数学九年级下册第30章 二次函数综合与测试课时作业

这是一份数学九年级下册第30章 二次函数综合与测试课时作业，共36页。试卷主要包含了抛物线y＝﹣2，若点A等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数必考点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，在矩形ABCD中，，，动点P沿折线运动到点B，同时动点Q沿折线运动到点C，点P，Q在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）

A． B．
C． D．
2、将函数的图像向上平移1个单位，向左平移2个单位，则所得函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
3、如图，在中，，，，是边上一动点，沿的路径移动，过点作，垂足为．设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（ ）

A． B．
C． D．
4、抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的对称轴是（　　）
A．直线x＝3 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝4 D．直线x＝﹣4
5、如图，若二次函敞的图象过点，且与x轴交点横坐标分别为，，其中，．得出结论：①；②；③；④．上述结论正确的有（ ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
6、已知二次函数的图象经过，，则b的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
7、二次函数的自变量与函数值的部分对应值如下表：

…
－3
－2
－1
0
1
…

…
－11
－3
1
1
－3
…
对于下列结论：①二次函数的图像开口向下；②当时，随的增大而减小；③二次函数的最大值是1；④若，是二次函数图像与轴交点的横坐标，则，其中，正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①②④
8、若点A（－1，y1），B（0，y2），C（1，y3）都在二次函数y＝2x2＋x－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＞＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
9、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论：①x＞0时，y随x的增大而增大；②2a+b＝0；③4a+2b+c＜0；④关于x的方程ax2+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根．其中，所有正确结论的序号为（　　）

A．②③ B．②④ C．①②③ D．②③④
10、如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，且经过点（0，2）．有下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0：③9a＋3b＋c＜2；④3a＋c＜0；⑤若（﹣，y1），（﹣，y2），（4，y3）是抛物线上的点，则y3＜y1＜y2，其中正确结论的个数是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、某商品进价为26元，当每件售价为50元时，每天能售出40件，经市场调查发现每件售价每降低1元，则每天可多售出2件，当店里每天的利润要达到最大时，店主应把该商品每件售价降低______元．
2、抛物线的对称轴是直线，则它的顶点坐标为______
3、将抛物线y=x2向左平移3个单位所得图象的函数表达式为___．
4、二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象如图所示，则关于x的方程a（x＋1）2＋b（x＋1）＝﹣4的根为______．

5、已知抛物线，将其图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则得到的抛物线解析式为________．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、 “互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐，某网店专售一款电子玩具，其成本为每件100元，当售价为每件160元时，每月可销售200件．为了吸引更多买家，该网店采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降低1元，则每月可多销售5件，设每件电子玩具的售价为x元（x为正整数），每月销售量为y件．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式；
(2)设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
(3)该网店店主决定每月从利润中捐出500元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于11500元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定该电子玩具的价格？
2、如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线（）图象经过，，三点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)是抛物线对称轴上的一点，当的值最小时，求点坐标；
(3)若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值．
3、如图，Rt中，．点P从点A出发，沿射线方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A重合时，将线段绕点P旋转使（点在点P右侧），过点作交射线于点M，设点P运动的时间为t（秒）．

(1)的长为___________（用含t的代数式表示）
(2)当落在的角平分线上时，求此时t的值．
(3)设与重叠部分图形的面积为S（平方单位），求S关于t的函数关系式．并求当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？
4、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于点A(1，0)、B(4，0)，与y轴交于点C． 已知点E(0，3)、点F(4，t)(t＞3)，点M是线段EF上一动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N．

(1)直接写出二次函数的表达式：
(2)若t=5，当MN最大时，求M的坐标；
(3)在点M从点E运动至点F的过程中，若线段MN的长逐渐增大，求t的取值范围
5、已知直线y1＝kx+1（k＞0）与抛物线y2＝x2．

(1)当﹣4≤x≤3时，函数y1与y2的最大值相等，求k的值；
(2)如图①，直线y1＝kx+1与抛物线y2＝x2交于A，B两点，与y轴交于F点，点C与点F关于原点对称，求证：S△ACF：S△BCF＝AC：BC；
(3)将抛物线y2＝x2先向上平移1个单位，再沿直线y1＝kx+1的方向移动，使向右平行移动的距离为t个单位，如图②所示，直线y1＝kx+1分别交x轴，y轴于E，F两点，交新抛物线于M，N两点，D是新抛物线与y轴的交点，当△OEF∽△DNF时，试探究t与k的关系．

-参考答案-
一、单选题
1、D
【解析】
【分析】
分别求出点P在AD，BD上，利用三角形面积公式构建关系式，可得结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，∠A=∠C=90°，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠CDB=30°，
∴BD=2AD=8，
当点P在AD上时，PE⊥BQ

