数学八年级下册第十五章 四边形综合与测试同步练习题

京改版八年级数学下册第十五章四边形专题练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、若一个正多边形的每一个外角都等于36°，则这个正多边形的边数是（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10

2、如图，已知是平分线上的一点，，，是的中点，，如果是上一个动点，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

3、如图，以O为圆心，长为半径画弧别交于A、B两点，再分别以A、B为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点C，分别连接、，则四边形一定是（    ）

A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形

4、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

5、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（　　）

A．180° B．360°

C．540° D．不能确定

6、下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（    ）

A．圆 B．平行四边形 C．直角三角形 D．等边三角形

7、如图是用若干个全等的等腰梯形拼成的图形，下列说法错误的是（    ）

A．梯形的下底是上底的两倍 B．梯形最大角是

C．梯形的腰与上底相等 D．梯形的底角是

8、下列图形中，是中心对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

9、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

10、下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、若一个n边形的每个内角都等于135°，则该n边形的边数是____________．

2、正方形的一条对角线长为4，则这个正方形面积是_________．

3、如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，E为BC边上一动点，F、G为AD边上两个动点，且∠FEG＝30°，则线段FG的长度最大值为 _____．

4、一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还多180°，则它是________边形．

5、如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝45°，AD＝8，E、H分别为边AB、CD上一点，将▱ABCD沿EH翻折，使得AD的对应线段FG经过点C，若FG⊥CD，CG＝4，则EF的长度为 _____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．点E恰是CD的中点．

求证：（1）△ADE≌△FCE；

（2）BE⊥AF．

2、综合与实践

（1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 　   　．

（2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．

（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 　   　．

3、如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，点E是边BC延长线上一点，连接AE、DE，过点C作CF⊥DE于点F，且DF＝EF．

（1）求证：AD＝CE．   

（2）若CD＝5，AC＝6，求△AEB的面积．

4、如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，连接BD，ED，EB．求证：∠1＝∠2．

5、如图，中，．

（1）作点A关于的对称点C；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）所作的图中，连接，，连接，交于点O．求证：四边形是菱形．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【分析】

根据多边形外角和定理求出正多边形的边数．

【详解】

∵正多边形的每一个外角都等于36°，

∴正多边形的边数＝＝10．

故选：D．

【点睛】

本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．

2、C

【分析】

根据题意由角平分线先得到是含有角的直角三角形，结合直角三角形斜边上中线的性质进而得到OP，DP的值，再根据角平分线的性质以及垂线段最短等相关内容即可得到PC的最小值．

【详解】

解：∵点P是∠AOB平分线上的一点，，

∴，

∵PD⊥OA，M是OP的中点，

∴，

∴

∵点C是OB上一个动点

∴当时，PC的值最小，

∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，

∴最小值，

故选C．

【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质、含有角的直角三角形的选择，直角三角形斜边上中线的性质、垂线段最短等相关内容，熟练掌握相关性质定理是解决本题的关键．

3、B

【分析】

根据题意得到，然后根据菱形的判定方法求解即可．

【详解】

解：由题意可得：，

∴四边形是菱形．

故选：B．

【点睛】

此题考查了菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．菱形的判定定理：①四条边都相等四边形是菱形；②一组邻边相等的平行四边形是菱形；③对角线垂直的平行四边形是菱形．

4、D

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．

【详解】

解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；

D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意．

故选D．

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

5、B

【分析】

设BE与DF交于点M，BE与AC交于点N，根据三角形的外角性质，可得 ，再根据四边形的内角和等于360°，即可求解．

【详解】

解：设BE与DF交于点M，BE与AC交于点N，

∵ ，

∴ ，

∵，

∴ ．

故选：B

【点睛】

本题主要考查了三角形的外角性质，多边形的内角和，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；四边形的内角和等于360°是解题的关键．

6、A

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

解：A．圆既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；

B．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．直角三角形既不是中心对称图形，也不一定是轴对称图形，不符合题意；
D．等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．

【点睛】

本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．

7、D

【分析】

如图（见解析），先根据平角的定义可得，再根据可求出，由此可判断选项；先根据等边三角形的判定与性质可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，然后根据菱形的判定可得四边形是菱形，根据菱形的性质可得，最后根据线段的和差、等量代换可得，由此可判断选项．

