第三节　电磁感应规律的应用

[核心素养·明目标]

知识点一　超速“电子眼”

如图所示，在路面下方间隔一段距离埋设两个通电线圈。当车辆通过通电线圈上方的道路时，由于车身是由金属材料制成的，做切割磁感线运动会产生感应电流，引起电路中电流的变化。根据v＝，只有汽车先后通过两个线圈上方的时间间隔小于某个值，拍摄装置才会被触发拍下超速车辆的照片。

知识点二　法拉第发电机

1．原理

放在两极之间的铜盘可以看作是由无数根铜棒组成的，铜棒一端连在铜盘圆心，另一端连在圆盘边缘。当转动圆盘时，铜棒在两磁极间切割磁感线，铜棒就相当于电源，其中圆心为电源的一个极，铜盘的边缘为电源的另一个极。它可以通过导线对用电器供电，使之获得持续的电流。

2．转动切割电动势的大小

如图所示，电机工作时电动势的大小

E＝＝＝＝BωL2。

或E＝BLv中＝BL·Lω＝BωL2。

3．电势高低的判断

产生电动势的导体相当于电源，在电源内部电动势的方向从低电势指向高电势。

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)导体在磁场中切割磁感线产生感应电动势的部分相当于电源，其余部分相当于外电路。                            (√)

(2)长为L的直导线在磁感应强度为B的匀强磁场中以速度v匀速运动产生的最大感应电动势为BLv。                            (√)

(3)在闭合线圈上方有一条形磁铁，在其自由下落直至穿过线圈过程中机械能守恒。                            (×)

(4)在电源内部电流从正极流向负极。 (×)

(5)反电动势的方向与外加电压的方向相反。 (√)

2．如图甲所示，匝数n＝50的圆形线圈M，它的两端点a、b与内阻很大的电压表相连，线圈中磁通量的变化规律如图乙所示，则a、b两点的电势高低与电压表的读数为(　　)

甲　　　　　　　乙

A．φa>φb,20 V　 B．φa>φb,10 V

C．φa<φb,20 V   D．φa<φb,10 V

B　[圆形线圈产生电动势，相当于电源内电路。磁通量均匀增大，由楞次定律知，线圈中感应电流为逆时针方向，又线圈相当于内电路，故φa>φb；E＝n＝50× V＝10 V，因而电压表的读数为10 V。电压表测量的是电源的电动势，即感应电动势。故B正确。]

3．如图，一个半径为L的半圆形硬导体AB以速度v在水平U形框架上匀速滑动，匀强磁场的磁感应强度为B，回路电阻为R0，半圆形硬导体AB的电阻为r，其余电阻不计，则半圆形导体AB切割磁感线产生的感应电动势的大小及AB两端的电压分别为(　　)

A．BLv　   B．2BLv　BLv

C．2BLv　   D．BLv　2BLv

C　[半圆形导体AB切割磁感线产生的感应电动势的大小为E＝B·2Lv＝2BLv，AB相当于电源，其两端的电压是外电压，由欧姆定律得U＝E＝。故选C。]

考点1　导体棒在匀强磁场中的转动问题

如图所示，圆环导体平面与匀强磁场方向垂直，导体棒OA以O为圆心，另一端在圆环上做匀速圆周运动。则：

(1)灯泡是否发光？

(2)灯泡两端的电压是否变化？

提示：(1)发光。(2)不变。

1．用E＝BLv求解

直导线绕其一端在垂直匀强磁场的平面内转动时产生的感应电动势计算公式E＝BLv，式中v是导体上各点切割速度的平均值，即v＝，所以E＝BL2ω。

2．用E＝求解

则Δt时间内回路面积的增加即为图示时刻的扇形面积。即ΔS＝L·θL，而θ＝ωΔt，所以感应电动势E＝＝B·＝B·L2ω＝BL2ω。

【典例1】　如图，直角三角形金属框abc放置在匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向平行于ab边向上。当金属框绕ab边以角速度ω逆时针转动时，a、b、c三点的电势分别为Ua、Ub、Uc。已知bc边的长度为l。下列判断正确的是(　　)