S△PBQ =·BQ·PE
=•（8-2t）•（4-t）•sin60°
=（4-t）2（0＜t＜4），
当点P在线段BD上时，QE’⊥BP

S△PBQ=·BP·QE’
=[12-2(t-4)]•（t-）sin60°
=-t2+t-16（4＜t≤8），
观察图象可知，选项D满足条件，
故选：D．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象：先根据几何性质得到与动点有关的两变量之间的函数关系，然后利用函数解析式和函数性质画出其函数图象，注意自变量的取值范围．
2、B
【解析】
【分析】
由二次函数图象平移的规律即可求得平移后的解析式，再选择即可．
【详解】
解：将抛物线先向上平移1个单位，则函数解析式变为
再将向左平移2个单位，则函数解析式变为，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．
3、D
【解析】
【分析】
分两种情况分类讨论：当0≤x≤6.4时，过C点作CH⊥AB于H，利用△ADE∽△ACB得出y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分；当6.4＜x≤10时，利用△BDE∽△BCA得出y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．
【详解】
解：∵，，，
∴BC=，
过CA点作CH⊥AB于H，
∴∠ADE=∠ACB=90°，
∵，
∴CH=4.8，
∴AH=，
当0≤x≤6.4时，如图1，

∵∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°，
∴△ADE∽△ACB，
∴，即，解得：x=，
∴y=•x•=x2；
当6.4＜x≤10时，如图2，

∵∠B=∠B，∠BDE=∠ACB=90°，
∴△BDE∽△BCA，
∴，
即，解得：x=，
∴y=•x•=；
故选：D．
【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出y与x的函数关系式．
4、A
【解析】
【分析】
直接利用抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4，求得对称轴方程为：x=3．
【详解】
解：抛物线y=﹣2（x﹣3）2﹣4的对称轴方程为：直线x=3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质与图象，解题的关键是掌握：二次函数的顶点式与对称轴的关系．
5、C
【解析】
【分析】
由二次函数的图象开口向上，轴对称在轴的左侧，图象与轴交于负半轴，可判断①，二次函敞的图象过点，结合图象可得：在抛物线上，再求解抛物线的对称轴可判断②，二次函敞的顶点坐标为：可判断③，先利用时的函数值求解的取值范围，从而可判断④，从而可得答案.
【详解】
解：由二次函数的图象开口向上，轴对称在轴的左侧，图象与轴交于负半轴，

故①符合题意；
二次函敞的图象过点，结合图象可得：
在抛物线上，
抛物线的对称轴为：


故②符合题意；
二次函敞的顶点坐标为：结合图象可得：
而

故③不符合题意；
当时，


又由图象可得：时，

解得：

故④符合题意；
综上：符合题意的有：①②④
故选C
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握“利用二次函数的图象与性质判断代数式的符号”是解本题的关键.
6、C
【解析】
【分析】
由二次函数的图象经过，，可得二次函数图象的对称轴为 再结合对称轴方程的公式列方程求解即可.
【详解】
解： 二次函数的图象经过，，
二次函数图象的对称轴为：
解得：
故选C
【点睛】
本题考查的是二次函数的对称轴方程，掌握“利用纵坐标相等的两个点求解对称轴方程”是解本题的关键.
7、A
【解析】
【分析】
根据待定系数法确定函数解析式，再根据函数的图象与性质求解即可．
【详解】
解：把（-1，1），（1，-3），（-2，-3）代入，得

解得，
∴二次函数式为：
∵
∴二次函数的图像开口向下，故①正确；
∵
∴对称轴为直线
∴当时，随的增大而减小，故②正确；
当时，二次函数的最大值是，故③错误；
若，是二次函数图像与轴交点的横坐标，则，故④错误
∴正确的是①②
故答案为①②
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8、B
【解析】
【分析】
由题意可知函数图象的对称轴、增减性；根据对称将A转化到对称轴的右侧，得到的坐标表示，然后比较三点横坐标的大小，进而判断三点纵坐标的大小即可．
【详解】
解：由知该函数图象开口向上，对称轴是直线，在对称轴的右侧，y随x的增加而增大
∴点A对称的点的坐标为
∵
∴
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于掌握该函数图象与性质．
9、D
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象及性质即可判断．
【详解】
解：由函数图象可知，抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
∴抛物线与x轴另一个交点坐标为（3，0），
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故①错误；
∵﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②正确；
当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝3a+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴﹣a＞c，
∴直线y＝﹣a与抛物线y＝ax2+x+c有2个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝﹣a有两个不相等的实数根，
即关于a的方程ax2+bx+c+a＝0有两个不相等的实数根，故④正确；
正确的有②③④，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系，本题属于中等题型．
10、B
【解析】
【分析】
由抛物线开口方向、对称轴以及与y轴的交点即可判断①；根据抛物线与x轴的交点即可判断②；根据函数的对称性和增减性即可判断③；根据抛物线的对称轴为直线x=1，得出b=-2a，由x=-1时，y=a-b+c＜0，即可得出3a+c＜0，即可判断④；根据二次函数的性质即可判断⑤．
【详解】
解：∵对称轴是直线x=1，且经过点（0，2），
∴左同右异ab＜0，c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2-4ac＞0，所以②正确；
∵抛物线对称轴是直线x=1，
∴x=-1与x=3的函数值一样，x=0与x=2的函数值都是2，
∵抛物线开口向下，对称轴为x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，
∴9a+3b+c＜2，所以③正确；
∵对称轴为x=1，
∴=1，即b=-2a，
∵x=-1时，y=a-b+c＞0，
∴3a+c＞0，所以④错误；
∵抛物线开口向下，对称轴为x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，
∵点（4，y3）关于直线x=1的对称点为（-2，y3），且，
∴y1＜y3＜y2，所以⑤不正确；
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质，掌握抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及抛物线与x轴的交点与系数a、b、c的关系是正确判断的前提．
二、填空题
1、2
【解析】
【分析】
设每件商品售价降低元，则每天的利润为：，然后求解计算最大值即可．
【详解】
解：设每件商品售价降低元
则每天的利润为：，



