初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试课后复习题

九年级数学下册第三十章二次函数专题测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、某商场第1年销售计算机5000台，如果每年的销售量比上一年增加相同的百分率，第3年的销售量为台，则关于的函数解析式为（       ）

A． B．

C． D．

2、在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（　　）

A．（4，2） B．（﹣2，2） C．（4，﹣2） D．（﹣2，﹣2）

3、对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y=x2+4x+c有两个相异的不动点x1，x2，且x1＜3＜x2，则c的取值范围是（       ）

A．c＜﹣6 B．c＜﹣18 C．c＜﹣8 D．c＜﹣11

4、对于二次函数，下列说法正确的是（       ）

A．若，则y随x的增大而增大 B．函数图象的顶点坐标是

C．当时，函数有最大值－4 D．函数图象与x轴有两个交点

5、如图，若二次函敞的图象过点，且与x轴交点横坐标分别为，，其中，．得出结论：①；②；③；④．上述结论正确的有（       ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4

6、小明以二次函数的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ）

A．14 B．11 C．6 D．3

7、若二次函数y=-x2+mx在-2≤x≤1时的最大值为5，则m的值是（　 　）

A．或6 B．或6 C．或6 D．或

8、将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（       ）

A． B． C． D．

9、二次函数y＝a+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0，④4a-2b+c＞0；其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

10、抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4的对称轴是（　　）

A．直线x＝3 B．直线x＝﹣3 C．直线x＝4 D．直线x＝﹣4

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知抛物线，点在抛物线上，则的最小值是______．

2、将二次函数y＝﹣x2＋2图象向下平移3个单位，得到的函数图象顶点坐标为_____．

3、已知二次函数的图象顶点坐标是，还经过点，它的图象与轴交于、两点，则线段的长为______．

4、抛物线与y轴的交点坐标为_________．

5、将函数的图象向______平移______个单位长度，再向______平移______个单位长度，可以得到函数的图象．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知：在直角坐标平面内，抛物线y＝x2+bx+6经过x轴上两点A、B，点B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C．求：

(1)抛物线的表达式及顶点坐标；

(2)△ABC的面积．

2、小君根据学习经验对函数y=|ax2+bx+c|进行了探究．

(1)写出该函数自变量的取值范围　　　　；

(2)下列表示y与x的几组对应值．

则m=　　　　；

(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出以上对各对对应值为坐标的点．根据描出的点，画出该函数的图象；

(4)请根据图象，写出：

①当0≤x≤4时，y的最大值是　　　　；

②当z＜x＜z+1时，y随x的增大而增大，则z的取值范围是　　　　．

3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，点P是位于x轴上方抛物线上的一个动点，过P作PE⊥x轴，垂足为点E．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)是否存在点P，使得以A、P、E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标，说明理由；

(3)是否存在点P，使得四边形ABCP的面积最大？若存在，请求出点P的坐标，请说明理由．

4、已知抛物线y=x2+bx-3（b是常数）经过点A（-1，0）．

(1)求该抛物线的函数表达式和顶点坐标；

(2)抛物线与x轴另一交点为点B，与y轴交于点C，平行于x轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3）．

①求直线BC的解析式；

②若x3＜x1＜x2，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围．

5、如图， 在平面直角坐标系 中， 直线 与 牰交于点 ， 与 轴交于点 ． 点C为拋物线 的顶点．

(1)用含 的代数式表示顶点 的坐标：

(2)当顶点 在 内部， 且 时，求抛物线的表达式：

(3)如果将抛物线向右平移一个单位，再向下平移 个单位后，平移后的抛物线的顶 点 仍在 内， 求 的取值范围．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【解析】

