冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试习题

这是一份冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试习题，共33页。试卷主要包含了二次函数的最大值是，二次函数y＝ax2+bx+c等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数专题测评
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，已知二次函数的图像与x轴交于点，对称轴为直线．结合图象分析下列结论：①；②；③；④一元二次方程的两根分别为；⑤若为方程的两个根，则且．其中正确的结论个数是（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2、如图，若二次函敞的图象过点，且与x轴交点横坐标分别为，，其中，．得出结论：①；②；③；④．上述结论正确的有（ ）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
3、根据表格对应值：
x
1.1
1.2
1.3
1.4
ax2＋bx＋c
﹣0.59
0.84
2.29
3.76
判断关于x的方程ax2＋bx＋c＝2的一个解x的范围是（ ）
A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x＜1.4 D．无法判定
4、二次函数的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．2
5、如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），且与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），此时抛物线与y轴交于点A′，则AA′的长度为（　　）

A．2 B．3 C．3 D．D3
6、若函数，则当函数y=15时，自变量的值是（ ）
A． B．5 C．或5 D．5或
7、已知二次函数的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，已知图像经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＜0；④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．上述结论中正确个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9、已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10、二次函数y＝a+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0，④4a-2b+c＞0；其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、对于二次函数与，其自变量与函数值的两组对应值如下表所示，根据二次函数图象的相关性质可知______，______
x
﹣1


c
c


d

2、将二次函数y＝﹣x2＋2图象向下平移3个单位，得到的函数图象顶点坐标为_____．
3、抛物线y＝x2＋2x＋的对称轴是直线______．
4、二次函数的图像上横坐标与纵坐标相等的点的坐标为__________．
5、已知二次函数y＝﹣x2+bx+c与一次函数y＝mx+n的图象相交于点A（﹣2，4）和点B（6，﹣2），则不等式﹣x2+bx+c＞mx+n的解集是 _____．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为12m．现将它的图形放在如图所示的直角坐标系中．
(1)求这条抛物线的解析式．
(2)一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能否从桥下通过？

2、如图，△ADB与△BCD均为等边三角形，延长AD到E，使∠AEC＝90°，AD＝5，动点M从点B出发，沿BD方向运动，移动速度为1个单位/秒，同时，点N由点D向点C运动，移动速度为2个单位/秒，其中一个到终点，都停止运动，连接AM，CM，MN，NE，设运动时间为t（0≤t≤2.5）

(1)t为何值时，MN∥BC；
(2)连接BN，t为何值时，BNE三点共线；
(3)设四边形AMNE的面积为S，求S与t的函数关系式；
(4)是否存在某一时刻t，使N在∠CMD的角平分线上，若存在,求出t近似值；若不存在，说明理由．
3、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2－2ax＋4（a＞0）．

(1)抛物线的对称轴为x＝　 ；抛物线与y轴的交点坐标为　 ；
(2)若抛物线的顶点恰好在x轴上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式；
(3)若A（m－1，y1），B（m，y2），C（m＋2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，结合图象，求m的取值范围．
4、已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象经过点（2，0）．
(1)求a的值．
(2)求二次函数图象与x轴的交点坐标．
5、已知抛物线y＝ax2＋bx＋5（a为常数，a≠0）交x轴于点A（－1，0）和点B（5，0），交y轴于点C．
(1)求点C的坐标和抛物线的解析式；
(2)若点P是抛物线上一点，且PB＝PC，求点P的坐标；
(3)点Q是抛物线的对称轴l上一点，当QA＋QC最小时，求点Q的坐标．

-参考答案-
一、单选题
1、C
【解析】
【分析】
根据图像，确定a，b，c的符号，根据对称轴，确定b，a的关系，当x=-1时，得到a-b+c=0，确定a，c的关系，从而化简一元二次方程，求其根即可，利用平移的思想，把y=的图像向上平移1个单位即可，确定方程的根．
【详解】
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右边，
∴b＜0，
∴，
故①正确；
∵二次函数的图像与x轴交于点，
∴a-b+c=0，
根据对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
当x=-2时，y＞0即，
故②正确；
∵，

