初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试练习题

这是一份初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试练习题，共26页。试卷主要包含了一次函数与二次函数的图象交点等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数定向测试 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论错误的是（       ）A． B． C． D．2、若点，都在二次函数的图象上，且，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．3、对于抛物线下列说法正确的是（       ）A．开口向下 B．其最大值为-2 C．顶点坐标 D．与x轴有交点4、二次函数y＝ax2+bx+c的图像全部在x轴的上方，下列判断中正确的是（       ）A．a＜0，c＜0 B．a＜0，c＞0 C．a＞0，c＜0 D．a＞0，c＞05、如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（，1），下列结论正确的是（       ）A．ac＞0 B．a+b＝1 C．4ac﹣b2≠4a D．a+b+c＞06、在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（　　）A．（4，2） B．（﹣2，2） C．（4，﹣2） D．（﹣2，﹣2）7、已知抛物线y＝mx2+4mx+m﹣2（m≠0），点A（x1，y1），B（3，y2）在该抛物线上，且y1＜y2．给出下列结论①抛物线的对称轴为直线x＝﹣2；②当m＞0时，抛物线与x轴没有交点；③当m＞0时，﹣7＜x1＜3； ④当m＜0时，x1＜﹣7或x1＞3；其中正确结论有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8、已知二次函数，则关于该函数的下列说法正确的是（       ）A．该函数图象与轴的交点坐标是B．当时，的值随值的增大而减小C．当取1和3时，所得到的的值相同D．将的图象先向左平移两个单位，再向上平移5个单位得到该函数图象9、一次函数与二次函数的图象交点（　　）A．只有一个 B．恰好有两个C．可以有一个，也可以有两个 D．无交点10、将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（       ）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、抛物线y＝（x﹣1）2＋3的顶点坐标为___．2、将二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移2个单位，最终所得图象的函数表达式为______．3、如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条拋物线的“特征三角形”．已知的“特征三角形”是等腰直角三角形，那么的值为_________．4、已知抛物线与轴相交于，两点.若线段的长不小于2，则代数式的最小值为_______．5、若将二次函数y＝x2﹣2x+3配方为y＝（x﹣h）2+k的形式，则y＝___________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m．以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，若点P的坐标为．(1)求拱桥所在抛物线的函数表达式；(2)因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为多少？（结果保留根号）2、如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷出水流的运动路线是抛物线，如果水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1m，且到地面的距离为3.6m．(1)建立适当平面直角坐标系，确定抛物线解析式；(2)求水流的落地点D到水枪底部B的距离．3、抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OA＝OB，与y轴交于点C．(1)求证：b＝0；(2)点P是第二象限内抛物线上的一个动点，AP与y轴交于点D．连接BP，过点A作AQ∥BP，与抛物线交于点Q，且AQ与y轴交于点E．①当a＝﹣1时，求Q，P两点横坐标的差；（用含有c的式子来表示）②求的值．4、已知函数（为常数）．(1)若图象经过点，判断图象经过点吗？