沪教版 (五四制)七年级下册第十四章 三角形综合与测试练习

沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专题攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，∠A＝α，∠DBC＝3∠DBA，∠DCB＝3∠DCA，则∠BDC的大小为（    ）

A． B． C． D．

2、如图，，AC，BD相交于点O．添加一个条件，不一定能使≌的是（    ）

A． B．

C． D．

3、有两边相等的三角形的两边长为，，则它的周长为（    ）

A． B． C． D．或

4、满足下列条件的两个三角形不一定全等的是（    ）

A．周长相等的两个三角形 B．有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形

C．三边都对应相等的两个三角形 D．两条直角边对应相等的两个直角三角形

5、以下列各组线段为边，能组成三角形的是（    ）

A．3cm，4cm，5cm B．3cm，3cm，6cm C．5cm，10cm，4cm D．1cm，2cm，3cm

6、如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AF＝DC，添加下列条件中的一个仍无法证明△ABC≌△DEF的是（　　）

A．BC＝EF B．AB＝DE C．∠B＝∠E D．∠ACB＝∠DFE

7、将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架具有稳定性.解释这个现象的数学原理是（   ）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS

8、如图，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，补充一个条件后，仍不能判定△ABE≌△ACD的是（    ）

A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BE＝CD D．∠AEB＝∠ADC

9、如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（    ）

A． B． C． D．

10、如图，和全等，且，对应．若，，，则的长为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．无法确定

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图所示，将一个顶角∠B＝30°的等腰三角形ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到等腰三角形AB'C'，使得点B'，A，C在同一条直线上，则旋转角α＝_____度．

2、如图，为△ABC的中线，为△的中线，为△的中线，……按此规律，为△的中线．若△ABC的面积为8，则△的面积为_______________．

3、如图，是等腰直角三角形，AB是斜边，以BC为一边在右侧作等边三角形BCD，连接AD与BC交于点E，则的度数为______度．

4、如图，点C是线段AB的中点，．请你只添加一个条件，使得≌．

（1）你添加的条件是______；（要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）

（2）依据所添条件，判定与全等的理由是______．

5、已知a，b，c是的三边长，满足，c为奇数，则______．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）

1、命题：如图，已知，共线，（1），那么．

（1）从①和②两个条件中，选择一个填入横线，使得上述命题为真命题，你选择的条件为_______（填序号）；

（2）根据你选择的条件，判定的方法是________；

（3）根据你选择的条件，完成的证明．

2、如图，AD是的高，CE是的角平分线．若，，求的度数．

3、如图，在中，，，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点．

（1）求证：；

（2）若，求的度数．

4、如图，四边形中，，，于点．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，延长交的延长线于点，点在上，连接，且，求证：；

（3）如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，交于点，连接，且，当，时，求的长．

5、如图，灯塔B在灯塔A的正东方向，且．灯塔C在灯塔A的北偏东20°方向，灯塔C在灯塔B的北偏西50°方向．

（1）求的度数；

（2）一轮船从B地出发向北偏西50°方向匀速行驶，5h后到达C地，求轮船的速度．

6、如图，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于点D，∠A=50°，求∠BCD的度数．

7、如图，在△ABC中，CE平分∠ACB交AB于点E，AD是△ABC边BC上的高，AD与CE相交于点F，且∠ACB＝80°，求∠AFE的度数．

8、△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，从点A作AE∥BC交BD的延长线于点E．

（1）若∠BAC＝40°，求∠E的度数；

（2）点F是BE上一点，且FE＝BD．取DF的中点H，请问AH⊥BE吗？试说明理由．

9、如图，是等边三角形，D点是BC上一点，，于点E，CE交AD于点P．求的度数．

10、如图，在中，，，点D是内一点，连接CD，过点C作且，连接AD，BE．求证：．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

根据题意设，根据三角形内角和公式定理，进而表示出，进而根据三角形内角和定理根据即可求解

【详解】

解：∵∠A＝α，∠DBC＝3∠DBA，∠DCB＝3∠DCA，设，

∴

即

故选A

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．

2、C

【分析】

直接利用直角三角形全等的判定定理（定理）即可判断选项；先根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形全等的判定定理（定理）即可判断选项；直接利用三角形全等的判定定理（定理）即可判断选项，由此即可得出答案．