【详解】

解：如图，，

，

，

，

梯形是等腰梯形， 

，

则梯形最大角是，选项B正确；

没有指明哪个角是底角，

梯形的底角是或，选项D错误；

如图，连接，

，

是等边三角形，

，

，

点共线，

，

，

，

四边形是平行四边形，

，

，

，

，，

四边形是菱形，

，

，，选项A、C正确；

故选：D．

【点睛】

本题考查了等腰梯形、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各判定与性质是解题关键．

8、B

【分析】

根据中心对称图形的定义求解即可．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，不符合题意；

B、是中心对称图形，符合题意；

C、不是中心对称图形，不符合题意；

D、不是中心对称图形，不符合题意．

故选：B．

【点睛】

此题考查了中心对称图形，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的定义．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．

9、C

【分析】

根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选C．

【点睛】

本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

10、A

【分析】

中心对称图形是指绕一点旋转180°后得到的图形与原图形能够完全重合的图形，由此判断即可．

【详解】

解：根据中心对称图形的定义，可知A选项的图形为中心对称图形，

故选：A．

【点睛】

本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的基本定义是解题关键．

二、填空题

1、8

【分析】

根据题意求得多边形的外角，根据360度除以多边形的外角即可求得n边形的边数

【详解】

解：∵一个n边形的每个内角都等于135°，

∴则这个n边形的每个外角等于

该n边形的边数是

故答案为：

【点睛】

本题考查了多边形的内角与外角的关系，求得多边形的外角是解题的关键．

2、8

【分析】

正方形边长相等设为，对角线长已知，利用勾股定理求解边长的平方，即为正方形的面积．

【详解】

解：设边长为，对角线为

故答案为：．

【点睛】

本题考察了正方形的性质以及勾股定理．解题的关键在于求解正方形的边长．

3、

【分析】

如图所示，在中，FG边的高为AB=2，∠FEG=30°，为定角定高的三角形，故当E与B点或C点重合，G与D点重合或F与A点重合时，FG的长度最大，则由矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2可知，∠ABD=60°，故∠ABF=60°-30°=30°，则AF=，则FG=AD-AF=．

【详解】

如图所示，在中，FG边的高为AB=2，∠FEG=30°，为定角定高的三角形

故当E与B点或C点重合，G与D点重合或F与A点重合时，FG的长度最大

∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2

∴∠ABD=60°

∴∠ABF=60°-30°=30°

∴AF=

∴FG=AD-AF=．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了四边形中动点问题，图解法数学思想依据是数形结合思想． 它的应用能使复杂问题简单化、 抽象问题具体化． 特殊四边形的几何问题， 很多困难源于问题中的可动点． 如何合理运用各动点之间的关系，同学们往往缺乏思路， 常常导致思维混乱．实际上求解特殊四边形的动点问题，关键是是利用图解法抓住它运动中的某一瞬间，寻找合理的代数关系式， 确定运动变化过程中的数量关系， 图形位置关系， 分类画出符合题设条件的图形进行讨论， 就能找到解决的途径， 有效避免思维混乱．

4、七

【分析】

根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可求解．

【详解】

解：设多边形的边数为n，则
（n-2）•180°-2×360°=180°，
解得n=7．
故答案为：七．

【点睛】

本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理列出方程是解题的关键．

5、

【分析】

延长CF与AB交于点M，由平行四边形的性质得BC长度，GM⊥AB，由折叠性质得GF，∠EFM，进而得FM，再根据△EFM是等腰直角三角形，便可求得结果．

【详解】

解：延长CF与AB交于点M，

∵FG⊥CD，AB∥CD，

∴CM⊥AB，

∵∠B=45°，BC=AD=8，

∴CM=4，

由折叠知GF=AD=8，

∵CG=4，

∴MF=CM-CF=CM-（GF-CG）=4-4，

∵∠EFC=∠A=180°-∠B=135°，

∴∠MFE=45°，

∴EF=MF=（4-4）=8-4．

故答案为：8-4．

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，解直角三角形的应用，关键是作辅助线构造直角三角形．

三、解答题

1、（1）见解析；（2）见解析．

【分析】

（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠D＝∠ECF，则可证明△ADE≌△FCE（ASA）；

（2）由平行四边形的性质证出AB＝BF，由全等三角形的性质得出AE＝FE，由等腰三角形的性质可得出结论．

【详解】

证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠D＝∠ECF，

∵E为CD的中点，

∴ED＝EC，

在△ADE和△FCE中，

，

∴△ADE≌△FCE（ASA）；

（2）∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB＝CD，AD∥BC，

∴∠FAD＝∠AFB，

又∵AF平分∠BAD，

∴∠FAD＝∠FAB．

∴∠AFB＝∠FAB．

∴AB＝BF，

∵△ADE≌△FCE，

∴AE＝FE，

∴BE⊥AF．

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．

2、（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN，理由见解析；（3）MN=CN-AM，理由见解析

