2020-2021学年第六章 圆周运动2 向心力导学案

向心力

目标体系构建

明确目标·梳理脉络　

【学习目标】

1．知道向心力是根据力的效果命名的，会分析向心力的来源。

2．感受影响向心力大小的因素，通过实验探究它们之间的关系。

3．掌握向心力的表达式，能够计算简单情境中的向心力。

4．知道变速圆周运动和一般曲线运动的分析方法。

【思维脉络】

课前预习反馈

教材梳理·落实新知　

知识点 1　向心力

1．定义：做匀速圆周运动的物体所受的指向__圆心__的力。

2．作用：只改变速度的__方向__。

3．来源：

①向心力是按力的__作用效果__来命名的。

②做匀速圆周运动的物体的向心力是由某个力或者几个力的__合力__提供。

知识点 2　向心力的大小

1．实验探究：

(1)实验仪器：向心力演示器。如图：

(2)探究方法。

2．向心力公式：Fn＝__m__或Fn＝__mω2r__。

知识点 3　变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点

1．变速圆周运动的受力特点

①指向圆心的分力Fn提供__向心力__，改变物体速度的__方向__。

②沿切向方向的分力Ft改变速度的__大小__，与速度方向相同时物体速度__增大__，与速度方向相反时，物体速度__减小__。

2．一般曲线运动的受力特点

①处理方法：可以把一般的曲线分割成许多__很短__的小段，看作一小段圆弧。

②用处理__圆周运动__的方法研究物体在每一小段圆弧上的运动。

思考辨析

『判一判』

(1)做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力。(×)

(2)向心力和重力、弹力一样，都是根据力的性质命名的。(×)

(3)向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力。(√)

(4)向心力的作用是改变物体的速度方向。(√)

(5)变速圆周运动的向心力并不指向圆心。(×)

(6)一般曲线运动中弯曲程度不同的圆弧对应的圆弧半径也不同。(√)

『选一选』

(2021·江苏省响水中学高一期末)如图所示，小物体A与水平圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，则A受力情况是(　C　)

A．重力、支持力

B．重力、向心力

C．重力、支持力、指向圆心的摩擦力

D．重力、支持力、向心力、摩擦力

解析：物体受到重力、支持力、静摩擦力，其中，指向圆心的静摩擦力提供向心力，C正确。

『想一想』

如图所示，用绳子拴着小球转动。如果使小球越转越快，必须用越来越大的力拉住绳子，同时绳子也越来越接近水平。分析一下，绳子可能被拉至水平吗？

解析：不可能。对小球受力分析可知，小球受重力和拉力作用，当小球做匀速圆周运动时，合力指向圆心，所以竖直方向合力为零，拉力的竖直分量和重力相平衡，因此绳子不可能被拉至水平。

课内互动探究

细研深究·破疑解难

探究　探究向心力大小的表达式

┃┃情境导入__■

1．实验原理

向心力演示器如图所示，匀速转动手柄1，可以使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动。皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球分别以几种不同的角速度做匀速圆周运动。小球做匀速圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8，根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。

2．实验步骤

(1)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动半径和转动角速度相同时，探究向心力与小球质量的关系。

(2)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动角速度和质量相同时，探究向心力与转动半径的关系。

(3)皮带套在塔轮2、3半径不同的圆盘上，小球质量和转动半径相同时，探究向心力与角速度的关系。

3．实验结论：在半径和角速度一定的情况下，向心力大小与质量成正比。

在质量和角速度一定的情况下，向心力大小与半径成__正比__ 。

在质量和半径一定的情况下，向心力大小与__角速度的平方__ 成正比。

┃┃典例剖析__■

典题1 (2021·四川省南充高级中学高一月考)如图所示是探究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系的实验装置图，转动手柄1，可使变速轮塔2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动。皮带分别套在轮塔2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球6、7分别以不同的角速度，做匀速圆周运动。小球做圆周运动的向心力由横臂8的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂8的杠杆作用使弹簧测力套筒9下降，从而露出标尺10，标尺10上露出的红白相间的等分格显示出两个球所受向心力的比值。那么：

