初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试课时练习

这是一份初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试课时练习，共33页。试卷主要包含了已知平面直角坐标系中有点A，已知点，，都在函数的图象上，则等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数定向测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、已知二次函数的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的x的取值范围是（ ）

A． B． C． D．或
2、一个球从地面竖直向上弹起时的速度为8米/秒，经过秒时球的高度为米，和满足公式：h=v0t-12gt2v0表示球弹起时的速度，表示重力系数，取米/秒，则球不低于3米的持续时间是（ ）
A．秒 B．秒 C．秒 D．1秒
3、在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象大致如图（　　）
A． B．
C． D．
4、已知平面直角坐标系中有点A（﹣4，﹣4），点B（a，0），二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k的图象必过一定点C，则AB+BC的最小值是（　　）
A．4 B．2 C．6 D．3
5、已知点，，都在函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
6、如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，若抛物线的顶点在直线上移动，且与线段、都有公共点，则h的取值范围是（ ）

A． B． C． D．
7、将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ）
A． B． C． D．
8、一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9、如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，对称轴为直线．结合图象分析下列结论：①；②；③；④一元二次方程的两根分别为；⑤若为方程的两个根，则且．其中正确的结论个数是（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10、同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、已知二次函数，当y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是______．
2、二次函数的图像不经过第______象限．
3、抛物线的顶点坐标是______．
4、如图，平面直角坐标系中，以点C（2，）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．若二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解析式为 ____________．

5、已知抛物线，将此二次函数解析式用配方法化成的形式得__________，此抛物线经过两点A（-2，y1）和，则与的大小关系是_____________．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、已知如图，二次函数的图像与x轴相交于点A、B两点，与y轴相交于点C，连接AC、BC，，抛物线的顶点为D．

(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一动点E，当取得最小值时，E点坐标为________；此时AE与BC的位置关系是________，________；
(3)抛物线对称轴右侧的函数图像上是否存在点M，满足，若存在求M点的横坐标；若不存在，请说明理由；
(4)若抛物线上一动点Q，当时，直接写出Q点坐标________．
2、如图， 在平面直角坐标系 中， 直线 与 牰交于点 ， 与 轴交于点 ． 点C为拋物线 的顶点．

(1)用含 的代数式表示顶点 的坐标：
(2)当顶点 在 内部， 且 时，求抛物线的表达式：
(3)如果将抛物线向右平移一个单位，再向下平移 个单位后，平移后的抛物线的顶 点 仍在 内， 求 的取值范围．
3、已知二次函数y＝x2－2x－3的图象为抛物线C．
(1)写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)当2≤x≤4时，求该二次函数的函数值y的取值范围；
(3)将抛物线C先向右平移2个单位长度，得到抛物线C1；再将抛物线C1向下平移1个单位长度，得到抛物线C2，请直接写出抛物线C1，C2对应的函数解析式．
4、抛物线与x轴交和点B，交y轴于点C，对称轴为直线．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，若点D为线段BC下方抛物线上一点，过点D作轴于点E，再过点E作于点F，请求出的最大值．
5、如图，抛物线与轴交于两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，A点的坐标是（，0），点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m，且m>0．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)若点Q是直线AC上的一个动点，且位于x轴的上方，当PQ∥y轴时，作PM⊥PQ，交抛物线于点M（点M在点P的右侧），以PQ，PM为邻边构造矩形PQNM，求该矩形周长的最小值；
(3)设抛物线在点C与点P之间的部分（含点C和P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．
①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；
②当h=16时，直接写出△BCP的面积．

-参考答案-
一、单选题
1、D
【解析】
【分析】
根据函数图象写出y=1对应的自变量x的值,再根据判断范围即可．
【详解】
由图可知，使得时
使成立的x的取值范围是或
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式，准确识图是解题的关键．
2、A
【解析】
【分析】
根据已知得到函数关系式，将h=3代入，求出t值的差即为答案．
【详解】
解：由题意得，
当h=3时，，
解得，
∴球不低于3米的持续时间是1-0.6=0.4（秒），
故选：A．
【点睛】
此题考查了二次函数的实际应用，解一元二次方程，正确理解题中各字母的值，代入求出函数解析式解决问题是解题的关键．
3、B
【解析】
【分析】
分别利用函数解析式分析图象得出答案．
【详解】
解：A、二次函数开口向下，k＜0；一次函数图象经过第一、三象限，k＞0，故此选项错误；
B、两函数图象符合题意；
C、二次函数开口向上，k＞0；一次函数图象经过第二、四象限，k＜0，故此选项错误；
D、一次函数解析式为：y=kx-2，图象应该与y轴交在负半轴上，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，正确得出k的符号是解题关键．
4、C
【解析】
【分析】
将抛物线解析式变形求出点C坐标，再根据两点之间线段最短求出AB+BC的最小值即可．
【详解】
解：二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k=(x-2)(x-1+k)-2
∴函数图象一定经过点C（2，-2）
点C关于x轴对称的点的坐标为（2，2），连接，如图，