∵
∴当时，最大为968元
故答案为2．
【点睛】
本题考查了一元二次函数的应用．解题的关键在于确定函数解析式．
2、
【解析】
【分析】
根据顶点坐标公式求得横坐标等于2，即可求得的值，进而求得顶点坐标．
【详解】
抛物线的对称轴是直线

即抛物线解析式为
当时，
它的顶点坐标为
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，求得的值是解题的关键．
3、y=(x＋3)2
【解析】
【分析】
根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】
解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2向左平移3个单位所得直线的解析式为：y=（x+3）2．
故答案是：y=（x+3）2．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与几何变换，正确理解平移法则是关键．
4、x=-5或x=0##或
【解析】
【分析】
根据图象求出方程ax2＋bx＋4=0的解，再根据方程的特点得到x+1=-4或x+1=1，求出x的值即可．
【详解】
解：由图可知：二次函数y＝ax2＋bx＋4与x轴交于（-4，0）和（1，0），
∴ax2＋bx＋4=0的解为：x=-4或x=1，
则在关于x的方程a（x＋1）2＋b（x＋1）＝-4中，
x+1=-4或x+1=1，
解得：x=-5或x=0，
即关于x的方程a（x＋1）2＋b（x＋1）＝-4的解为x=-5或x=0，
故答案为：x=-5或x=0．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，能根据题意利用数形结合求出方程的解是解答此题的关键．
5、
【解析】
【分析】
根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】
解：∵抛物线的顶点坐标为（0,2），
其图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，
得到的抛物线解析式为
即
故答案为：
【点睛】
本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．
三、解答题
1、 (1)y= -5x+1000
(2)当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是12500元；
(3)140元
【解析】
【分析】
（1）根据总件数=基础件数+增加件数=200+5（160-x），列出关系式即可；
（2）根据总利润=单件利润×销售件数，构造二次函数，配方法求最值即可；
（3）先根据题意，构造出符合题意的不等式，把不等式转化为一元二次方程，求得两个根，根据抛物线的性质，确定不等式的解集，结合题意，确定价格即可．
(1)
∵售价为每件160元时，每月可销售200件，销售单价每降低1元，则每月可多销售5件，
∴y=200+5（160-x）=-5x+1000．
(2)
根据题意，得w=（x-100）（-5x+1000）
= ，
∵抛物线开口向下，
∴当x=150时，w有最大值，且为12500，
此时应降价160-150=10元，
故当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是12500元．
(3)
根据题意，得-500≥11500，
当-500=11500时，
解得，，
∵抛物线w= 开口向下，
∴-500≥11500的解集为140≤x≤160，
∴让消费者得到最大的实惠，该如何确定该电子玩具的价格x=140元．
【点睛】
本题考查了销售数量与价格的关系，二次函数解决利润问题，二次函数图像与不等式解集的关系，一元二次方程的解法，熟练掌握二次函数的构造方法和性质是解题的关键．
2、 (1)；
(2)（）；
(3)点P（2，-6），PD最大值为
【解析】
【分析】
（1）根据点B的坐标，得出OB的长，进而根据即可得到OA、OC的长，利用待定系数法求出函数解析式；
（2）利用配方法求出抛物线的对称轴，连接AC，交对称轴于一点即为点M，此时的值最小，求出直线AC的解析式，当时求出y的值即可得到点M的坐标；
（3）过点P作PH平行于y轴，交AC于点H，根据等腰直角三角形的性质求出∠OAC=∠OCA=45°，根据平行线的性质求出∠PHD=∠OCA=45°，设点P（x，），则点H（x，x-4），根据正弦函数定义得到，根据函数的性质得解问题．
(1)
解：∵点的坐标为，
∴OB=1，
∵，
∴OA=OC=4，
∴点A的坐标为（4,0），点C的坐标为(0,-4),
将点A、B、C的坐标代入中，得
，解得，
∴抛物线的解析式为；
(2)
解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
连接AC，交对称轴于一点即为点M，此时的值最小，
设直线AC的解析式为，
∴，解得，
∴直线AC的解析式为y=x-4，
当时，，
∴点M的坐标为（）；
(3)
解：过点P作PH平行于y轴，交AC于点H，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∴∠PHD=∠OCA=45°，
设点P（x，），则点H（x，x-4），
∴，
∵，
∴PD有最大值，当x=2时，PD最大值为，
此时点P（2，-6）．
．
【点睛】
此题考查了待定系数法求抛物线解析式，抛物线的对称轴，化一般式为顶点式，最短路径问题，二次函数的性质，锐角三角函数，正确掌握抛物线的各知识点是解题的关键，这是一道二次函数与一次函数的综合题．
3、 (1)
(2)
(3)，当时，S有最大值
【解析】
【分析】
（1）先利用勾股定理求出，然后证明，得到，即，则，，即可得到；
（2）延长交BC于D，由，得到，，则
再由在∠ABC的角平分线上，，，得到，则，由此求解即可；
（3）先求出当点正好落在BC上时，，然后讨论当△ABC与重叠部分即为，然后求出当点M恰好与B重合时，，讨论当时，如图3所示，△ABC与重叠部分即为四边形PMTS，当时，如图4所示，，△ABC与重叠部分即为△BPS，由此求解即可．
(1)
解：由旋转的性质可得，
∵在Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴；
(2)
解：如图所示，延长交BC于D，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵，
∴，，
∴
∵在∠ABC的角平分线上，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
解得；

