初中数学第十一章 因式分解综合与测试同步训练题

冀教版七年级数学下册第十一章 因式分解综合训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列从左到右的变形，是因式分解的是（       ）

A．（x＋4）（x﹣4）＝x2﹣16 B．x2﹣x﹣6＝（x＋3）（x﹣2）

C．x2＋1＝x（x＋） D．a2b＋ab2＝ab（a＋b）

2、把多项式分解因式，其结果是（     ）

A． B．

C． D．

3、下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（       ）

A． B．

C． D．

4、不论x，y取何实数，代数式x2－4x＋y2－6y＋13总是（       ）

A．非负数 B．正数 C．负数 D．非正数

5、下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（       ）

A． B．

C． D．

6、下列各式从左到右进行因式分解正确的是（　　）

A．4a2﹣4a+1＝4a（a﹣1）+1 B．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2

C．x2+y2＝（x+y）2 D．x2﹣4y＝（x+4y）（x﹣4y）

7、下列多项式能使用平方差公式进行因式分解的是（       ）

A． B． C． D．

8、已知实数x，y满足：x2−+2=0，y2−+2=0，则2022|x−y|的值为（       ）

A． B．1 C．2022 D．

9、下列多项式中有因式x﹣1的是（　　）

①x2+x﹣2；②x2+3x+2；③x2﹣x﹣2；④x2﹣3x+2

A．①② B．②③ C．②④ D．①④

10、下列因式分解正确的是（     ）

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、若实数x满足，则______．

2、若实数满足，则___________．

3、分解因式：________．（直接写出结果）

4、计算：_________，_________，_________．分解因式：_________，_________，________．

5、若a－b＝2，a2－b2＝6，则a2＋b2＝______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、分解因式：．

2、（1）计算：；

（2）分解因式：．

3、在因式分解的学习中我们知道对二次三项式可用十字相乘法方法得出，用上述方法将下列各式因式分解：

(1)__________．

(2)__________．

(3)__________．

(4)__________．

4、因式分解：

(1)

(2)

5、问题提出：计算：1＋3＋3（1＋3）＋3（1＋3）2＋3（1＋3）3＋3（1＋3）4＋3（1＋3）5＋3（1＋3）6

问题探究：为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母a代替，原算式化为：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3＋a（1＋a）4＋a（1＋a）5＋a（1＋a）6

然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法：

(1)仿照②，写出将1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3进行因式分解的过程；

(2)填空：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋a（1＋a）3＋a（1＋a）4＝　   　；

发现规律：1＋a＋a（1＋a）＋a（1＋a）2＋…＋a（1＋a）n＝　   　；

问题解决：计算：1＋3＋3（1＋3）＋3（1＋3）2＋3（1＋3）3＋3（1＋3）4＋3（1＋3）5＋3（1＋3）6＝　   　（结果用乘方表示）．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，因此，要确定从左到右的变形中是否为因式分解或者分解因式是否正确，逐项进行判断即可．

【详解】

A、结果不是积的形式，因而不是因式分解；

B、，因式分解错误，故错误；

C、 不是整式，因而不是因式分解；

D、满足因式分解的定义且因式分解正确；

故选：D．

【点睛】

题目主要考查的是因式分解的概念及方法，熟练掌握理解因式分解的定义及方法是解题关键．

2、B

【解析】

【分析】

因为−6×9＝−54，−6＋9＝3，所以利用十字相乘法分解因式即可．

【详解】

解：x2+3x−54＝（x−6）（x＋9）；

故选：B．

【点睛】

本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．

3、C

【解析】

【分析】

根据因式分解的定义判断即可.

【详解】

解：因式分解即把一个多项式化成几个整式的积的形式.

A. ，不是几个整式的积的形式，A选项不是因式分解；

B. ，不是几个整式的积的形式，B选项不是因式分解

C. ，符合因式分解的定义，C是因式分解.      

D. ，不是几个整式的积的形式，D选项不是因式分解；

故选C

【点睛】

本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫因式分解，等号的左边是一个多项式，右边是几个整式的积，正确理解因式分解的定义是解题的关键.

4、A

【解析】

【分析】

先把原式化为，结合完全平方公式可得原式可化为从而可得答案.