∴b= -2a，
∴3a+c=0，
∴2a+c=2a-3a= -a＜0，
故③正确；
根据题意，得，
∴，
解得，
故④错误；
∵=0，
∴，
∴y=向上平移1个单位，得y=+1，
∴为方程的两个根，且且．
故⑤正确；
故选C．
【点睛】
本题考查了抛物线的图像与系数的符号，抛物线的对称性，抛物线与一元二次方程的关系，抛物线的增减性，平移，熟练掌握抛物线的性质，抛物线与一元二次方程的关系是解题的关键．
2、C
【解析】
【分析】
由二次函数的图象开口向上，轴对称在轴的左侧，图象与轴交于负半轴，可判断①，二次函敞的图象过点，结合图象可得：在抛物线上，再求解抛物线的对称轴可判断②，二次函敞的顶点坐标为：可判断③，先利用时的函数值求解的取值范围，从而可判断④，从而可得答案.
【详解】
解：由二次函数的图象开口向上，轴对称在轴的左侧，图象与轴交于负半轴，

故①符合题意；
二次函敞的图象过点，结合图象可得：
在抛物线上，
抛物线的对称轴为：


故②符合题意；
二次函敞的顶点坐标为：结合图象可得：
而

故③不符合题意；
当时，


又由图象可得：时，

解得：

故④符合题意；
综上：符合题意的有：①②④
故选C
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与性质，掌握“利用二次函数的图象与性质判断代数式的符号”是解本题的关键.
3、B
【解析】
【分析】
利用表中数据可知当x=1.3和x=1.2时，代数式ax2＋bx＋c的值一个大于2，一个小于2，从而判断当1.2＜x＜1.3时，代数式ax2＋bx＋c的值为2．
【详解】
解：当x=1.3时，ax2＋bx＋c=2.29，
当x=1.2时，ax2＋bx＋c=0.84，
∵0.84＜2＜2.29，
∴方程解的范围为1.2＜x＜1.3，
故选：B
【点睛】
本题考查估算一元二次方程的近似解，解题关键是观察函数值的变化情况．
4、D
【解析】
【分析】
由图象的性质可知在直线处取得最大值，将代入解析式计算求解即可．
【详解】
解：由图象的性质可知，在直线处取得最大值
∴将代入中得
∴最大值为2
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了二次函数的最值．解题的关键在于掌握二次函数的图象与性质．
5、B
【解析】
【分析】
先运用待定系数法求出原抛物线的解析式，再根据平移不改变二次项系数，得出平移后的抛物线解析式，求出A′的坐标，进而得出AA′的长度．
【详解】
∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），
∴y＝a（x+2）2+2，
∵与y轴交于点A（0，3），
∴3＝a（0+2）2+2，解得a＝
∴原抛物线的解析式为：y＝（x+2）2+2，
∵平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），
∴平移后的抛物线为y＝（x﹣1）2﹣1，
∴当x＝0时，y＝，
∴A′的坐标为（0，），
∴AA′的长度为：3﹣（）＝3．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平移、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．
6、D
【解析】
【分析】
根据题意，利用分类讨论的方法可以求得当函数y=15时，自变量x的值．
【详解】
解：当x＜3时，
令2x2-3=15，
解得x=-3；
当x≥3时，
令3x=15，
解得x=5；
由上可得，x的值是-3或5，
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．
7、B
【解析】
【分析】
根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．
【详解】
解：抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2-4ac>0，故①是错误的；
由图象可知，当x=-1时，y=a-b+c>0，因此③是错误的；
由开口方向可得，a>0，对称轴在y轴右侧，a、b异号，因此b-2
因此④正确的，
综上所述，正确的有2个，
故选：B．
【点睛】
考查二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．
8、C
【解析】
【分析】
根据图象可判断abc的符号，可判断结论①，由图象与x轴的交点个数可判断②，由对称轴及x＝−2时的函数值即可判断③，由x＝−3和对称轴即可判断④．
【详解】
解：∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝1，
∴−＝1，
∴b＝−2a＞0，
∵图象与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，
∴①说法正确，
由图象可知抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac＞0，