(3)
解：如图2所示，当点正好落在BC上时，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
解得，
当，如图1所示，△ABC与重叠部分即为，
∴此时；

当点M恰好与B重合时，此时，
∴，
解得，
当时，如图3所示，△ABC与重叠部分即为四边形PMTS，
∴，
同理可证，
∴，即，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴，
∴，
∴；

当时，如图4所示，，△ABC与重叠部分即为△BPS，
同理可证，
∴，即，
∴，，
∴，
∴综上所述，
∴，
∴由二次函数的性质可知，
∴当时，S有最大值．

【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质，熟知相关知识是解题的关键．
4、 (1)
(2)
(3)t≥9
【解析】
【分析】
（1）从交点式即可求得表达式；
（2）求得直线EF的关系式，设出，，表示出MN的关系式，配方求得结果；
（3）先求得直线EF的关系式，设，，进而表示出MN的关系式，进一步求得结果．
(1)
由题意得，
故答案是：；
(2)
∵t=5
∴F（4，5），
∵E（0，3），F（4，5），
∴设直线EF的关系式为y=kx+b
把E（0，3），F（4，5）代入y=kx+b得，

解得，
∴直线EF的关系式是：y=x+3，
设，，
∴，
∴当a=3时，MN最大=，
当a=3时，，
∴；
(3)
∵E（0，3），F（4，t），
∴直线EF的关系式是：，
设，
∴，
∵对称轴，0≤m≤4，
∴当时，MN随m的增大而增大，
∴t≥9．
【点睛】
本题考查了二次及其图象性质，求一次函数的关系式等知识，解决问题的关键是熟练掌握二次函数图图象性质．
5、 (1)
(2)证明见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据函数图象的性质可知，当时，， ，，有，求解即可；
（2）如图，分别过点作交点分别为，设两点横坐标分别为，由题意知：，， ，，；有，，，，故可证；
（3）平移后的二次函数解析式为，与y轴的交点坐标为，可知，有相同的纵坐标，可得，解得，知点横纵标，在点一次函数与二次函数相交，有相同的纵坐标，可得，进而可得的关系．
(1)
解：∵，
∴根据函数图象的性质可知，当时，，
∵
∴
解得．
(2)
证明：如图，分别过点作交点分别为

∴
设两点横坐标分别为，
由题意知：
∴，
∵
∴

∵，
∴
∴
∴．
(3)
解：由题意知，平移后的二次函数解析式为，与y轴的交点坐标为，
∵
∴
∴有相同的纵坐标
∴
解得
故可知点横纵标
∵在点一次函数与二次函数相交，有相同的纵坐标
∴
解得．
【点睛】
本题考查了一次函数与二次函数的综合，相似三角形等知识．解题的关键在于灵活运用知识求解．