∵
∴
故选：C
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质，两点之间线段最短以及勾股定理等知识，明确“两点之间线段最短”是解答本题的关键．
5、C
【解析】
【分析】
把点的坐标分别代入函数解析式可分别求得、、，再比较其大小即可．
【详解】
解：点，，都在函数的图象上，
，，，
，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
6、B
【解析】
【分析】
将与联立可求得点B的坐标，然后由抛物线的顶点在直线可求得k＝−h，于是可得到抛物线的解析式为y＝（x−h）2−h，由图形可知当抛物线经过点B和点C时抛物线与线段AB、BO均有交点，然后将点C和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得h的值，从而可判断出h的取值范围．
【详解】
解：∵将与联立得：，
解得：．
∴点B的坐标为（−2，1），
由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（h，k），
∵将x＝h，y＝k，代入得y＝−x得：−h＝k，解得k＝−h，
∴抛物线的解析式为y＝（x−h）2−h，
如图1所示：当抛物线经过点C时，

将C（0，0）代入y＝（x−h）2−h得：h2−h＝0，解得：h1＝0（舍去），h2＝；
如图2所示：当抛物线经过点B时，

将B（−2，1）代入y＝（x−h）2−h得：（−2−h）2−h＝1，整理得：2h2＋7h＋6＝0，解得：h1＝−2，h2＝−（舍去）．
综上所述，h的范围是−2≤h≤，即−2≤h≤
故选：B．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数的交点与一元二次方程组的关系、待定系数法求二次函数的解析式，通过平移抛物线探究出抛物线与线段AB、BO均有交点时抛物线经过的“临界点”为点B和点O是解题解题的关键．
7、B
【解析】
【分析】
由题意知，平移后的抛物线解析式为，将各选项中的横坐标代入，求出纵坐标并与各选项的纵坐标比较，纵坐标相同的即为正确答案．
【详解】
解：由题意知，平移后的抛物线解析式为
将代入解析式得，与A中点坐标不同，故不符合要求；
将代入解析式得，与B中点坐标相同，故符合要求；
将代入解析式得，与C中点坐标不同，故不符合要求；
将代入解析式得，与D中点坐标不同，故不符合要求；
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移．解题的关键在于写出平移后的二次函数解析式．
8、C
【解析】
【分析】
逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【详解】
A、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，A不可能；
B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a＞0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，B不可能；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C可能；
D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D不可能．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限．
9、C
【解析】
【分析】
根据图像，确定a，b，c的符号，根据对称轴，确定b，a的关系，当x=-1时，得到a-b+c=0，确定a，c的关系，从而化简一元二次方程，求其根即可，利用平移的思想，把y=的图像向上平移1个单位即可，确定方程的根．
【详解】
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右边，
∴b＜0，
∴，
故①正确；
∵二次函数的图像与x轴交于点，
∴a-b+c=0，
根据对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
当x=-2时，y＞0即，
故②正确；
∵，

