）对棒下滑至速度最大时有：
解得
（2）棒与棒碰撞动量守恒
弹性碰撞系统机械能守恒
解得
，
对棒减速至0的过程据能量守恒
电阻产生的热量
解得
（3）对棒减速至0的过程据能量守恒动量定理（以水平向左为正方向）：
解得
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