∴②错误，
由图象可知，当x＝−2时，y＜0，
∴4a−2b＋c＝4a−2（−2a）＋c＝8a＋c＜0，
∴③正确，
由题意可知x＝−3是ax2＋bx＋c−n＝0（a≠0）的一个根，
∵对称轴是x＝1，
∴另一个根为x＝5，
∴④正确，
∴正确的有①③④，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与各系数之间的关系．
9、D
【解析】
【分析】
先求出对称轴x＝，再由已知可得 b≥1，即可求b的范围．
【详解】
解：∵，
∴对称轴为直线x＝b，开口向下，
在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∵当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴1不在对称轴左侧，
∴b≤1，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，充分理解对称轴与函数增减性之间的关系是解题的关键．
10、B
【解析】
【分析】
看抛物线与x轴交点个数，判定判别式的符号；根据抛物线开口方向，对称轴与x轴的交点位置，与y轴的交点位置，确定a，b，c的符号；根据对称轴，确定a，b之间的关系；当x= -2时，利用图像，观察直线x=-2与抛物线的交点位置，判定函数值的正负即可．
【详解】
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴﹣4ac＞0；
故①正确；
∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，＞0，
∴a＜0，b＞0， c＞0，
∴abc＜0；
故②正确；
∵，
∴4a+b＝0，
故③正确；
x= -2时，y=4a-2b+c，
根据函数的增减性，得4a-2b+c＜0；
故④错误.
故选B．
【点睛】
本题考查了抛物线的图像与各项系数的关系，抛物线与x轴的交点，对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
二、填空题
1、 1 3
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质可知m=1，将d用含c的式子表示出来即可．
【详解】
解由二次函数的性质可得的对称轴为y轴，故由表可得，
∴m=1；
∵二次函数的对称轴为y轴，
∴d=c+3，
∴3，
故答案为：1，3．
【点睛】
此题考查二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2、（0，-1）
【解析】
【分析】
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】
解：将二次函数y＝-x2+2图象向下平移3个单位，
得到y＝-x2+2-3=-x2-1，
顶点坐标为（0，-1），
故答案为：（0，-1）．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．
3、x＝﹣1
【解析】
【分析】
抛物线的对称轴方程为： 利用公式直接计算即可.
【详解】
解：抛物线y＝x2＋2x＋的对称轴是直线：

故答案为：
【点睛】
本题考查的是抛物线的对称轴方程，掌握“抛物线的对称轴方程的公式”是解本题的关键.
4、、
【解析】
【分析】
设函数的图象上，横坐标与纵坐标相等的点的坐标是，则，求出的值即可．
【详解】
解：设函数的图象上，横坐标与纵坐标相等的点的坐标是，则，即，
解得．
故符合条件的点的坐标是：、．
故答案为：、．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，解题的关键是掌握即二次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
5、
【解析】
【分析】
不等式﹣x2+bx+c＞mx+n的解集是二次函数在一次函数的图象上方部分x的范围；结合图形，找出二次函数图象在一次函数上面的自变量的取值就是不等式的解集．
【详解】
解：如图，

∵两函数图象相交于点A（-2，4），B（6，-2），
∴不等式﹣x2+bx+c＞mx+n的解集是．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与不等式的关系，解答该题时，要具备很强的读图能力．
三、解答题
1、 (1)
(2)一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能从桥下通过，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线经过原点，可设抛物线为再把把代入抛物线的解析式，利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）把代入抛物线的解析式求解函数值，再与3米进行比较，即可得到答案.
(1)
解：根据题意抛物线经过了原点，设抛物线为：
把代入抛物线的解析式得：