【分析】

（1）把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，可得到点M'、C、N三点共线，再由∠MBN=45°，可得∠M'BN=∠MBN，从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解；

（2）把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，由∠A+∠C＝180°，可得点M'、C、N三点共线，再由∠MBN＝∠ABC，可得到∠M'BN=∠MBN，从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解；

（3）在NC上截取C M'=AM，连接B M'，由∠ABC+∠ADC＝180°，可得∠BAM=∠C，再由AB＝BC，可证得△ABM≌△CB M'，从而得到AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，进而得到∠MA M'=∠ABC，再由∠MBN＝∠ABC，可得∠MBN＝∠M'BN，从而得到△NBM≌△NBM'，即可求解．

【详解】

解：（1）如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，

在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC    ，

∴∠BCM'+∠BCD=180°，

∴点M'、C、N三点共线，

∵∠MBN=45°，

∴∠ABM+∠CBN=45°，

∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°，

即∠M'BN=∠MBN，

∵BN=BN，

∴△NBM≌△NBM'，

∴MN= M'N，

∵M'N= M'C+CN，

∴MN= M'C+CN=AM+CN；

（2）MN=AM+CN；理由如下：

如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，

∵∠A+∠C＝180°，

∴∠BCM'+∠BCD=180°，

∴点M'、C、N三点共线，

∵∠MBN＝∠ABC，

∴∠ABM+∠CBN=∠ABC＝∠MBN，

∴∠CBN+∠M'BC =∠MBN，即∠M'BN=∠MBN，

∵BN=BN，

∴△NBM≌△NBM'，

∴MN= M'N，

∵M'N= M'C+CN，

∴MN= M'C+CN=AM+CN；

（3）MN=CN-AM，理由如下：

如图，在NC上截取C M'=AM，连接B M'，

∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，

∴∠C+∠BAD=180°，

∵∠BAM+∠BAD=180°，

∴∠BAM=∠C，

∵AB＝BC，

∴△ABM≌△CB M'，

∴AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，

∴∠MA M'=∠ABC，

∵∠MBN＝∠ABC，

∴∠MBN＝∠MA M'=∠M'BN，

∵BN=BN，

∴△NBM≌△NBM'，

∴MN= M'N，

∵M'N=CN-C M'， 

∴MN=CN-AM．

故答案是：MN=CN-AM．

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，图形的旋转，根据题意做适当辅助线，得到全等三角形是解题的关键．

3、（1）见解析；（2）39

【分析】

（1）首先根据CF⊥DE，DF＝EF得出CF为DE的中垂线，然后根据垂直平分线的性质得到CD＝CE，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD＝AD，即可证明AD＝CE；

（2）由（1）得CD＝CE=AB=5，由勾股定理求出BC，然后结合三角形的面积公式进行计算．

【详解】

（1）证明：∵DF＝EF 

∴点F为DE的中点

又∵CF⊥DE 

∴CF为DE的中垂线

∴CD＝CE

又∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

CD是斜边AB上的中线

∴CD＝=AD

∴AD＝CE

（2）解：由（1）得CD＝CE==5

∴AB=10 

∴在Rt△ABC中，BC==8

∴EB=EC+BC=13

∴ ．

【点睛】

此题考查了垂直平分线的判定和性质，直角三角形性质，三角形面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定和性质，直角三角形性质，三角形面积公式．

4、见解析

【分析】

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形的性质即可证明．

【详解】

解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴△ABC和△ADC是直角三角形，

∵点E是AC的中点，

∴EB＝AC，ED＝AC，

∴EB＝ED，

∴∠1＝∠2．

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

5、（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）作BD的垂直平分线，再截取即可；

（2）先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质可得：，依据菱形的判定定理即可证明．

【详解】

（1）解：如图所示，作BD的垂直平分线，再截取，点即为所求．

（2）证明：如图所示：

∵，，

∴，

在与中，

，

∴；

∴，

又∵，

∴四边形是菱形．

【点睛】

本题考查了尺规作图和菱形的证明，解题关键是熟练运用尺规作图方法和菱形的判定定理进行作图与证明．