【分析】

根据增长率问题的计算公式解答．

【详解】

解：第2年的销售量为，

第3年的销售量为，

故选：B．

【点睛】

此题考查了增长率问题的计算公式，a是前量，b是后量，x是增长率，熟记公式中各字母的意义是解题的关键．

2、D

【解析】

【分析】

求出抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为 ，即可求解．

【详解】

解：∵ ，

∴抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为 ，

∴将抛物线y＝x2﹣2x+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 ．

故选：D

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象平移法则“左加右减，上加下减”是解题的关键．

3、B

【解析】

【分析】

由题意得不动点的横纵坐标相等，即在直线y=x上，故二次函数与直线y=x有两个交点，且横坐标满足x1＜3＜x2，可以理解为x=3时，一次函数的值大于二次函数的值．

【详解】

解：由题意得：不动点在一次函数y=x图象上，

∴一次函数y=x与二次函数的图象有两个不同的交点，

∵两个不动点x1，x2满足x1＜3＜x2，

∴x=3时，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，

∴3＞32+4×3+c，

∴c＜-18．

故选：B．

【点睛】

本题以新定义为背景，考查了二次函数图象和一次函数图象的交点与系数间的关系，本题亦可以转化为方程的解来解题．

4、A

【解析】

【分析】

先将二次函数的解析式化为顶点式，再逐项判断即可求解．

【详解】

解：∵，且 ，

∴二次函数图象开口向下，

∴A、若，则y随x的增大而增大，故本选项正确，符合题意；

B、函数图象的顶点坐标是，故本选项错误，不符合题意；

C、当时，函数有最大值-2，故本选项错误，不符合题意；

∵ ，

∴D、函数图象与x轴没有交点，故本选项错误，不符合题意；

故选：A

【点睛】

本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．

5、C

【解析】

【分析】

由二次函数的图象开口向上，轴对称在轴的左侧，图象与轴交于负半轴，可判断①，二次函敞的图象过点，结合图象可得：在抛物线上，再求解抛物线的对称轴可判断②，二次函敞的顶点坐标为：可判断③，先利用时的函数值求解的取值范围，从而可判断④，从而可得答案.

【详解】

解：由二次函数的图象开口向上，轴对称在轴的左侧，图象与轴交于负半轴，

故①符合题意；

二次函敞的图象过点，结合图象可得：

在抛物线上，

抛物线的对称轴为：

故②符合题意；

二次函敞的顶点坐标为：结合图象可得：

而

故③不符合题意；

当时，

又由图象可得：时，

解得：

故④符合题意；

综上：符合题意的有：①②④

故选C

【点睛】

本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握“利用二次函数的图象与性质判断代数式的符号”是解本题的关键.

6、B

【解析】

【分析】

首先由y=2x2-4x+8求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B点的横坐标为x=3，代入y=2x2-4x+8，得到y=14，所以CD=14-6=8，又DE=3，所以可知杯子高度．

【详解】

解：，

抛物线顶点的坐标为，

，

点的横坐标为，

把代入，得到，

，

．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键．

7、C

【解析】

【分析】

表示出对称轴，分三种情况，找出关于m的方程，解之即可得出结论．

【详解】

解：∵y=-x2+mx，

∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x=-，

①当≤-2，即m≤-4时，当x=-2时，函数最大值为5，

∴-(-2)2-2m=5，

解得：m=-；

②当≥1，即m≥2时，当x=1时，函数最大值为5，

∴-12+m=5，

解得：m=6．

③当-2＜＜1，即-4＜m＜2时，当x=时，函数最大值为5，

∴-()2+m•=5

解得m=2（舍去）或m=-2（舍去），

综上所述，m=-或6，

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数的最值、解一元二次方程，解题的关键是：分三种情况，找出关于m的方程．

8、B

【解析】

【分析】

由题意知，平移后的抛物线解析式为，将各选项中的横坐标代入，求出纵坐标并与各选项的纵坐标比较，纵坐标相同的即为正确答案．

【详解】

解：由题意知，平移后的抛物线解析式为

将代入解析式得，与A中点坐标不同，故不符合要求；

将代入解析式得，与B中点坐标相同，故符合要求；

将代入解析式得，与C中点坐标不同，故不符合要求；

将代入解析式得，与D中点坐标不同，故不符合要求；

故选B．

【点睛】

本题考查了二次函数图象的平移．解题的关键在于写出平移后的二次函数解析式．

9、B

【解析】

【分析】

看抛物线与x轴交点个数，判定判别式的符号；根据抛物线开口方向，对称轴与x轴的交点位置，与y轴的交点位置，确定a，b，c的符号；根据对称轴，确定a，b之间的关系；当x= -2时，利用图像，观察直线x=-2与抛物线的交点位置，判定函数值的正负即可．

【详解】

∵抛物线与x轴有两个不同的交点，

∴﹣4ac＞0；

故①正确；

∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，＞0，

∴a＜0，b＞0， c＞0，

∴abc＜0；

故②正确；

∵，

∴4a+b＝0，

故③正确；

x= -2时，y=4a-2b+c，

根据函数的增减性，得4a-2b+c＜0；

故④错误.