请说明理由；(2)设该函数图象的顶点坐标为，当的值变化时，求与的关系式；(3)若该函数图象不经过第三象限，当时，函数的最大值与最小值之差为16，求的值．5、已知：在直角坐标平面内，抛物线y＝x2+bx+6经过x轴上两点A、B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C．求：(1)抛物线的表达式及顶点坐标；(2)△ABC的面积． -参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：A、函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故A正确，不符合题意；B、函数的对称轴为：x＝−＝1，故2a+b＝0，即，图象与x轴交于点A（−1，0），故当时，，即，故B错误，符合题意；C、图象与x轴交于点A（−1，0），其对称轴为直线x＝1，则图象与x轴另外一个交点坐标为：（3，0），故当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＞0，故C正确，不符合题意；D、图象与x轴另外一个交点坐标为：（3，0），即x＝3时，y＝9a＋3b＋c＝0，正确，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．2、D【解析】【分析】先求出抛物线的对称轴，再根据二次函数的性质，当点和在直线的右侧时；当点和在直线的两侧时，然后分别解两个不等式即可得到的范围．【详解】抛物线的对称轴为直线，∵，，当点和在直线的右侧，则，解得，当点和在直线的两侧，则，解得，综上所述，的范围为．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．3、D【解析】【分析】根据二次函数的性质对各选项分析判断即可得解．【详解】解：由y=（x-1）2-2，可知，a=1＞0，则抛物线的开口向上，∴A选项不正确；由抛物线，可知其最小值为-2，∴B选项不正确；由抛物线，可知其顶点坐标，∴C选项不正确；在抛物线中，△=b²-4ac=8>0，与与x轴有交点，∴D选项正确；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握开口方向，对称轴、顶点坐标以及与x轴的交点坐标的求法是解决问题的关键．4、D【解析】【分析】由抛物线全部在轴的上方，即可得出抛物线与轴无交点且，进而即可得出、，此题得解．【详解】解：二次函数的图象全部在轴的上方，，，，，．，．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是牢记二次函数的性质．5、D【解析】【分析】由抛物线开口方向及抛物线与轴交点位置，即可得出、，进而判断结论A；由抛物线顶点的横坐标可得出，进而判断结论B；由抛物线顶点的纵坐标可得出，进而判断结论C；由、，进而判断结论D．由此即可得出结论．【详解】解：A、抛物线开口向下，且与轴正半轴相交，，，，结论A错误，不符合题意；B、抛物线顶点坐标为，，，，即，结论B错误，不符合题意；C、抛物线顶点坐标为，，，，结论C错误，不符合题意；D、，，，结论D正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，解题的关键是观察函数图象，逐一分析四个选项的正误．6、D【解析】【分析】求出抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为 ，即可求解．【详解】解：∵ ，∴抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为 ，∴将抛物线y＝x2﹣2x+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 ．故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象平移法则“左加右减，上加下减”是解题的关键．7、C【解析】【分析】利用抛物线的对称轴公式可判断①，计算 结合 可判断②，再分别画出符合③，④的图象，结合图象可判断③与④，从而可得答案.【详解】解： 抛物线y＝mx2+4mx+m﹣2（m≠0）， 抛物线的对称轴为： 故①符合题意； 当时， 所以抛物线与轴有两个交点，故②不符合题意；当时，抛物线的开口向上，如图，则关于的对称点为： 而 故③符合题意；当时，抛物线的开口向下，如图，同理可得：由 则或 故④符合题意，综上：符合题意的有：①③④故选：C【点睛】本题考查的是抛物线的对称轴方程，抛物线与轴的交点的情况，二次函数的图象与性质，掌握“利用数形结合的方法求解符合条件的自变量的取值范围”是解本题的关键.8、C【解析】【分析】把，代入，即可判断A，由二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，即可判断B，当取和，代入，即可判断C，根据函数图象的平移规律，即可判断D．