A．Ua>Uc，金属框中无电流

B．Ub>Uc，金属框中电流方向沿a—b—c—a

C．Ubc＝－BL2ω，金属框中无电流

D．Ubc＝BL2ω，金属框中电流方向沿a—c—b—a

C　[金属框abc平面与磁场平行，转动过程中磁通量始终为零，所以无感应电流产生，选项B、D错误；转动过程中bc边和ac边均切割磁感线，产生感应电动势，由右手定则判断Ua<Uc，Ub<Uc，选项A错误；由转动切割产生感应电动势的公式得Ubc＝－BL2ω，选项C正确。]

导体转动切割磁感线产生的电动势

(1)此导体棒绕中点O匀速转动ΔΦA＝ΔΦB，E＝0。

(2)半径为r的直角扇形金属框架匀速转动，E＝Br2ω。

1．(多选)法拉第圆盘发电机的示意图如图所示。铜圆盘安装在竖直的铜轴上，两铜片P、Q分别与圆盘的边缘和铜轴接触。圆盘处于方向竖直向上的匀强磁场B中。圆盘旋转时，关于流过电阻R的电流，下列说法正确的是(　　)

A．若圆盘转动的角速度恒定，则电流大小恒定

B．若从上向下看，圆盘顺时针转动，则电流沿a到b的方向流动

C．若圆盘转动方向不变，角速度大小发生变化，则电流方向可能发生变化

D．若圆盘转动的角速度变为原来的2倍，则电流在R上的热功率也变为原来的2倍

AB　[将圆盘看成无数辐条组成，它们都在切割磁感线从而产生感应电动势和感应电流，根据右手定则可知圆盘上感应电流从边缘流向中心，则当圆盘顺时针(俯视)转动时，流过电阻的电流方向从a到b，选项B正确；由法拉第电磁感应定律得感应电动势E＝BL＝BL2ω，I＝，ω恒定时，I大小恒定，ω大小变化时，I大小变化，方向不变，故选项A正确，C错误；由P＝I2R＝知，当ω变为原来的2倍时，P变为原来的4倍，选项D错误。]

考点2　电磁感应中的电路问题

如图所示，图甲中导体棒(有电阻)沿着水平导轨做切割磁感线运动，图乙中磁铁靠近线圈，两个电路中均产生了感应电流。

图甲　　　　　　　　　图乙

(1)图甲电路中哪部分产生了感应电动势？

(2)图乙电路中哪部分产生了感应电动势？

提示：(1)ab棒产生了感应电动势。

(2)线圈ab产生了感应电动势。

1．解决与电路相联系的电磁感应问题的基本方法

(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律(或右手定则)确定感应电动势的大小和方向。

(2)画等效电路图。

(3)运用闭合电路欧姆定律、串并联电路的性质、电功率等公式求解。

2．与上述问题相关的几个知识点

(1)电源电动势：E＝n或E＝BLv。

(2)闭合电路欧姆定律：I＝。

部分电路欧姆定律：I＝。

电源的内电压：U内＝Ir。

电源的路端电压：U外＝IR＝E－Ir。

(3)消耗功率：P外＝IU，P总＝IE。

(4)通过导体的电量：q＝IΔt＝n。

【典例2】　固定在匀强磁场中的正方形导线框abcd边长为L，其中ab是一段电阻为R的均匀电阻丝，其余三边均为电阻可以忽略的铜线。磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。现有一段与ab段的材料、粗细、长度均相同的电阻丝PQ架在导线框上(如图所示)。若PQ以恒定的速度v从ad滑向bc，当其滑过的距离时，通过aP段的电流是多大？方向如何？

[思路点拨]　①PQ相当于电源，由E＝BLv求出PQ的电动势。②电路结构为RaP与RbP并联再与RPQ串联，由闭合电路欧姆定律求IaP。

[解析]　PQ在磁场中做切割磁感线运动产生感应电动势，由于是闭合回路，故电路中有感应电流，可将电阻丝PQ视为有内阻的电源，电阻丝aP与bP并联，且RaP＝R、RbP＝R，于是可画出如图所示的等效电路图。

