冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试同步达标检测题

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九年级数学下册第三十章二次函数定向攻克 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、若二次函数与轴的一个交点为，则代数式的值为（       ）A． B． C． D．2、已知二次函数，若时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为（       ）A．1 B．-1 C． D．无法确定3、若关于的一元二次方程的两根分别为，，则二次函数的对称轴为直线（     ）A． B． C． D．4、将关于x的二次函数的图像向上平移1单位，得到的抛物线经过三点、、，则、、的大小关系是（       ）A． B． C． D．5、若函数，则当函数y=15时，自变量的值是（     ）A． B．5 C．或5 D．5或6、下列函数中，随的增大而减小的函数是（       ）A． B． C． D．7、一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）A． B．C． D．8、2020年2月3日，随着南立交匝道最后一条交通线划线完毕，蒙山大道祊河桥迎来了南北东西方向全线通车，蒙山高架路“踏实落地”，市民从此可一路畅通．蒙山大道祊河桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象－抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB＝90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（       ）A． B． C． D．9、将函数的图像向上平移1个单位，向左平移2个单位，则所得函数表达式是（       ）A． B．C． D．10、已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则（　　）A．b＞0，c＞0，Δ＝0 B．b＜0，c＞0，Δ＝0C．b＜0，c＜0，Δ＝0 D．b＞0，c＞0，Δ＞0第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知抛物线，将其图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则得到的抛物线解析式为________．2、某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留宽的门，所有围栏的总长（不含门）为，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为______．3、二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如下：x…﹣30135…y…7﹣8﹣9﹣57…则一元二次方程a（2x+1）2+b（2x+1）+c＝﹣5的解为 _____．4、如图，在平面直角坐标系中，，，且AC在x轴上，O为AC的中点．若抛物线与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是______．5、请写出一个开口向下，与轴交点的纵坐标为3的抛物线的函数表达式__．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m．以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，若点P的坐标为．(1)求拱桥所在抛物线的函数表达式；(2)因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为多少？（结果保留根号）2、已知二次函数的图象经过点，对称轴是经过且平行于轴的直线．(1)求，的值，(2)如图，一次函数的图象经过点，与轴相交于点，与二次函数的图象相交于另一点，若点与点关于抛物线对称轴对称，求一次函数的表达式．(3)根据函数图象直接写出时，的取值范围．3、如图，正比例函数y1=x与二次函数y2=x2-bx的图象相交于O（0，0），A（4，4）两点．(1)求 b 的值；(2)当 y1 y2 时，直接写出 x 的取值范围．4、如图，抛物线与轴交于两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，A点的坐标是（，0），点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m，且m>0．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点Q是直线AC上的一个动点，且位于x轴的上方，当PQ∥y轴时，作PM⊥PQ，交抛物线于点M（点M在点P的右侧），以PQ，PM为邻边构造矩形PQNM，求该矩形周长的最小值；(3)设抛物线在点C与点P之间的部分（含点C和P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；②当h=16时，直接写出△BCP的面积．5、在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)，直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝a+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．(1)判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；(2)求a，b的值；(3)平移抛物线y＝a+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值． -参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】把代入即可求出，则，进而可求出代数式的值．【详解】解：二次函数与轴的一个交点为，时，，，，故选：D．【点睛】本题主要考查抛物线与轴的交点，解题的关键是把代入求出的值．2、C【解析】【分析】分a＞0或a＜0两种情况讨论，求出y的最大值和最小值，即可求解；【详解】当a＞0时，∵对称轴为x=，当x=1时，y有最小值为2，当x=3时，y有最大值为4a+2，∴4a+2-2=4．