【详解】

解：当添加条件是时，

在和中，，

，则选项不符题意；

当添加条件是时，

，

在和中，，

，则选项不符题意；

当添加条件是时，

在和中，，

，则选项不符题意；

当添加条件是时，不一定能使，则选项符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定、等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．

3、D

【分析】

有两边相等的三角形，是等腰三角形，两边分别为和，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．

【详解】

解：当4为底时，其它两边都为5，

4、5、5可以构成三角形，周长为；

当4为腰时，其它两边为4和5，

4、4、5可以构成三角形，周长为．

综上所述，该等腰三角形的周长是或．

故选：D．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题的关键是对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．

4、A

【分析】

根据全等三角形的判定方法求解即可．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS对各选项进行一一判断即可．

【详解】

解：A、周长相等的两个三角形不一定全等，符合题意；

B、有一腰和底边对应相等的两个等腰三角形根据三边对应相等判定定理可判定全等，不符合题意；

C、三边都对应相等的两个三角形根据三边对应相等判定定理可判定全等，不符合题意；

D、两条直角边对应相等的两个直角三角形根据SAS判定定理可判定全等，不符合题意．

故选：A．

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定方法，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)．

5、A

【分析】

三角形的任意两条之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据原理再分别计算每组线段当中较短的两条线段之和，再与最长的线段进行比较，若和大于最长的线段的长度，则三条线段能构成三角形，否则，不能构成三角形，从而可得答案.

【详解】

解： 所以以3cm，4cm，5cm为边能构成三角形，故A符合题意；

所以以3cm，3cm，6cm为边不能构成三角形，故B不符合题意；

所以以5cm，10cm，4cm为边不能构成三角形，故C不符合题意；

所以以1cm，2cm，3cm为边不能构成三角形，故D不符合题意；

故选A

【点睛】

本题考查的是三角形的三边之间的关系，掌握“利用三角形三边之间的关系判定三条线段能否组成三角形”是解本题的关键.

6、A

【分析】

根据AF=DC求出AC=DF，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．

【详解】

解：∵AF=DC，

∴AF+FC=DC+FC，

即AC=DF，

A、BC=EF，AC=DF，∠A=∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；

B、AB=DE，∠A=∠D，AC=DF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；

C．∠B=∠E，∠A=∠D，AC=DF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；

D．∠ACB=∠DFE，AC=DF，∠A=∠D，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；

故选：A．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．

7、A

【分析】

根据三根木条即为三角形的三边长，利用全等三角形判定定理确定唯一三角形即可得．

【详解】

解：三根木条即为三角形的三边长，

即为利用确定三角形，

故选：A．

【点睛】

题目主要考查利用全等三角形判定确定唯一三角形，熟练掌握全等三角形的判定是解题关键．

8、C

【分析】

根据全等三角形的判定定理进行判断即可．

【详解】

解：根据题意可知：AB＝AC，，

若，则根据可以证明△ABE≌△ACD，故A不符合题意；

若AD＝AE，则根据可以证明△ABE≌△ACD，故B不符合题意；

若BE＝CD，则根据不可以证明△ABE≌△ACD，故C符合题意；

若∠AEB＝∠ADC，则根据可以证明△ABE≌△ACD，故D不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解本题的关键．

9、C

【分析】

根据题意，可知仍可辨认的有1条边和2个角，且边为两角的夹边，即可根据来画一个完全一样的三角形

【详解】

根据题意可得，已知一边和两个角仍保留，且边为两角的夹边，

根据两个三角形对应的两角及其夹边相等，两个三角形全等，即

故选C

【点睛】

本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形的判定方法是解题的关键．

10、A

【分析】

全等三角形对应边相等，对应角相等，根据题中信息得出对应关系即可．

【详解】

∵和全等，，对应

∴

∴AB=DF=4

故选：A．

【点睛】

本题考查了全等三角形的概念及性质，应注意①对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系②可以进一步推广到全等三角形对应边上的高相等，对应角的平分线相等，对应边上的中线相等，周长及面积相等③全等三角形有传递性．