(1)现将两小球分别放在两边的槽内，为了探究小球受到的向心力大小和角速度的关系，下列说法中正确的是__A__ 。

A．在小球运动半径相等的情况下，用质量相同的小球做实验

B．在小球运动半径相等的情况下，用质量不同的小球做实验

C．在小球运动半径不等的情况下，用质量不同的小球做实验

D．在小球运动半径不等的情况下，用质量相同的小球做实验

(2)当用两个质量相等的小球做实验，且左边小球的轨道半径为右边小球的2倍时，转动时发现右边标尺上露出的红白相间的等分格数为左边的2倍，那么，左边塔轮与右边塔轮之间的角速度之比为__1︰2__ 。

解析：(1)根据F＝mrω2，知要研究小球受到的向心力大小与角速度的关系，需控制小球的质量和半径不变。故A正确，B、C、D错误。

(2)根据F＝mrω2 可知，右边的向心力是左边的2倍，两个质量相等的小球，左边小球的轨道半径为右边小球的2倍，所以左边塔轮与右边塔轮之间的角速度之比为1︰2。

┃┃对点训练__■

1．(多选)(2021·天津市第八中学高一月考)在使用如图所示的向心力演示器探究向心力大小与哪些因素有关的实验中。下列说法正确的是(　AB　)

A．本实验采用的科学方法是控制变量法

B．通过本实验可确定在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比

C．通过本实验可确定在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成反比

D．通过本实验可确定在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成反比

解析：使用向心力演示器研究向心力大小与质量的关系时半径和角速度都不变，研究向心力大小与半径的关系时质量和角速度都不变，研究向心力大小与角速度的关系时半径和质量都不变，所以采用的科学方法是控制变量法，故A正确；根据F＝mω2r知，在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比，故B正确；根据F＝mω2r知，在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比，故C错误；根据F＝mω2r知，在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比，故D错误。

探究　对向心力的理解

┃┃情境导入__■

如图所示，在匀速转动的水平圆盘上有一个相对圆盘静止的物体。

(1)物体需要的向心力由什么力提供？物体所受摩擦力沿什么方向？

(2)当转动的角速度变大后，物体仍与转盘保持相对静止，物体受的摩擦力大小怎样变化？

提示：(1)物体随圆盘转动时受重力、弹力、静摩擦力三个力作用，其中静摩擦力指向圆心提供向心力；

(2)当物体转动的角速度变大后，由Fn＝mω2r可知需要的向心力增大，静摩擦力提供向心力，所以静摩擦力也增大。

┃┃要点提炼__■

1．向心力的作用效果

改变线速度的方向。由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小。

2．向心力的特点

(1)方向时刻在变化，总是与线速度的方向垂直。

(2)在匀速圆周运动中，向心力大小不变，向心力是变力，是一个按效果命名的力。

3．向心力的大小

Fn＝ma＝m＝mrω2＝mωv＝mr

4．向心力的来源

向心力是按力的作用效果命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都可以作为向心力，它可以是重力、弹力等各种性质的力，也可以是它们的合力，还可以是某个力的分力。

当物体做匀速圆周运动时，合外力充当向心力；当物体做变速圆周运动时，合外力指向圆心的分力充当向心力。

5．向心力来源的实例分析

特别提醒

(1)向心力是效果力，由某一个力或者某几个力的合力、某一个力的分力提供，对物体受力分析时不能考虑向心力。

(2)向心力公式Fn＝m或Fn＝mω2r不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动或一般的曲线运动。

┃┃典例剖析__■

典题2　如图所示，圆柱形转筒绕其竖直中心轴转动，小物体贴在圆筒内壁上随圆筒一起转动而不滑落。则下列说法正确的是(　D　)

A．小物体受到重力、弹力、摩擦力和向心力共4个力的作用

B．小物体随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的

C．筒壁对小物体的摩擦力随转速增大而增大

D．筒壁对小物体的弹力随转速增大而增大

思路引导：分析受力→分析各力的效果→确定向心力

解析：小物体随转筒一起做圆周运动，受重力、弹力和静摩擦力共3个力的作用，故选项A错误。水平方向上，弹力指向圆心，提供向心力，据牛顿第二定律有：F N＝mω2r，又ω＝2πn，可知转速越大，角速度越大，小物体所受的弹力就越大，故选项B错误，D正确；在竖直方向上，小物体所受的重力和静摩擦力平衡，静摩擦力大小不变，故选项C错误。

┃┃对点训练__■

2．(多选)如图所示，用长为L的细线拴住一个质量为m的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，关于小球的受力情况，下列说法正确的是(　BCD　)