∴a=1，当a＜0时，同理可得y有最大值为2； y有最小值为4a+2，∴2-(4a+2)=4，∴a=-1，综上，a的值为故选：C【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，利用分类思想解决问题是本题的关键．3、C【解析】【分析】根据两根之和公式可以求出对称轴公式．【详解】解：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为−2和4，∴x1＋x2＝− ＝2．∴二次函数的对称轴为x＝−＝×2＝1．故选：C．【点睛】本题考查了求二次函数的对称轴，要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系和两根之和公式，并熟练运用．4、C【解析】【分析】根据题意求得平移后的二次函数的对称轴以及开口方向，根据三个点与对称轴的距离大小判断函数值的大小即可【详解】解：∵关于x的二次函数的图像向上平移1单位，得到的抛物线解析式为， ∴新抛物线的对称轴为，开口方向向上，则当抛物线上的点距离对称轴越远，其纵坐标越大，即函数值越大，平移后的抛物线经过三点、、，故选C【点睛】本题考查了二次函数的平移，二次函数的性质，二次函数的对称轴直线x=，图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线的开口向上，x＜时，y随x的增大而减小；x＞时，y随x的增大而增大；x=时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线的开口向下，x＜时，y随x的增大而增大；x＞时，y随x的增大而减小；x=时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点，掌握二次函数的性质是解题的关键．5、D【解析】【分析】根据题意，利用分类讨论的方法可以求得当函数y=15时，自变量x的值．【详解】解：当x＜3时，令2x2-3=15，解得x=-3；当x≥3时，令3x=15，解得x=5；由上可得，x的值是-3或5，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．6、B【解析】【分析】根据一次函数，反比例函数，二次函数，正比例函数的性质逐项分析即可．【详解】A. ，，随的增大而增大，故A选项不符合题意． B. ，， ，的图像位于第三象限，随的增大而减小，故B选项符合题意；C. ，，对称轴为轴，在对称轴的左边，随的增大而增大，在对称轴的右边，随的增大而减小，故C选项不符合题意；D. ，，随的增大而增大，故D选项不符合题意；故选B．【点睛】本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数，正比例函数的性质，掌握以上性质是解题的关键．7、C【解析】【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．【详解】A、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，A不可能；B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a＞0，b＜0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，B不可能；C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C可能；D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a＜0，b＜0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，D不可能．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限．8、B【解析】【分析】直接利用图象设出抛物线解析式，进而得出答案．【详解】∵拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，∴设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)，∴-78=452a，解得：a=，∴此抛物线钢拱的函数表达式为，故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，正确设出抛物线解析式是解题关键．9、B【解析】【分析】由二次函数图象平移的规律即可求得平移后的解析式，再选择即可．【详解】解：将抛物线先向上平移1个单位，则函数解析式变为 再将向左平移2个单位，则函数解析式变为，故选：B．【点睛】本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．10、B【解析】【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定b的符号，由抛物线与x轴的交点个数确定△的符号，由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，即可得出答案．【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∵抛物线与x轴有一个交点，∴Δ=0，故选：B．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与系数的关系，牢记抛物线的对称轴公式．二、填空题1、【解析】【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（0,2），其图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线解析式为即故答案为：【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．2、14【解析】【分析】设平行于墙体的材料长度为 ，则垂直于墙体的材料长度为 根据题意列出函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求解．【详解】解：设平行于墙体的材料长度为 ，建成的饲养室的总面积为 ，则垂直于墙体的材料长度为 根据题意得：建成的饲养室的总面积为 ，∴当 时，建成的饲养室面积最大，即此时利用墙体的长度为 ．