二、填空题

1、105

【分析】

利用等腰三角形的性质求出∠BAC，可得结论．

【详解】

解：∵BC＝BA，∠B＝30°，

∴∠C＝∠BAC＝（180°﹣30°）＝75°，

∴旋转角α＝180°﹣∠BAC＝105°，

故答案为：105．

【点睛】

本题考查了等腰三角形性质以及旋转的角度问题，解题的关键是理解旋转角就是对应线段的夹角．

2、

【分析】

根据三角形的中线性质，可得△的面积=，△的面积=，……，进而即可得到答案．

【详解】

由题意得：△的面积=，△的面积=，……，△的面积==．

故答案是：．

【点睛】

本题主要考查三角形的中线的性质，掌握三角形的中线把三角形的面积平分，是解题的关键．

3、75

【分析】

由题意，是等腰三角形，然后求出的度数，再根据三角形的外角性质，即可求出的度数．

【详解】

解：∵是等腰直角三角形，

∴AC=BC，∠ABC=∠BAC=45°，∠ACB=90°，

∵△BCD是等边三角形，

∴BC=CD，∠BCD=60°，

∴AC=CD，∠ACD=90°+60°=150°，

∴是等腰三角形，

∴，

∴，

∴；

故答案为：75．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确的求出．

4、AD=CE（或∠D=∠E或∠ACD=∠B）（答案不唯一）    SAS   

【分析】

（1）由已知条件可得两个三角形有一组对应边相等，一组对应角相等，根据三角形全等的判定方法添加条件即可；

（2）根据添加的条件，写出判断的理由即可．

【详解】

解：（1）添加的条件是：AD=CE（或∠D=∠E或∠ACD=∠B）

故答案为：AD=CE（或∠D=∠E或∠ACD=∠B）

（2）若添加：AD=CE

∵点C是线段AB的中点，

∴AC=BC

∵

∴

∴≌(SAS)

故答案为：SAS

【点睛】

本题主要考查了添加条件判断三角形全等，熟练掌握全等三角形的判断方法是解答本题的关键．

5、7

【分析】

绝对值与平方的取值均0，可知，，可得a、b的值，根据三角形三边关系求出c的取值范围，进而得到c的值．

【详解】

解：

，

由三角形三边关系可得

为奇数

故答案为：7．

【点睛】

本题考查了绝对值、平方的非负性，三角形的三边关系等知识点．解题的关键是确定所求边长的取值范围．

三、解答题

1、

（1）①

（2）SAS

（3）见解析

【分析】

（1）根据全等三角形的判定方法分析得出答案；

（2）根据（1）直接填写即可；

（3）利用SAS进行证明．

（1）

解：∵，

∴∠A=∠F，

∵AC=EF，

∴当时，可根据SAS证明；

当时，不能证明，

故答案为：①；

（2）

解：当时，可根据SAS证明，

故答案为：SAS；

（3）

证明：在△ABC和△FDE中，

，

∴．

【点睛】

此题考查了添加条件证明两个三角形全等，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

2、

【分析】

AD是的高，有；由知；CE是的角平分线可得；，；在中，．

【详解】

解：∵AD是的高

∴

∵

∴

∵CE是的角平分线

∴

∵

∴

∴在中，．

【点睛】

本题考查了角平分线．解题的关键在于正确表示各角度之间的数量关系．

3、（1）见解析；（2）

【分析】

（1）由旋转的性质可得，，再证明，结合 从而可得结论；

（2）由可得，再利用等腰三角形的性质求解，再利用三角形的内角和定理可得答案.

【详解】

证明：（1）∵线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，

∴，，

∵，，

∴，

∴，

∴（SAS），

∴．

（2）解：由（1）知

，，，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握“旋转前后的对应边相等，对应角相等”是解本题的关键.