∴b= -2a，
∴3a+c=0，
∴2a+c=2a-3a= -a＜0，
故③正确；
根据题意，得，
∴，
解得，
故④错误；
∵=0，
∴，
∴y=向上平移1个单位，得y=+1，
∴为方程的两个根，且且．
故⑤正确；
故选C．
【点睛】
本题考查了抛物线的图像与系数的符号，抛物线的对称性，抛物线与一元二次方程的关系，抛物线的增减性，平移，熟练掌握抛物线的性质，抛物线与一元二次方程的关系是解题的关键．
10、D
【解析】
【分析】
根据一次函数，二次函数的图象与性质逐一分析两个解析式中的的符号，再判断即可.
【详解】
解：选项A：由的图象可得：
由的图象可得：则 故A不符合题意；
选项B：由的图象可得：
由的图象可得：则
而抛物线的对称轴为： 则 故B不符合题意；
选项C：由的图象可得：
由的图象可得：则 故C不符合题意；
选项D：由的图象可得：
由的图象可得：则
而抛物线的对称轴为： 则 故D符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键.
二、填空题
1、
【解析】
【分析】
函数图象的对称轴为直线，图象在对称轴的右侧y随x的增大而增大，进而可得自变量x的取值范围．
【详解】
解：由知函数图象的对称轴为直线，图象在对称轴的右侧y随x的增大而增大
∴自变量x的取值范围是
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练把握二次函数的图象与性质．
2、二
【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以得到该函数图象不经过哪个象限．
【详解】
解：∵y=-x2+4x-1=-（x-2）2+3，
∴该函数图象的顶点坐标为（2，3）且经过点（0，-1），函数图象开口向下，
∴该函数图象不经过第二象限，
故答案为：二．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3、 (2，-1)
【解析】
【分析】
先把抛物线配方为顶点式，再确定顶点坐标即可．
【详解】
解：，
∴抛物线的顶点坐标为（2，-1）．
故答案为（2，-1）．
【点睛】
本题考查抛物线的顶点坐标，掌握抛物线配方为顶点式的方法是解题关键．
4、y=x2-4x+3
【解析】
【分析】
过点C作CH⊥AB于点H，然后利用垂径定理求出CH、AH和BH的长度，进而得到点A和点B的坐标，再将A、B的坐标代入函数解析式求得b与c，最后求得二次函数的解析式．
【详解】
解：过点C作CH⊥AB于点H，则AH=BH，