【详解】

解：x2－4x＋y2－6y＋13

故选A

【点睛】

本题考查的是代数式的值，非负数的性质，利用完全平方公式分解因式，掌握“”是解本题的关键.

5、A

【解析】

【分析】

根据因式分解的定义逐个判断即可．

【详解】

解：A．是因式分解，故本选项符合题意；

B．等式的左边不是多项式，所以不是因式分解，故本选项不合题意；

C．等式的右边不是几个整式的积的形式，所以不是因式分解，故本选项不合题意；

D．等式的右边不是几个整式的积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；

故选：A．

【点睛】

本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．

6、B

【解析】

【分析】

因式分解是将一个多项式写成几个整式乘积的形式，并且分解要彻底，根据完全平方公式和因式分解的定义逐项分析判断即可

【详解】

解：A. 4a2﹣4a+1＝，故该选项不符合题意；

B. x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，故该选项符合题意；

C. x2+y2（x+y）2，故该选项不符合题意；

D. x2﹣4y（x+4y）（x﹣4y），故该选项不符合题意；

故选B

【点睛】

本题考查了因式分解的定义，完全平方公式因式分解，理解因式分解的定义是解题的关键．

7、B

【解析】

【分析】

根据平方差公式的结构特点，两个平方项，并且符号相反，对各选项分析判断即可求解．

【详解】

解：A、，不能进行因式分解，不符合题意；

B、﹣m2+1＝1﹣m2＝（1+m）（1﹣m），可以使用平方差公式进行因式分解，符合题意；

C、，不能使用平方差公式进行因式分解，不符合题意；

D、，不能进行因式分解，不符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查平方差公式进行因式分解，熟记平方差公式的结构特点是求解的关键．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．

8、B

【解析】

【分析】

利用偶次方的非负性得到x>0，y>0，两式相减，可求得x-y=0，据此即可求解．

【详解】

解：∵x2−+2=0①，y2−+2=0②，

∴x2+2=，y2+2=，

∵x2+20，y2+20，

∴x>0，y>0，

①-②得：x2−-y2+=0，

整理得：(x-y)(x+y+)=0，

∵x>0，y>0，

∴x+y+>0，

∴x-y=0，

∴2022|x−y|=20220=1，

故选：B．

【点睛】

本题考查了因式分解的应用，非负性的应用，由偶次方的非负性得到x>0，y>0是解题的关键．

9、D

【解析】

【分析】

根据十字相乘法把各个多项式因式分解即可判断．

【详解】

解：①x2+x﹣2＝；

②x2+3x+2＝；

③x2﹣x﹣2＝；

④x2﹣3x+2＝．

∴有因式x﹣1的是①④．

故选：D．

【点睛】

本题考查了十字相乘法因式分解，对于形如的二次三项式，若能找到两数，使，且，那么就可以进行如下的因式分解，即．

10、C

【解析】

【分析】

把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据因式分解的定义和方法即可求解．

【详解】

解：A、，错误，故该选项不符合题意；

B、，错误，故该选项不符合题意；

C、，正确，故该选项符合题意；

D、，不能进行因式分解，故该选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

二、填空题

1、2022

【解析】

【分析】

将x2＝2x+1，x2﹣2x＝1代入计算可求解．

【详解】

解：∵x2﹣2x﹣1＝0，

∴x2＝2x+1，x2﹣2x＝1，

∴原式＝2x•x2﹣2x2﹣6x+2020

＝2x（2x+1）﹣2x2﹣6x+2020

＝4x2+2x﹣2x2﹣6x+2020

＝2x2﹣4x+2020

＝2（x2﹣2x）+2020

＝2×1+2020

＝2022．

故答案为：2022

【点睛】

本题主要考查因式分解的应用，适当的进行因式分解，整体代入是解题的关键．

2、

【解析】

【分析】

把原式化为可得再利用非负数的性质求解从而可得答案.

【详解】

解： ，

而

解得：

故答案为：

【点睛】

本题考查的是非负数的性质，利用完全平方公式的变形求解代数式的值，因式分解的应用，熟练的运用完全平方公式是解本题的关键.