故选B．

【点睛】

本题考查了抛物线的图像与各项系数的关系，抛物线与x轴的交点，对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．

10、A

【解析】

【分析】

直接利用抛物线y＝﹣2（x﹣3）2﹣4，求得对称轴方程为：x=3．

【详解】

解：抛物线y=﹣2（x﹣3）2﹣4的对称轴方程为：直线x=3，

故选：A．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质与图象，解题的关键是掌握：二次函数的顶点式与对称轴的关系．

二、填空题

1、1

【解析】

【分析】

把点代入得，再代入进行配方求解即可．

【详解】

解：∵点在抛物线上，

∴

∴

∵

∴的最小值是1，

故答案为：1

【点睛】

本题主要考查了二次函数的性质，能用含a的代数式表示出2a+b是解答本题的关键．

2、（0，-1）

【解析】

【分析】

直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．

【详解】

解：将二次函数y＝-x2+2图象向下平移3个单位，

得到y＝-x2+2-3=-x2-1，

顶点坐标为（0，-1），

故答案为：（0，-1）．

【点睛】

本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．

3、6

【解析】

【分析】

求出抛物线解析式，再求出、两点横坐标，利用坐标求出线段的长即可．

【详解】

解：二次函数的图象顶点坐标是，

设抛物线解析式为，把代入得，

，解得，

抛物线解析式为，

当y=0时，，解得，，，

线段的长为2+4=6；

故答案为：6．

【点睛】

本题考查了求二次函数解析式和抛物线与x轴交点，解题关键是求出抛物线解析式，熟练求出抛物线与x轴交点横坐标．

4、

【解析】

【分析】

根据二次函数图像的性质，时，通过计算即可得到答案．

【详解】

当时，

∴抛物线与y轴的交点坐标为

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．

5、     左     1     下     2

【解析】

【分析】

根据二次函数平移的性质解答．

【详解】

解：∵函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，可以得到函数的图象．

故答案为：左，1，下，2．

【点睛】

此题考查了二次函数图象平移的性质：上加下减，左加右减，熟记性质是解题的关键．

三、解答题

1、 (1)

(2)3

【解析】

【分析】

（1）把点的坐标代入抛物线，即可得出抛物线的表达式；

（2）先求出，，，再利用三角形面积公式求解即可．

(1)

解：把点的坐标代入抛物线，

得，

解得，

所以抛物线的表达式：；

(2)

解：抛物线的表达式，

令时，，

解得：，

，

当，，

，

，

．

【点睛】

本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确的设出抛物线的解析式．

2、 (1)全体实数；

(2)0；

(3)答案见解析；

(4)①4；②z≥4或0≤z≤1

【解析】

【分析】

（1）根据函数解析式为整式，即可得函数自变量的取值范围；

（2）观察表格知，函数关于直线x=2对称，从而由对称性即可求得m的值；

（3）用光滑的曲线顺次连接各点即得函数图象；

（4）①根据图象即可求得y的最大值；

②观察图象即可求得z的取值范围．

(1)

（1）函数y=|ax2+bx+c|的自变量的取值范围为全体实数．

故答案为：全体实数．

(2)

观察表格可知，函数关于直线x=2对称，与x轴交于（0，0）和（4，0），∴x=4时，m=0．

故答案为：0．

(3)

函数图象如图所示：

(4)

①观察图象可知，当0≤x≤4时，y的最大值是4．

故答案为：4．

②观察图象可知，当z≥4或0≤z≤1时，y随x的增大而增大．

故答案为：z≥4或0≤z≤1．

【点睛】

本题考查了函数及其图象、二次函数的图象与性质，关键是观察表格，数形结合．

3、 (1)y=-x2-2x+3

(2)P1（-2，3）或P2(，)