电源电动势为E＝BvL

外电阻为R外＝＝R

总电阻为R总＝R外＋r＝R＋R，即R总＝R

电路中的电流为

I＝＝。通过aP段的电流为

IaP＝I＝，方向由P到a。

[答案]　　方向由P到a

1“电源”的确定方法：“切割”磁感线的导体或磁通量发生变化的线圈相当于“电源”，该部分导体或线圈的电阻相当于“内电阻”。

2电流的流向：在“电源”内部电流从负极流向正极，在“电源”外部电流从正极流向负极。

2．如图所示，在绝缘光滑水平面上，有一个边长为L的单匝正方形线框abcd，在外力的作用下以恒定的速率v向右运动进入磁感应强度为B的有界匀强磁场区域。线框被全部拉入磁场的过程中线框平面保持与磁场方向垂直，线框的ab边始终平行于磁场的边界。已知线框的四个边的电阻值相等，均为R。求：

(1)ab边刚进入磁场区域时，线框内的电流大小；

(2)ab边刚进入磁场区域时，ab边两端的电压；

(3)ab边刚进入磁场区域时，cd边两端的电压。

[解析]  (1)如图ab边切割磁感线产生的感应电动势为：

E＝BLv

所以通过线框的电流为：

I＝＝。

(2)ab两端的电压为路端电压，为

Uab＝I·3R

所以Uab＝。

(3)cd两端的电压为部分电压，为Ucd＝IR

所以Ucd＝。

[答案]　(1)　(2)　(3)

考点3　电磁感应中的图像问题

如图甲所示，在圆形线框的区域内存在匀强磁场，若磁场的磁感应强度B按照图乙所示规律变化，则线框中的感应电流I的大小和方向是否变化(图甲中磁场方向为正)?

图甲　　　　　　　　图乙

提示：磁感应强度在0到t1内，由法拉第电磁感应定律可得，随着磁场的均匀变大，由于磁感应强度随时间变化率不变，则感应电动势大小不变，感应电流的大小也不变；由于磁通量是向外在减小，向里在增大，所以由楞次定律可得线框中感应电流都是逆时针的。

1．问题概括

2．解决图像问题的一般步骤

(1)明确图像的种类，即是B­t图像还是Φ­t图像，或者E­t图像、I­t图像等。

(2)分析电磁感应的具体过程。

(3)用右手定则或楞次定律确定方向对应关系。

(4)结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律等规律写出函数关系式。

(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等。

(6)画图像或判断图像。

【典例3】　如图，一闭合直角三角形线框以速度v匀速穿过匀强磁场区域，从BC边进入磁场区开始计时，到A点离开磁场区的过程中，线框内感应电流随时间变化的情况(以逆时针方向为电流的正方向)是下图中的(　　)

A　　　　　　B

C　　　　　　D

A　[根据感应电流产生的条件可知，线框进入或离开磁场时，穿过线框的磁通量发生变化，线框中有感应电流产生，当线框完全进入磁场时，磁通量不变，没有感应电流产生，故C错误；感应电流I＝＝，线框进入磁场时，线框切割磁感线的有效长度L减小，感应电流逐渐减小；线框离开磁场时，线框切割磁感线的有效长度L减小，感应电流逐渐减小，故A正确，B、D错误。]

对图像的分析，应做到“四明确一理解”

(1)明确图像所描述的物理意义；明确各种“＋”“－”的含义；明确斜率的含义；明确图像和电磁感应过程之间的对应关系。

(2)理解三个相似关系及其各自的物理意义：v－Δv－，B－ΔB－，Φ－ΔΦ－。

3．如图甲所示线圈的匝数n＝100，横截面积S＝50 cm2，线圈总电阻r＝10 Ω，沿轴向有匀强磁场，设图示磁场方向为正，磁场的磁感应强度随时间按如图乙所示规律变化，则在开始的0.1 s内(　　)

甲　　　　　　　　　乙

A．磁通量的变化量为0.25 Wb

B．磁通量的变化率为2.5×102 Wb/s

C．a、b间电压为0

D．在a、b间接一个理想电流表时，电流表的示数为0.25 A

D　[通过线圈的磁通量与线圈的匝数无关，若设Φ2＝B2S为正，则线圈中磁通量的变化量为ΔΦ＝B2S－(－B1S)，代入数据即ΔΦ＝(0.1＋0.4)×50×10－4 Wb＝2.5×10－3 Wb，A错误；磁通量的变化率＝ Wb/s＝2.5×10－2 Wb/s，B错误；根据法拉第电磁感应定律可知，当a、b间断开时，其间电压等于线圈产生的感应电动势，感应电动势大小为E＝n＝2.5 V且恒定，C错误；在a、b间接一个理想电流表时相当于a、b间接通而形成回路，回路总电阻即为线圈的总电阻，故感应电流大小I＝＝0.25 A，D正确。]