A．小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力

B．向心力是细线对小球的拉力和小球所受重力的合力

C．向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力

D．向心力的大小等于mgtan  θ

解析：对小球受力分析可知，小球受到重力、细线的拉力两个力，这两个力的合力提供向心力，也可把拉力分解，拉力的水平分力提供向心力，如图所示，A错误，B、C正确；向心力Fn＝mgtan θ，D正确。

探究　匀速圆周运动的特点及处理方法

┃┃情境导入__■

绳子的一端拴一个重物，用手握住另一端，使重物在光滑的水平面内做匀速圆周运动，请思考：

(1)小球所需的向心力由谁提供？

(2)怎样来求细绳所受的拉力大小？

提示：(1)绳子的拉力提供。

(2)根据牛顿第二定律F＝man来求拉力。

┃┃要点提炼__■

1．匀速圆周运动的特点

线速度大小不变、方向时刻改变；角速度、周期、频率都恒定不变；向心力大小都恒定不变，但方向时刻改变。

2．匀速圆周运动的性质

(1)线速度仅大小不变而方向时刻改变，是变速运动。

(2)向心力仅大小恒定而方向时刻改变，是非匀变速曲线运动。

(3)匀速圆周运动具有周期性，即每经过一个周期物体都要重新回到原来的位置，其运动状态(如v、a大小及方向)也要重复原来的情况。

(4)做匀速圆周运动的物体所受外力的合力大小恒定，方向总是沿半径指向圆心。

3．从动力学角度处理匀速圆周运动的思路和方法

(1)匀速圆周运动问题的解题模型

(2)模型突破

解决匀速圆周运动依据的规律是牛顿第二定律和匀速圆周运动的运动学公式，因此求物体所受的合力，并选择圆周运动的公式是解决这类问题的关键。此外，弄清物体圆形轨道所在的平面，明确圆心和半径也是解题的一个关键环节。

┃┃典例剖析__■

典题3　一质量为m的物体，沿半径为R的半圆形轨道滑行，如图所示，经过最低点时的速度为v，物体与轨道间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则它在最低点时受到的摩擦力大小为(　C　)

A．μmg　　　 B．

C．μm　 D．μm

思路引导：取物体为研究对象，画出受力分析图。找出向心力，根据牛顿第二定律解题。

解析：在最低点由向心力公式得：F N－mg＝m，得F N＝mg＋m，又由摩擦力公式有Ff＝μF N＝μ＝μm，C选项正确。

┃┃对点训练__■

3．如图所示，一圆柱形容器绕其轴线匀速转动，内部有A、B两个物体，均与容器的接触面始终保持相对静止。当转速增大后(A、B与容器接触面间仍相对静止)，下列说法正确的是(　D　)

A．两物体受到的摩擦力都增大

B．两物体受到的摩擦力大小都不变

C．物体A受到的摩擦力增大，物体B受到的摩擦力大小不变

D．物体A受到的摩擦力大小不变，物体B受到的摩擦力增大

解析：容器绕其轴线转动时，两个物体随容器一起转动，以A为研究对象，在水平方向上，容器施加的弹力提供A做圆周运动的向心力；在竖直方向上，重力和静摩擦力平衡，所以当转速增大后，物体A受到的摩擦力大小保持不变；以B为研究对象，水平方向的静摩擦力提供向心力，由Ff＝Fn＝mω2r＝4π2mn2r知其受到的摩擦力随着转速的增大而增大，故D正确。

探究　变速圆周运动与一般曲线的运动

┃┃情境导入__■

用绳拴一沙袋，使沙袋在光滑水平面上做加速圆周运动，如图所示。

(1)分析绳对沙袋的拉力的作用效果；

(2)沙袋的速度大小如何变化？为什么？

提示：(1)绳对沙袋的拉力方向不经过圆心，即不与沙袋的速度方向垂直，而是与沙袋的速度方向成一锐角θ，如题图所示，拉力F有两个作用效果，一是改变线速度的大小，二是改变线速度的方向；

(2)由于拉力F沿切线方向的分力与v一致，故沙袋的速度增大。

┃┃要点提炼__■

1．一般的曲线运动

运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，称为一般的曲线运动，如图所示。

2．处理方法

①将曲线分割成许多极短的小段，每一小段曲线都可以看作一小段圆弧，这样，物体在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分。通常这些圆弧的弯曲程度是不一样的，我们用曲率半径来表示圆弧的弯曲程度。②将物体所受的合外力沿曲线的切线方向和法线方向进行分解，沿切线方向的分力使物体产生切向加速度，使物体加速或减速；沿法线方向的分力使物体产生向心加速度，此时有Fn＝m＝mω2r。