解得：
所以抛物线为：
(2)
解：因为一艘宽为4米，高出水面3米的货船行驶时航线在正中间，
所以当时，

而
所以一艘宽为4米，高出水面3米的货船，能从桥下通过.
【点睛】
本题考查的是二次函数的实际应用，熟练的把实际生活中的问题化为数学问题，建立数学模型是解本题的关键.
2、 (1)当秒；MN∥BC；
(2)t=时，B、N、E三点共线；
(3)S=（0≤t≤2.5）；
(4)存在某一时刻t≈1.148时，使N在∠CMD的角平分线上．
【解析】
【分析】
（1）根据MN∥BC；证明△MDN为等边三角形，得出DM=DN，即5-t=2t，解方程即可；
（2）根据∠ADE为平角，求出∠DCE=180°-∠CDE-∠CED=180°-60°-90°=30°，得出DE=，CE=，根据B、N、E三点共线；得出对顶角性质∠BNC=∠END，再证△BCN∽△EDN，得出即，求出DN即可；
（3）过点B作BF⊥AE与F，过点M作MG⊥AE于G，MH⊥DC于H，过N作NI⊥DE于I，先证BD为∠ADC的平分线，得出MG=MH，再证△MGD∽△BFD，，，求出，分别求出S△AMD=，S△MDN=S△DEN=，再根据S四边形AMNE=S△AMD+S△MDN+S△DEN=++=（0≤t≤2.5）即可；
（4）过点M作MK⊥BC于K，根据等边三角形性质可得∠KBM=60°，可求∠KMB=90°-60°=30°，利用30°直角三角形性质得出BK=，利用勾股定理得出MK=MC，根据角平分线定理使N在∠CMD的角平分线上，得出即，整理得：，化为两函数的交点，用描点法画函数图像，列表连线得出量函数图像Y=8t3随t增大而增大，Y=5(3t-5)2在0＜t≤随t的增大而减小，t≈1.148时，两函数值相等即可．
(1)
解：∵△ADB与△BCD均为等边三角形，AD=5，
∴BD=DC=AD=5，
∴BM=t，DN=2t，
∵MN∥BC；
∴∠NMD=∠DBC=60°=∠MDN，
∴△MDN为等边三角形，
∴DM=DN，即5-t=2t，
解得秒；
∴当秒；MN∥BC；
(2)
解：∵∠ADE为平角，
∴∠CDE=180°-∠ADB-∠BDC=180°-60°-60°=60°，
∵∠CEA=90°，
∴∠DCE=180°-∠CDE-∠CED=180°-60°-90°=30°，
∴DE=，CE=，
∵B、N、E三点共线；
∴∠BNC=∠END，
∵∠BCD=∠CDE=60°，
∴BC∥DE，
∴△BCN∽△EDN，
∴即，
解得DN=，
∴2t=，
解得t=，
∴t=时，B、N、E三点共线；

(3)
解：过点B作BF⊥AE与F，过点M作MG⊥AE于G，MH⊥DC于H，过N作NI⊥DE于I，
∵∠BDA=∠BDC=60°，
∴BD为∠ADC的平分线，
∵MG⊥AE于G，MH⊥DC于H，
∴MG=MH，
∵BF⊥AE，MG⊥AE，
∴BF∥MG，
∴△MGD∽△BFD，
∴，
∵△ABD为等边三角形，BF⊥AD，
∴AF=DF=2.5，
∴BF=，
∵MB=t，
∴MD=5-t，
∴，
解得：，
∴MH=，
∴S△AMD=，
S△MDN=，
∵NI⊥DE，∠CED=90°，
∴NI∥CE，
∴△DNI∽△DCE，
∴即，
∴解得NI=，
∴S△DEN=，
∴S四边形AMNE=S△AMD+S△MDN+S△DEN=++=（0≤t≤2.5）；

