华东师大版数学八年级上册 12.3 乘法公式（教案）

12.3　乘法公式

1.两数和乘以这两数的差

【教学目标】

知识与技能

1.掌握两数和乘以这两数的差公式,会推导两数和乘以它们的差的公式,并能运用公式进行简单的计算.

2.了解两数和乘以这两数的差的公式的几何背景.

过程与方法

1.培养学生独立思考的能力,集体协作的能力,组织归纳的能力及积极探索问题的能力.

2.经历探索两数和乘以这两数的差的公式的过程,进一步发展学生的符号感和推理能力.

情感、态度与价值观

通过学生解决问题的过程,激发学生的创新思维,培养学生学习的主动性和坚韧不拔的、勇于探索的品质.

【重点难点】

重点

对两数和乘以这两数的差的公式的理解,掌握两数和乘以这两数的差的公式的结构特征,熟练运用两数和乘以这两数的差的公式进行简单计算.

难点

理解两数和乘以这两数的差的公式的几何意义及特点,理解公式中字母的广泛含义,代数推理能力的培养.

【教学过程】

一、创设情景,导入新课

街心花园有一块边长为a米的正方形草坪,经统一规划后,南北向要加长2米,而东西向要缩短2米.问改造后的长方形草坪的面积是多少?

【学生活动】

(a+2)(a-2)=a2-4

二、师生互动,探究新知

【教师活动】

你观察式子左边有什么特征?右边的结果又有什么特征?这种发现具有一般性吗?请同学们再列举几个验证一下.你能得出什么规律性结论?请用字母表示.

【教师活动】

在学生发言基础上归纳:(a+b)(a-b)=a2-b2.这就是说,两数之和与两数之积,等于这两数的平方差.简称平方差公式.请同学们结合P31图形进行面积验证.

【教师活动】

请同学们给出几个平方差的式子,并让同伴计算.

三、随堂练习,巩固新知

1.(5x+2)(5x-2)=　　　　,(7+m)(-7+m)=　　　　. 

2.(a-3)(　　　)=a2-9,(-a　　　　)(-b　　　　)=b2-a2 

3.(a+1)(a-1)(a2+1)=　　　　. 

【答案】

1.25x2-4,m2-49.

2.a+3,-b,+a.

四、典例精析,拓展新知

【例】

利用平方差公式计算

(1)59.8×60.2;

(2)(5+1)(52+1)(54+1)(58+1)(516+1)+.

【分析】

(1)可转化为(60-0.2)(60+0.2);(2)先将前面部分乘以(5-1)构造平方差公式,再除以4.

【答案】　(1)3 599.96

(2)

【教学说明】

第(2)小题可能大多数同学不会做,教师抓住这困惑,是思维的起点,帮助分析如何构造平方差公式?(52+1)与谁构成平方差,同时注意代数式恒等的要求.

五、运用新知,深化理解

1.计算(y+x)(y-x)(x2+y2)(x4+y4)

2.计算(1)2 0132-2 012×2 014

(2)3×(4+1)(42+1)+1

【答案】

略

【教学说明】　

如何转化构造平方差公式,教师巡视并对学困生给予指导.

六、师生互动,课堂小结

这一节课你学到了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结.

【教学反思】

本节课重在应用平方差公式计算,而应用公式的关键是掌握平方差公式的特征,在学生合作探索平方差公式后,教师要求学生构造具有平方差公式的习题,并计算,具有开放性,大大调动了学生的积极性与学习激情.在典例精析中第(2)小题学生思维受阻时,让学生由式子特征联想知识模型、构造平方差公式,再解决相应数学问题是数学创造性表现!

2.两数和(差)的平方

【教学目标】

知识与技能

理解两数和(差)的平方的公式,掌握公式的结构特征,并熟悉地应用公式进行计算.

过程与方法

经历探索两数和(差)的平方公式的过程,进一步发展学生的符号感和推理能力.

情感、态度与价值观

培养学生探索能力和概括能力,体会数形结合的思想.

【重点难点】

重点

对两数和(差)的平方公式的理解,熟练运用完全平方公式进行简单的计算.

难点

对公式(a±b)2=a2±2ab+b2的理解,包括它的推导过程,结构特点,语言表述,几何解释.

【教学过程】

一、创设情景,导入新课

王老汉开辟了一个正方形的菜园,它的边长是(a+b),则它的面积是多少?

【学生活动】

(a+b)2=a2+2ab+b2(用多项式乘以多项式算得)

【教师活动】

有没有更简洁的方法?回答是有的,今天将给大家一个满意的回答.

二、师生互动,探究新知

【教师活动】

请同学们自学教材P32~P33内容.回答下列问题:

1.计算(a+b)2=　　　 

2.这个公式的左边和右边各有什么特点?用文字叙述.

3.你会用(a+b)2=a2+2ab+b2计算(a-b)2吗?

4.你会结合P33图形验证吗?

【学生活动】

　学生小组内合作、交流、并汇报探究结果,回答上述问题.

【教师活动】

　在学生发言的基础上归纳:两个乘法公式

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)2=a2-2ab+b2

文字叙述:两数和(或差)的平方,等于这两数的平方,加上(减去)这两数的积的2倍.口诀“首平方,尾平方,二倍乘积中间放.”

三、随堂练习,巩固新知

计算:(1)(x-3y)2;(2)(-a+2b)2.

【答案】

(1)(x-3y)2=x2-2x·3y+9y2=x2-6xy+9y2.

(2)(-a+2b)2=(2b-a)2=(2b)2-2(2b)·a+a2=4b2-4ab+a2.

四、典例精析,拓展新知

【例】

已知x+y=4,xy=2,求(1)x2+y2;(2)3x2-xy+3y2;(3)x-y.

【分析】

(1)x2+y2=(x+y)2-2xy;

(2)3x2-xy+3y2=3(x+y)2-7xy;

(3)(x-y)2=(x+y)2-4xy.

【答案】

(1)12;(2)34;(3)x-y=±.

【教学说明】

x+y、xy、x2+y2是一组典型对称式,注意指导学生灵活进行公式变形.(x+y)2=(x-y)2+4xy

五、运用新知,深化理解

1.已知:x2+y2=6,xy=5.求x+y;

2.已知a、b满足,(a+b)2=1,(a-b)2=25,试求a2+b2+ab的值.

【答案】

1.x+y=±4;2.a2+b2+ab=7

【教学说明】

本题是结合典例精析中公式变形后的变式训练,对公式变形不熟练学生给予有效指导.

六、师生互动、课堂小结

这节课你学到了什么?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上教师归纳总结.

1.这两个公式是多项式乘法的特殊情况,熟记它们的特点.

2.公式中字母可以是数也可以是单项式或多项式.

3.在解决具体问题时,要先考查题目是否符合公式条件,若不符合,需要先进行变形,使变形后的式子符合公式的条件,然后再应用公式计算.

4.要特别注意一些易出现的错误,如:(a±b)2=a2±b2.

【教学反思】

本节课在初中数学中占有重要地位,特别是公式应完全掌握,教学时为防止类比平方差公式,出现(a+b)2=a2+b2的错误,教师给出了口诀,相信同学们都能掌握该公式的结构特征.教材中将两数和的平方与两数差的平方分开推导,本节课考虑到换元思想将两数和与两数差的平方用两数和来推导,进一步体现转化思想,也加深了对两数和的平方公式的理解.本节课中的公式恒等变形较灵活,逻辑性较强,对学困生以更多指导与关心.