3．匀速圆周运动与变速圆周运动的比较：

┃┃典例剖析__■

典题4 (2021·四川省资阳中学高一下学期期中)一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图(a)所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作A点的曲率圆，其半径ρ叫作A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图(b)所示。则在其轨迹最高点P处的曲率半径是(　C　)

A．　　　 B．

C．　　　　 D．

思路引导：应用运动的合成与分解知识及圆周运动规律求解，充分体会一般的曲线运动的处理方法。

解析：根据运动的分解，物体在最高点的速度等于水平分速度，即为v0cos α，在最高点看成是向心力为重力的圆周运动的一部分，则mg＝m，ρ＝，C项正确。

┃┃对点训练__■

4．狗拉雪橇沿位于水平面内的圆弧形道路匀速率行驶，下列给出的四个关于雪橇受到的牵引力F及摩擦力Ff的示意图(图中O为圆心)正确的是(　C　)

解析：滑动摩擦力的方向与相对运动方向相反，雪橇做匀速圆周运动，合力应该指向圆心，可知C正确，A、B、D错误。

易错辨析警示

以题说法·释疑解惑　

易错点：对向心力及圆周运动的理解不透彻而致错

案例 有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示，长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ。不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系。

易错分析：误认为向心力公式F＝m中的r是Lsin θ，实际上向心力公式中的r是指做圆周运动的物体的轨道半径，本题中轨道半径应为r＋Lsin θ。

正确解答：对座椅进行受力分析，如图所示。

y轴方向上：Fcos θ＝mg  ①

x轴方向上：Fsin θ＝mω2(r＋Lsin θ)  ②

则由得tan θ＝

因此ω＝。

答案：ω＝

素养警示

在应用公式F＝m时，应注意公式中各物理量的含义，m是指做圆周运动的物体的质量，v是做圆周运动的物体的线速度，r是指做圆周运动的物体运动的圆轨道半径，在实际应用中，应特别注意速度v和轨道半径r的确定。

课堂达标检测

沙场点兵·名校真题　

1．(2021·吉林松原市高一月考)关于向心力，下列说法正确的是(　B　)

A．做圆周运动的物体所受的合力一定是向心力

B．向心力只改变线速度的方向，不改变速度的大小

C．物体除受其他的力外还要受到一个向心力的作用

D．做匀速圆周运动的物体所受向心力不变

解析：非匀速圆周运动，合外力指向圆心的分量提供向心力，故A错误；圆周运动的向心力的方向始终指向圆心，与速度方向垂直，只改变速度的方向，不改变速度的大小，故B正确；向心力是做圆周运动需要的力，是效果力，受力分析时，不能说物体受到向心力作用，故C错误；做匀速圆周运动物体，向心力大小不变，方向时刻改变，故D错误。

2．(2021·湖南省常德市临澧县第一中学月考)质点沿半径为r的圆周做匀速圆周运动，其向心力的大小为F，当使它的半径不变，使角速度增大到原来的2倍时，其向心力的大小比原来增大15 N，求原来的向心力F的大小为(　D　)

A．25 N　 B．10 N

C．15 N　 D．5 N

解析：根据圆周运动向心力公式有F＝mrω2，则F′＝mr(2ω)2＝15＋F，解得F＝5 N。D正确，A、B、C错误。

3．(多选)(2021·广西玉林市博白中学高一月考)如图所示，一辆汽车正通过一段弯道公路，视汽车做匀速圆周运动，则(　BC　)

A．该汽车向心力恒定不变

B．汽车左右两车灯的角速度大小相等

C．若速率不变，则跟公路外道相比，汽车在内道行驶时所受的向心力较大

D．若速率不变，则跟晴天相比，雨天路滑时汽车在同车道上行驶时所受的向心力较小

解析：向心力是矢量，方向时刻变化，A错误；汽车整体的角速度相等，左右两个灯的角速度相同，B正确；若汽车以恒定的线速度大小转弯，根据Fn＝m，在内轨道时转弯半径小，故在内轨道时向心力大，C正确；根据Fn＝m，知向心力不会因为天气而变化，只是雨天路面较滑，最大静摩擦力减小，D错误。