1．1831年10月28日，法拉第在一次会议上展示了他发明的圆盘发电机(图甲)。它是利用电磁感应的原理制成的，是人类历史上的第一台发电机。据说，在法拉第表演他的圆盘发电机时，一位贵妇人问道：“法拉第先生，这东西有什么用呢？”法拉第答道：“夫人，一个刚刚出生的婴儿有什么用呢？”

图乙是这个圆盘发电机的示意图：铜盘安装在水平的铜轴上，它的边缘正好在两磁极之间，两块铜片C、D分别与转动轴和铜盘的边缘接触。使铜盘转动，电阻R中就有电流通过。已知铜盘半径为r，铜盘内阻忽略不计，铜盘所在区域磁感应强度为B，转动的角速度为ω，则以下判断正确的是(　　)

甲　　　　　乙

①铜盘转动过程中产生的电流方向是D到C

②铜盘转动过程中D点的电势高于C点

③铜盘转动过程中产生的感应电动势大小为E＝Br2ω

④铜盘转动过程中产生的感应电流大小为I＝

A．①②   B．②③

C．③④   D．①④

B　[根据右手定则可知，电流从D点流出，流向C点，因此铜片D的电势高于铜片C的电势，故①错误，②正确；根据电磁感应定律：E＝Br，＝，解得：E＝，根据欧姆定律I＝＝，故③正确，④错误，故B正确。]

2．如图所示，面积为0.2 m2的100匝线圈处在匀强磁场中，磁场方向垂直于线圈平面，已知磁感应强度随时间变化的规律为B＝(2＋0.2t)T(t的单位为s)，定值电阻R1＝6 Ω，线圈电阻R2＝4 Ω，则a、b两点间电压U为(　　)

A．2.4 V   B．0.024 V

C．4 V    D．1.6 V

A　[线圈中感应电动势E＝n＝n·S＝4 V，感应电流I＝＝0.4 A，a、b两点间电压即路端电压，所以U＝IR1＝2.4 V，选项A正确。]

3．如图甲所示，矩形导线框abcd固定在匀强磁场中，磁感线的方向与导线框所在平面垂直，规定磁场的正方向垂直纸面向里，磁感应强度B随时间变化的规律如图乙所示，若规定顺时针方向为感应电流的正方向，下列各图中正确的是(　　)

甲　　　　　　　　乙　

D　[0～1 s内，磁感应强度B均匀增大，由法拉第电磁感应定律可知，产生的感应电动势E＝恒定，电流i＝恒定；由楞次定律可知，电流方向为逆时针方向，即负方向，在i­t图像上，是一段平行于t轴的直线，且为负值，可见，选项A、C错误；在1～2 s内B、D中电流情况相同，在2～3 s内，负向的磁感应强度均匀增大，由法拉第电磁感应定律知，产生的感应电动势E＝恒定，电流i＝恒定，由楞次定律知，电流方向为顺时针方向，即正方向，在i­t图像上，是一段平行于t轴的直线，且为正值，选项D正确。]

4．如图所示，MN、PQ为平行光滑金属导轨(金属导轨电阻忽略不计)，MN、PQ相距L＝50 cm，导体棒AB在两轨道间的电阻为r＝1 Ω，且可以在MN、PQ上滑动，定值电阻R1＝3 Ω，R2＝6 Ω，整个装置放在磁感应强度为B＝1.0 T的匀强磁场中，磁场方向垂直于整个导轨平面，现用外力F拉着AB棒向右以v＝5 m/s的速度做匀速运动。求：

(1)导体棒AB产生的感应电动势E和AB棒上的感应电流方向；

(2)导体棒AB两端的电压UAB。

[解析]　(1)导体棒AB产生的感应电动势

E＝BLv＝2.5 V

由右手定则知，AB棒上的感应电流方向向上，即沿B→A方向。

(2)R并＝＝2 Ω

I＝＝ A

UAB＝IR并＝ V≈1.7 V。

[答案]　(1)2.5 V　B→A方向　(2)1.7 V