∵C（2，），
∴CH=，
∵半径为2，
∴AH=BH=＝1，
∵A（1，0），B（3，0），
∴二次函数的解析式为y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3，
故答案为：y=x2-4x+3．
【点睛】
本题考查了圆的垂径定理、二次函数的解析式，解题的关键是过点C作CH⊥AB于点H，利用垂径定理求出点A和点B的坐标．
5、
【解析】
【分析】
（1）利用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式；（2）将与分别代入二次函数解析式中，计算出与的值，并比较大小．
【详解】
（1）解：，
故答案为：．
（2）当 时，
当时，
∴ 与的大小关系是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，以及二次函数的增减性，熟练掌握配方法是解决本题的关键．
三、解答题
1、 (1)y=x2-4x+3；
(2)（2，1）；AE⊥BC，；
(3)存在，M点的横坐标为或；
(4)Q点的坐标为(，)或(，) ．
【解析】
【分析】
（1）求得点C的坐标和点B的坐标，利用待定系数法即可求解；
（2）连接BC交对称轴于点E，此时AE+CE取得最小值，求得直线BC的解析式，即可求得E点坐标，进一步计算即可求解；
（3）分类求解，利用tan∠ACB= tan∠BAM，求得G点坐标，利用待定系数法求得直线AG的解析式，联立方程即可求解；
（4）先求得tan∠ACO=，同（3）的方法即可求解．
(1)
解：令x=0，则y=3，
∴点C的坐标为（0，3），即OC=1，
∵tan∠ABC=1，即，
∴OC=OB=1，
∴点B的坐标为（3，0），
把B（3，0）代入y=x2+bx+3得32+3b+3=0，
解得：b=-4，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3；
(2)
解：y=x2-4x+3=(x-2)2-1，
∴顶点D的坐标为（2，-1），对称轴为x=2，
解方程(x-2)2-1=0，得：x1=1，x2=3，
∴点A的坐标为（1，0），
连接BC交对称轴于点E，此时，AE=BE，
∴AE+CE=BE+CE=BC，
∴AE+CE的最小值为BC，
设直线BC的解析式为y=kx+3，
把B（3，0）代入y=kx+3，得：0=3k+3，
解得：k=-1，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
当x=2时，y=1，
∴E点坐标为（2，1），
∵AE=，BE=，AB=3-1=2，
，
∴AE2+BE2=AB2，AE=BE，
∴△AEB为等腰直角三角形，
∴AE与BC的位置关系是：AE⊥BC，
∵CE=，
∴tan∠ACE=，
故答案为：（2，1）；AE⊥BC，；
，
(3)
解：设对称轴与x轴交于点F，交AM于点G，
∵∠ACB=∠BAM，
∴tan∠ACB= tan∠BAM，
由（2）得tan∠ACE，
∴tan∠BAM=，
∵AF=OF-OA=1，
∴GF=，
∴G点坐标为（2，），
同理求得直线AG的解析式为y=x-，
解方程x-=x2-4x+3，得x1=1，x2=，
∴M点的横坐标为；
当AM在x轴下方时，
同理求得直线AG1的解析式为y=x+，
解方程x+=x2-4x+3，得x1=1，x2=，
∴M1点的横坐标为；
综上，存在，M点的横坐标为或；
，
(4)
解：∵OA=1，OC=3，
∴tan∠ACO=，
同（3）得H点坐标为（2，），
直线AQ的解析式为y=x-，
解方程x-=x2-4x+3，得x1=1，x2=，
∴Q点的坐标为(，)；
当AQ在x轴下方时，
同理求得直线AQ1的解析式为y=x+，
解方程x+=x2-4x+3，得x1=1，x2=，
∴Q1点的坐标为(，)；
综上，Q点的坐标为(，)或(，)．
,
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、解直角三角形等，要注意分类求解，避免遗漏．
2、 (1)
(2)；
(3)1＜a＜3
【解析】
【分析】
（1）利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可解答；
（2）求出点A、B的坐标，利用三角形面积公式求解a值即可解答；
（3）根据点的坐标平移规律“右加左减，上加下减”得出P点坐标，再根据条件得出a的一元一次不等式组，解不等式组即可求解
(1)
解：拋物线 ，
∴顶点C的坐标为；
(2)
解：对于，当x=0时，y=5，当y=0时，x=5，
∴A（5，0），B（0，5），
∵顶点 在 内部， 且 ，
∴，
∴a=2，
∴拋物线的表达式为 ；
(3)
解：由题意，平移后的抛物线的顶点P的坐标为，
∵平移后的抛物线的顶 点 仍在 内，
∴，
解得：1＜a＜3，
即 的取值范围为1＜a＜3．
【点睛】
本题考查求二次函数的顶点坐标和表达式、二次函数的图象平移、一次函数的图象与坐标轴的交点问题、坐标与图象、解一元一次不等式组，熟练掌握相关知识的联系与运用，第（3）小问正确得出不等式组是解答的关键．
3、 (1)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为
(2)
(3)，
【解析】
【分析】
（1）将二次函数化为顶点式，由此可得答案；
（2）分别求出时，时的函数值，根据函数的增减性解答；
（3）根据二次函数的平移规律解答．
(1)
解：∵，∴抛物线C的开口向上．
∵，
∴抛物线C的对称轴为直线，顶点坐标为．
(2)
解：当时，y随x的增大而增大；
∵当时，；当时，．
∴函数值y的取值范围是．
(3)
解：抛物线对应的函数解析式为；
抛物线对应的函数解析式为．
【点睛】
此题考查了将二次函数化为顶点式，二次函数的性质，利用函数的增减求出函数值的取值范围，二次函数的平移规律，熟记各知识点是解题的关键．
4、 (1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数的对称轴及过一点，建立等式进行求解；
（2）先证明出是等腰三角形，再利用二次函数的性质结合配方法求解即可．
(1)
解：对称轴为，
把代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
(2)
解：设点D的坐标为，
点D在BC的下方，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，
轴，
E的坐标为，
，
，
，
当时，的最大值是．
【点睛】
本题考查了求解二次函数的解析式、二次函数的性质，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是求解出解析式．
5、 (1)
(2)
(3)①；②
【解析】
【分析】
（1）将点代入解析式，待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）根据两点求得直线的解析式，进而求得的长，根据的范围分类讨论求得的值，进而得到矩形周长与的二次函数关系式，根据二次函数的性质求得最小值即可；
（3）①根据抛物线解析式求得顶点坐标，进而根据的纵坐标与的纵坐标求得最大与最小值求得其差即可，根据的纵坐标大于3和小于等于3求解即可；②过点作轴交于点，过点作于点，根据①中的范围可得，当时，，进而求得点的坐标，根据计算即可
(1)
解：∵抛物线与轴交于两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，A点的坐标是（，0），
∴令，则，
将点代入得
解得
则抛物线的解析式为
(2)
点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m，且m>0．
点Q是直线AC上的一个动点，且位于x轴的上方，PQ∥y轴
点在点上方，
,，设直线的解析式为

解得
直线的解析式为
设，则

抛物线的解析式为
对称轴为，顶点坐标为，


根据对称性可得
设矩形的周长为，
①当时，，不能构成矩形，
②当时，
则
当时，
③当时，
则
对称轴为
则当时，不存在最小值
综上所述，矩形的周长的最小值为
(3)
①抛物线的解析式为
对称轴为，顶点坐标为，
又
当时，
解得，

当时，
当时，

②当时，

当时，
解得


则

如图，过点作轴交于点，过点作于点，

抛物线的解析式为
令，则
解得






【点睛】
本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与矩形问题，二次函数与三角形面积问题，掌握二次函数的性质与一次函数的性质是解题的关键．