3、2（x－a）（4a－2b－3c）

【解析】

【分析】

提出公因式2（x－a）即可求得结果

【详解】

解：2（x－a）（4a－2b－3c）

故答案为：2（x－a）（4a－2b－3c）

【点睛】

本题考查了提公因式法因式分解，正确的找到公因式是解题的关键．

4、                             

【解析】

【分析】

根据幂的乘方运算，负整数指数幂，单项式的除法运算，公式法因式分解，提公因式法因式分解分别计算即可

【详解】

解：计算：，，．

分解因式：，，．

故答案为：；；；；；

【点睛】

本题考查了幂的乘方运算，负整数指数幂，单项式的除法运算，公式法因式分解，提公因式法因式分解，掌握以上运算法则和因式分解的方法是解题的关键．

5、##6.5

【解析】

【分析】

根据平方差公式求出a+b=3，解方程组，求出解代入计算即可．

【详解】

解：∵a－b＝2，a2－b2＝6，a2-b2=(a+b)(a-b)

∴a+b=3，

解方程组，得，

∴a2＋b2＝，

故答案为：．

【点睛】

此题考查了平方差公式的应用，解二元一次方程组，已知字母的值求代数式的值，正确掌握平方差公式是解题的关键．

三、解答题

1、．

【解析】

【分析】

综合利用提公因式法和完全平方公式进行因式分解即可得．

【详解】

解：原式

．

【点睛】

本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的各方法是解题关键．

2、（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）利用乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；

（2）提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．

【详解】

（1）原式

；

（2）原式

．

【点睛】

本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及实数的运算，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

3、 (1)(x-y)(x+6y)

(2)(x-3a)(x-a-2)

(3)(x+a-3b)(x-a-2b)

(4)(20182x2+1)(x-1)

【解析】

【分析】

（1）将-6y2改写成-y·6，然后根据例题分解即可；

（2）将3a2+6a改写成，然后根据例题分解即可；

（3）先化简，将改写，然后根据例题分解即可；

（4）将改写成(2018-1)(2018+1)，变形后根据例题分解即可；

(1)

解：原式=

=(x-y)(x+6y)；

(2)

解：原式=

=(x-3a)(x-a-2)；

(3)

解：原式=

=

=

=(x+a-3b)(x-a-2b)；

(4)

解：原式=

=

=

=(20182x+1)(x-1) ．

【点睛】

本题考查了十字相乘法因式分解，熟练掌握二次三项式可用十字相乘法方法得出是解答本题的关键．

4、 (1)

(2)-4(6a+b)( a+6b)

【解析】

【分析】

（1）用因式分解法分解即可；

（2）用平方差公式分解即可；

(1)

解：

=

=

=；

(2)

解：

=

=

=(5a-5b+7a+7b)(5a-5b-7a-7b)

=(12a+2b)( -2a-12b)

=-4(6a+b)( a+6b) ．

【点睛】

本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．

5、 (1)（1+a）4

(2)（1+a）5；（1+a）n+1；47

【解析】

【分析】

（1）用提取公因式（1+a）一步步分解因式，最后化为积的形式；

（2）通过前面（1）的例子，用提取公因式法（1+a）一步步分解因式，最后化为积的形式，

发现规律：是根据（1）（2）的结果写出结论；

问题解决：通过前面的例子，用提取公因式法（1+3）一步步分解因式，最后化为积的形式．

(1)

解：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3

＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3

＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3

＝（1+a）3+a（1+a）3

＝（1+a）3（1+a）

＝（1+a）4；

(2)

解：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4

＝（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4

＝（1+a）2（1+a）+a（1+a）3+a（1+a）4

＝（1+a）3+a（1+a）3+a（1+a）4

＝（1+a）3（1+a）+a（1+a）4

＝（1+a）4+a（1+a）4

＝（1+a）4（1+a）

＝（1+a）5；

故答案为：（1+a）5；

发现规律：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝（1+a）n+1；

故答案为：（1+a）n+1；

问题解决：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6

＝（1+3）（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6

＝（1+3）2（1+3）+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6

＝（1+3）3（1+3）+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6

＝（1+3）4（1+3）+3（1+3）5+3（1+3）6

＝（1+3）5（1+3）+3（1+3）6

＝（1+3）6（1+3）

＝（1+3）7

＝47．

故答案为：47．

【点睛】

此题考查了数字类运算的规律，提公因式法分解因式，整式的混合运算法则，正确掌握提公因式法分解因式是解题的关键，同时还考查了类比解题的思想．