【详解】∵二次函数的图象与轴的交点坐标是，∴A选项错误；∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，∴当时，的值随值的增大而增大，∴B选项错误；∵当取和时，所得到的的值都是11，∴C选项正确；∵将的图象先向左平移两个单位，再向上平移个单位得到的图象，∴D选项错误．故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的性质是解题的关键．9、B【解析】【分析】联立解析式得一元二次方程，利用判根公式判断方程的根，方程根的个数即为图象的交点个数．【详解】解：联立一次函数和二次函数的解析式可得：整理得：有两个不相等的实数根与的图象交点有两个故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，图象的交点与方程根的关系．解题的关键在于正确求解．10、B【解析】【分析】由题意知，平移后的抛物线解析式为，将各选项中的横坐标代入，求出纵坐标并与各选项的纵坐标比较，纵坐标相同的即为正确答案．【详解】解：由题意知，平移后的抛物线解析式为将代入解析式得，与A中点坐标不同，故不符合要求；将代入解析式得，与B中点坐标相同，故符合要求；将代入解析式得，与C中点坐标不同，故不符合要求；将代入解析式得，与D中点坐标不同，故不符合要求；故选B．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移．解题的关键在于写出平移后的二次函数解析式．二、填空题1、（1，3）【解析】【分析】根据顶点式判断顶点即可．【详解】解：∵抛物线解析式为y＝（x﹣1）2＋3∴顶点坐标是（1，3）．故答案为：（1，3）【点睛】本题考查了二次函数解析式---顶点式，明确的顶点坐标为（h，k）是解答本题的关键．2、y＝（x﹣2）2﹣2．【解析】【分析】根据函数图象向右平移自变量减，向下平移常数项减，可得答案．【详解】解；将二次函数y＝x2的图象向右平移2个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是y＝（x﹣2）2﹣2，故答案为：y＝（x﹣2）2﹣2．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移的规律是左加右减自变量，上加下减常数项．3、2【解析】【分析】首先求出的顶点坐标和与x轴两个交点坐标，然后根据“特征三角形”是等腰直角三角形列方程求解即可．【详解】解：∵∴，代入得：∴抛物线的顶点坐标为∵当时，即，解得：，∴抛物线与x轴两个交点坐标为和∵的“特征三角形”是等腰直角三角形，∴，即解得：．故答案为：2．【点睛】此题考查了二次函数与x轴的交点问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是求出的顶点坐标和与x轴两个交点坐标．4、-1【解析】【分析】将抛物线解析式配方，求出顶点坐标为（1，-2）在第四象限，再根据抛物线与x轴有两个交点可得，设为A，B两点的横坐标，然后根据已知，求出的取值范围，再设，配方代入求解即可．【详解】解：== ∴抛物线顶点坐标为（1，-2），在第四象限，又抛物线与轴相交于A，两点.∴抛物线开口向上，即 设为A，B两点的横坐标，∴ ∵线段的长不小于2，∴ ∴ ∴∴∴ 解得， 设当时，有最小值，最小值为：故答案为：-1【点睛】本题主要考查发二次函数的图象与性质，熟记完全平方公式和根与系数的关系是解题的关键．5、【解析】【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【详解】y＝x2﹣2x+3＝（x2﹣2x+1）+2＝（x﹣1）2+2故本题答案为：y＝（x﹣1）2+2．【点睛】本题考查了把二次函数的一般式化为顶点式，关键是配方法的运用．三、解答题1、 (1)(2)【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）在所求函数解析式中求出时的值即可得．(1)解：设抛物线的解析式为，将点、代入，得：，解得：，所以抛物线的解析式为；(2)当时，，即，解得：，则水面的宽为．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数的问题求解，并熟练掌握待定系数法求函数解析式．2、 (1)图解析，y＝﹣1.6（x﹣1）2+3.6(2)水流的落地点D到水枪底部B的距离为2.5m．