(3)点P的坐标为（-，），理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）把A（-3，0）、B（1，0）代入y=-x2+bx+c求出b、c的值即可求出该函数表达式；

（2）设P（m，-m2-2m+3），表示出PE、AE的长，分或两种情况讨论即可找到P的坐标；

（3）连接AC交PE于点H，把四边形分成两部分，表示出S四边形ABCP=S△PAC+S△ABC即可根据二次函数最值找到P的坐标．

(1)

把A（-3，0）、B（1，0）代入y=-x2+bx+c得：

，

解得：，

∴抛物线的函数解析式为y=-x2-2x+3；

(2)

∵A（-3，0），B（1，0），C（0，3），

∴OC=3，OB=1，

∴设P（m，-m2-2m+3），

∴PE=-m2-2m+3，AE=m+3，

根据题意得：，

解得：m1=-2，m2=-3（舍去），

∴-m2-2m+3=

∴P1（-2，3），

或，

解得：m1＝，m2＝−3（舍去），

∴

∴P2(，)，

综上，点P坐标为P1（-2，3）或P2(，)．

(3)

连接AC交PE于点H，

由A（-3，0），C（0，3）得直线AC的表达式为：y=x+3，

设P（m，-m2-2m+3），则H（m，m+3），

∴PH=-m2-3m

∴S△PAC＝⋅(−m2−3m)×3

∴S四边形ABCP=S△PAC+S△ABC=

当m＝−时，S最大＝，此时点P的坐标为（-，）．

【点睛】

本题考查待定系数法求解析式，三角形的相似以及面积最值问题，熟练掌握好二次函数相关性质是解题基础，并能分类讨论，数形相结合是解题的关键．

4、 (1)y=x2-2x-3，(1，−4)

(2)①y=x−3；②

【解析】

【分析】

（1）把A（-1，0）代入y=x2+bx-3其凷b得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标；

（2）①解方程x2-2x-3=0得B（3，0），再确定C（0，-3），然后利用待定系数法求直线BC的解析式；

②如图，利用对称性得到x2-1=1-x1，则x1+x2=2，所以x1+x2+x3=2+x3，利用函数图象得到-1＜x3＜0，从而得到1＜x1+x2+x3＜2．

(1)

解：把A（-1，0）代入y=x2+bx-3得1-b-3=0，解得b=-2，

∴抛物线解析式为y=x2-2x-3，

∵y=（x-1）2-4，

∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）；

(2)

解：①当y=0时，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，则B（3，0），

当x=0时，y=x2-2x-3=-3，则C（0，-3），

设直线BC的解析式为y=mx+n，

把B（3，0），C（0，-3）代入得，解得，

∴直线BC的解析式为y=x-3；

②如图，

x2-1=1-x1，

∴x1+x2=2，

∴x1+x2+x3=2+x3，

∵y3＜-3，即x3-3＜-3，

∴x3＜0，

∵y=-4时，x-3=-4，解得x=-1，

∴-1＜x3＜0，

∴1＜x1+x2+x3＜2．

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．

5、 (1)

(2)；

(3)1＜a＜3

【解析】

【分析】

（1）利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可解答；

（2）求出点A、B的坐标，利用三角形面积公式求解a值即可解答；

（3）根据点的坐标平移规律“右加左减，上加下减”得出P点坐标，再根据条件得出a的一元一次不等式组，解不等式组即可求解

(1)

解：拋物线 ，

∴顶点C的坐标为；

(2)

解：对于，当x=0时，y=5，当y=0时，x=5，

∴A（5，0），B（0，5），

∵顶点 在 内部， 且 ，

∴，

∴a=2，

∴拋物线的表达式为 ；

(3)

解：由题意，平移后的抛物线的顶点P的坐标为，

∵平移后的抛物线的顶 点 仍在 内，

∴，

解得：1＜a＜3，

即 的取值范围为1＜a＜3．

【点睛】

本题考查求二次函数的顶点坐标和表达式、二次函数的图象平移、一次函数的图象与坐标轴的交点问题、坐标与图象、解一元一次不等式组，熟练掌握相关知识的联系与运用，第（3）小问正确得出不等式组是解答的关键．