(4)
过点M作MK⊥BC于K，，过点C作CS∥MN，交DB延长线于S，

∵∠KBM=60°，
∴∠KMB=90°-60°=30°，
∴BK=，MK=，
∴MC，
∵使N在∠CMD的角平分线上，
∴∠CMN=∠DMN，
∵MN∥CS，
∴∠S=∠DMN，∠SCM=∠CMN，
∴∠S=∠SCM，
∴MS=MC，
∵MN∥CS，
∴
∴即，
整理得：，
两函数的交点，
用描点法画函数图像，
列表
t
0

1
1.145
Y=8t3
0
4
8
12．009
t
1
1.15
1.24

Y=5(3t-5)2
20
12.0125
8.19
0

Y=8t3随t增大而增大，Y=5(3t-5)2在0＜t≤随t的增大而减小，
∴t≈1.148时，两函数值相等，

∴是存在某一时刻t≈1.148时，使N在∠CMD的角平分线上．
【点睛】
本题考查等边三角形性质，平行线判定，三点共线，对顶角，三角形相似，三角形面积函数，勾股定理，角平分线定理，列表法函数式图形，利用图像求方程的解是解题关键．
3、 (1)1，（0，4）
(2)顶点坐标为（1，0），y＝4x2－8x＋4
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据二次函数对称轴公式，以及与y轴的交点坐标公式；
（2）根据二次函数与x轴交点公式，以及待定系数法求解析式；
（3）先求对称点坐标根据函数的增减性解决本题．
(1)
解：，
当x＝0时，y＝ax2－2ax＋4＝4，
所以抛物线的对称轴是直线x＝1，抛物线与y轴的交点坐标是（0，4），
故答案为：1，（0，4）．
(2)
解：∵抛物线的顶点恰好在x轴上，
∴抛物线的顶点坐标为（1，0），
把（1，0）代入y＝ax2－2ax＋4得：0＝a×12－2a×1＋4，
解得：a＝4，
∴抛物线的解析式为y＝4x2－8x＋4．
(3)
解：A（m－1，y1）关于对称轴x＝1的对称点为A′（3－m，y1），
B（m，y2）关于对称轴x＝1的对称点为B′（2－m，y2），
若要y1＞y3＞y2，则3－m＞m＋2＞2－m，解得：．
【点睛】
本题考查二次函数图像求对称轴公式，以及与x轴，y轴的交点公式，以及函数的增减性，掌握数形结合的思想是解决本题的关键．
4、 (1)3
(2)（2，0）和（0，0）
【解析】
【分析】
（1）将（2，0）代入函数表达式，求出a值即可；
（2）根据所得函数表达式，令y=0，求出x值，可得坐标．
(1)
解：∵二次函数y＝a（x﹣1）2﹣3（a≠0）的图象经过点（2，0），
∴0＝a（2-1）2-3，
解得：a=3；
(2)
由（1）可知：二次函数的表达式为y＝3（x-1）2-3，
令y=0，则3（x-1）2-3=0，
解得：x=2或x=0，
∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（0，0）．
【点睛】
本题考查了二次函数的表达式，与x轴的交点问题，解题的关键是求出函数表达式．
5、 (1)，
(2)或
(3)
【解析】
【分析】
（1）对于，当时，，求得，解方程组即可得到结论；
（2）根据，，得到，连接，设的中点为，求得，，得到直线的解析式为，设，解方程即可得到结论；
（3）由（1）知，抛物线的对称轴为直线，根据轴对称的性质得到，，当，，三点共线时，最小，即最小，求得直线的解析式为，把代入即可得到结论．
(1)
解：对于，当时，，
，
抛物线为常数，交轴于点和点，
，
解得，
抛物线的解析式为；
(2)
解：，，
，
连接，设的中点为，

，，
直线的解析式为，
，
点在直线上，
设，
点是抛物线上一点，
，
解得，
点的坐标为，或，；
(3)
解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线，
点与点关于对称，点在直线上，
，，
当，，三点共线时，最小，即最小，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
把代入得，，
，
当最小时，求点的坐标．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式以及二次函数的性质，轴对称最短路线问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式．