故答案为：14【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．3、，【解析】【分析】从表中找到三对数值，将三对数值分别代入y=ax2+bx+c组成方程组，求出a、b、c的值，然后再运用因式分解法求解方程即可得到结论．【详解】解：将（-3，7），（0，-8），（1，-9）代入y=ax2+bx+c得， 整理得， ②×3+①，得 ∴ 把代入②得， ∴ 又 ∴一元二次方程a（2x+1）2+b（2x+1）+c＝﹣5可变形为： 即：∴ ∴，或 解得，，故答案为：，【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式和一元二次方程的解法，从图表中找到相关的量是解题的关键．4、3≤a＜4或a≤-5【解析】【分析】先确定A，B的坐标，确定直线AB的解析式，联立两个函数解析式构造一元二次方程，其判别式大于零，分a＜0和a＞0，两种情形计算即可．【详解】∵，，且AC在x轴上，O为AC的中点，∴A（-1，0），B（1，2），∠BAC=45°，∴直线AB与y轴的交点为（0，1），设直线AB的解析式为y=kx+1，∴-k+1=0，解得k=1，∴直线AB的解析式为y=x+1，∵抛物线与线段AB有两个不同的交点，∴x+1=有两个不相等实数根，∴有两个不相等实数根，∴，解得a＜4；当a＞0时，，∴a≥3，∴3≤a＜4，当a＜0时，，∴a≤-5，∴3≤a＜4或a≤-5，故答案为：3≤a＜4或a≤-5．【点睛】本题考查了待定系数法确定一次函数的解析式，一元二次方程根的判别式，抛物线与一次函数的综合，不等式组的解法，熟练根的判别式和不等式组的解法是解题的关键．5、【解析】【分析】首先根据开口向下得到二次项系数小于0，然后根据与轴的交点坐标的纵坐标为3得到值即可得到函数的解析式．【详解】解：开口向下，中，与轴的交点纵坐标为3，，抛物线的解析式可以为：（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟知二次函数中各项系数的作用．三、解答题1、 (1)(2)【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）在所求函数解析式中求出时的值即可得．(1)解：设抛物线的解析式为，将点、代入，得：，解得：，所以抛物线的解析式为；(2)当时，，即，解得：，则水面的宽为．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数的问题求解，并熟练掌握待定系数法求函数解析式．2、 (1)(2)(3)或3、 (1)(2)或【解析】【分析】（1）将点A（4，4）代入进行解答即可得；（2）由图像即可得．(1)解：将点A（4，4）代入得，解得．(2)解：由图像可知，当或时，．【点睛】本题考查了正比函数，二次函数，解题的关键是掌握正比函数的性质和二次函数的性质．4、 (1)(2)(3)①；②【解析】【分析】（1）将点代入解析式，待定系数法求二次函数解析式即可；（2）根据两点求得直线的解析式，进而求得的长，根据的范围分类讨论求得的值，进而得到矩形周长与的二次函数关系式，根据二次函数的性质求得最小值即可；（3）①根据抛物线解析式求得顶点坐标，进而根据的纵坐标与的纵坐标求得最大与最小值求得其差即可，根据的纵坐标大于3和小于等于3求解即可；②过点作轴交于点，过点作于点，根据①中的范围可得，当时，，进而求得点的坐标，根据计算即可(1)解：∵抛物线与轴交于两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，A点的坐标是（，0），∴令，则，将点代入得解得则抛物线的解析式为(2)点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m，且m>0．点Q是直线AC上的一个动点，且位于x轴的上方，PQ∥y轴点在点上方，,，设直线的解析式为解得直线的解析式为设，则抛物线的解析式为对称轴为，顶点坐标为，根据对称性可得设矩形的周长为，①当时，，不能构成矩形，②当时， 则当时，③当时，则对称轴为则当时，不存在最小值综上所述，矩形的周长的最小值为(3)①抛物线的解析式为对称轴为，顶点坐标为，又当时，解得，当时，当时，②当时，当时，解得则如图，过点作轴交于点，过点作于点，抛物线的解析式为令，则解得【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与矩形问题，二次函数与三角形面积问题，掌握二次函数的性质与一次函数的性质是解题的关键．5、 (1)在，见解析(2)a＝﹣1，b＝2(3)当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为【解析】【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B（2，3）在直线y＝x+m上；（2）因为直线经过A、B和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过A、B点，即可判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b；（3）设平移后的抛物线为y＝﹣+px+q，其顶点坐标为（，），根据题意得出=，由抛物线y＝﹣+px+q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出q=-=，从而得出q的最大值．(1)点B是在直线y＝x+m上，理由如下：∵直线y＝x+m经过点A（1，2），∴2＝1+m，解得m＝1，∴直线为y＝x+1，把x＝2代入y＝x+1得y＝3，∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；(2)∵直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），且B、C两点的横坐标相同，∴抛物线只能经过A、C两点，把A（1，2），C（2，1）代入y＝a+bx+1得，解得a＝﹣1，b＝2；(3)由（2）知，抛物线为y＝﹣+2x+1，设平移后的抛物线为y＝﹣+px+q，∴顶点坐标为（，），∵其顶点仍在直线y＝x+1上，∴=，∴q=-=， ∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．【点睛】本题考查了图像与点的关系，待定系数法确定函数解析式，配方法求二次函数最值，熟练掌握待定系数法，灵活配方求最值是解题的关键．