【解析】【分析】（1）依题意，建立直角坐标系（见详解1），依据二次函数的顶点式进行求解即可；（2）结合（1）中的解析式，将距离问题转变为二次函数与横坐标轴的交点问题，求解；(1)由题知，如图，以BD所在直线为x轴、AB所在直线为y轴建立直角坐标系，由题意知，抛物线的顶点为、点；设抛物线的解析式为，将点代入，得：，则抛物线的解析式为，(2)结合（1），可知水流的落地点D到水枪底部B的距离转换为，与横坐标的交点问题；∴ 当y＝0时，有，解得：或（舍），∴，答：水流的落地点D到水枪底部B的距离为2.5m．【点睛】本题主要考查二次函数解析式的求解及其实际应用，关键在熟练应用解析结合实际问题；3、 (1)见解析(2)①2；②2．【解析】【分析】（1）利用根与系数的关系即可证明b=0；（2）①设出P点坐标，然后令c=t²，然后表示出A、B的坐标，先求出直线BP的解析式，即可得到直线AQ的解析式，然后联立抛物线与直线AQ解析式，求出Q点横坐标，即可求解；②同①的方法，令a=-s²，c=t²，设出P点坐标，分别求出D、E的坐标，代入计算即可求解．(1)解：设方程ax2+bx+c=0两根为x1，x2，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A，B两点，且OA＝OB，∴x1=-x2，即x1+x2=0，∵x1+x2=-，∴-=0，∵a＜0，∴b=0；(2)解：①当a=﹣1时，令c=t2，抛物线的解析式为y=-x2+t2，解方程-x2+t2=0，得：x1=t，x2=-t，∴A(-t，0)，B(t，0)，设点P的坐标为(p，-p2+ t2)，设直线PB的解析式为y=kx+m，∴，解得：，∴直线PB的解析式为y=x+，∵AQ∥BP，   设直线AQ的解析式为y=x+n，把A(-t，0)代入得：n=∴直线AQ的解析式为y=，联立y=和y=-x2+ t2得：，整理得：，解得x1=-t，x2=p+2t，∴点Q的横坐标为p+2t，∴Q，P两点横坐标的差为p+2t-p=2t=2；②令c=t2，a=-s²，抛物线的解析式为y=-s²x2+t2，解方程-s²x2+t2=0，得：x1=，x2=-，∴A(-，0)，B(，0)，C(0，t2)，设点P的坐标为(p，-s²p2+ t2)，同理求得直线PB的解析式为y=x+，直线AQ的解析式为y=，令x=0，则y=，   即点E的坐标为(0，)，同理求得直线AP的解析式为y=，令x=0，则y=，即点D的坐标为(0，)，∴OD=，OE=，OC=，∴．．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系等知识点，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．4、 (1)经过，理由见解析(2)n＝﹣m2﹣6m．(3)4或6【解析】【分析】（1）把点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+3b中，即可得到函数表达式，然后把点（2，4）代入判断即可；（2）利用顶点坐标公式得到﹣＝m，＝n，然后消去b可得到n与m的关系式．（3）由抛物线不经过第三象限可得b的取值范围，分别讨论x＝﹣6与x＝1时y为最大值求解．(1)解：经过，把点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+3b中得：4﹣2b+3b＝4，解得b＝0，∴此函数表达式为：y＝x2，当x＝2时，y＝4，∴图象经过点（2，4）；(2)解：∵抛物线函数y＝x2+bx+3b（b为常数）的顶点坐标是 （m，n），∴﹣＝m，＝n，∴b＝﹣2m，把b＝﹣2m代入＝n得n＝＝﹣m2﹣6m．即n关于m的函数解析式为n＝﹣m2﹣6m．(3)把x＝0代入y＝x2+bx+3b得y＝3b，∵抛物线不经过第三象限，∴3b≥0，即b≥0，∵y＝x2+bx+3b＝（x+）2﹣+3b，∴抛物线顶点（﹣，﹣+3b），∵﹣≤0，∴当﹣+3b≥0时，抛物线不经过第三象限，解得b≤12，∴0≤b≤12，﹣6≤﹣≤0，∴当﹣6≤x≤1时，函数最小值为y＝﹣+3b，把x＝﹣6代入y＝x2+bx+3b得y＝36﹣3b，把x＝1代入y＝x2+bx+3b得y＝1+4b，当36﹣3b﹣（﹣+3b）＝16时，解得b＝20（不符合题意，舍去）或b＝4．当1+4b﹣（﹣+3b）＝16时，解得b＝6或b＝﹣10（不符合题意，舍去）．综上所述，b＝4或6．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系，通过分类讨论求解．5、 (1)(2)3【解析】【分析】（1）把点的坐标代入抛物线，即可得出抛物线的表达式；（2）先求出，，，再利用三角形面积公式求解即可．(1)解：把点的坐标代入抛物线，得，解得，所以抛物线的表达式：；(2)解：抛物线的表达式，令时，，解得：，，当，，，，．【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确的设出抛物线的解析式．