4、（1）见解析；（2）见解析；（3）2

【分析】

（1）过点B作于点Q，根据AAS证明△得，再证明四边形是矩形得BQ=CG，从而得出结论；

(2) 在GF上截取GH=GE，连接AH，证明AH=FH，GE=GH即可；

(3) 过点A作于点P，在FC上截取，连接，证明得，可证明AC是EH的垂直平分线，再证明和△得可求出，从而可得结论．

【详解】

解：（1）证明：过点B作于点Q，如图1

∵

又，

∴△

∴四边形是矩形

；

（2）在GF上截取GH=GE，连接AH，如图2，

又

（3）过点A作于点P，在FC上截取，连接，如图3，

由（1）、（2）知，，

∵

∴

∵

∴

∴

∴∠

∵

∴∠

∴

∵

∴∠

∴

∴AC是EH的垂直平分线，

∴

∴

又∵

∴

∴∠

∴∠

∵∠，

∴∠

∴

∵

∴

∴

∵∠

∴，即

∴

∵，即

∴

在和中，

∴△

∴

∴

∴

∴

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

5、（1）70°；（2）15km/h

【分析】

（1）根据题意得∠BAC=70°，∠ABC=40°，根据三角形的内角和定理即可求得∠ACB；

（2）根据等腰三角形的判定可得BC=AB=75km，进而由速度=路程÷时间求解即可．

【详解】

解：（1）根据题意得∠BAC=70°，∠ABC=40°，

∴∠ACB=180°－∠BAC－∠ABC=180°－70°－40°=70°；

（2）∵∠BAC=∠ACB=70°，

∴BC=AB=75km，

∴轮船的速度为75÷5=15（km/h）．

【点睛】

本题考查方位角、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理，理解方位角，熟练掌握等腰三角形的等角对等边是解答的关键．

6、25°

【分析】

直接利用等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=65°，进而利用三角形内角和定理得出答案．

【详解】

∵AB=AC，∠A=50°，

∴∠ABC=∠ACB=65°，

∵CD⊥BC于点D，

∴∠BCD的度数为：180°−90°−65°=25°．

【点睛】

此题主要考查了等腰三角形的性质，正确得出∠B的度数是解题关键．

7、∠AFE=50°．

【分析】

根据CE平分∠ACB，∠ACB＝80°，得出∠ECB=，根据高线性质得出∠ADC=90°，根据三角形内角和得出∠DFC=180°-∠ADC-∠ECB=180°-90°-40°=50°，利用对顶角性质得出∠AFE=∠DFC=50°即可．

【详解】

解：∵CE平分∠ACB，∠ACB＝80°，

∴∠ECB=，

∵AD是△ABC边BC上的高，AD⊥BC，

∴∠ADC=90°，

∴∠DFC=180°-∠ADC-∠ECB=180°-90°-40°=50°，

∴∠AFE=∠DFC=50°．

【点睛】

本题考查角平分线定义，垂线性质，三角形内角和，对顶角性质，掌握角平分线定义，垂线性质，三角形内角和，对顶角性质是解题关键．

8、（1）∠E＝35°；（2）AH⊥BE．理由见解析．

【分析】

（1）根据等腰三角形两底角相等，已知顶角，可以求出底角，再根据角平分线的定义求出∠CBD的度数，最后根据两直线平行，内错角相等求出；

（2）由“SAS”可证△ABD≌△AEF，可得AD=AF，由等腰三角形的性质可求解．

【详解】

解：（1）∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠BAC=40°，

∴∠ABC=（180°-∠BAC）=70°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD=∠ABC=35°，

∵AE∥BC，

∴∠E=∠CBD=35°；

（2）∵BD平分∠ABC，∠E=∠CBD，

∴∠CBD=∠ABD=∠E，

∴AB=AE，

在△ABD和△AEF中，

，

∴△ABD≌△AEF（SAS），

∴AD=AF，

∵点H是DF的中点，

∴AH⊥BE．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．

9、

【分析】

由题意易得，，则有，然后可得，进而可证，则有，最后问题可求解．

【详解】

解：∵是等边三角形，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴（SAS），

∴，

∵，

∴．

【点睛】

本题主要考查等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．

10、证明见解析．

【分析】

先根据角的和差可得，再根据三角形全等的判定定理证出，然后根据全等三角形的性质即可得证．

【详解】

证明：，

，

，

，

，

在和中，，

，

．

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．