北京课改版八年级下册第十五章 四边形综合与测试巩固练习

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京改版八年级数学下册第十五章四边形章节测试 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知正多边形的一个外角等于45°，则该正多边形的内角和为（　　）A．135° B．360° C．1080° D．1440°2、如图，在中，∠ACB＝90°，AB＝10，CD是AB边上的中线，则CD的长是（    ）A．20 B．10 C．5 D．23、下列图形中，是中心对称图形的是（    ）A． B． C． D．4、下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有几个（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5、菱形ABCD的周长是8cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线BD的长是（　　）A．cm B．2cm C．1cm D．2cm6、下列四个图形中，为中心对称图形的是（　　）A．  B． C．  D．7、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）A． B． C． D．8、下列图形中，是中心对称图形的是（　　）A． B．C． D．9、勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理：以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形ACHI的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，长方形AKJD的面积为S3，长方形KJEB的面积为S4，下列结论：①BI＝CD；②2S△ACD＝S1；③S1＋S4＝S2＋S3；④＋＝．其中正确的结论有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10、平面直角坐标系内与点P关于原点对称的点的坐标是（     ）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、菱形的对角线之比为3：4，且面积为24，则它的对角线分别为________．2、如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为________．3、如图，正方形ABCD的面积为18，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 _____．4、如图，在长方形ABCD中，．在DC上找一点E，沿直线AE把折叠，使D点恰好落在BC上，设这一点为F，若的面积是54，则的面积=______________．5、将△ABC纸片沿DE按如图的方式折叠．若∠C＝50°，∠1＝85°，则∠2等于______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝90°．（1）尺规作图：在BC上截取CE，使CE＝CD，连接DE与AC交于点F，过点F作线段AD的垂线交AD于点M；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，猜想线段FM和CF的数量关系，并证明你的结论．2、已知：如图，在中，，，．求证：互相平分．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，且已知AB=8，BC=4（1）判断△ACF的形状，并说明理由；（2）求△ACF的面积；3、△ABC为等边三角形，AB＝4，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝．以AE为边在直线AD右侧构造等边△AEF．连结CE，N为CE的中点．（1）如图1，EF与AC交于点G，①连结NG，求线段NG的长；②连结ND，求∠DNG的大小．（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α．M为线段EF的中点．连结DN、MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论．4、如图，在中，AD＞AB，∠ABC的平分线交AD于点F，EFAB交BC于点E．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB=5，AE=6，的面积为36，求DF的长．5、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，求BD的长． -参考答案-一、单选题1、C【分析】先利用正多边形的每一个外角为 求解正多边形的边数，再利用正多边形的内角和公式可得答案.【详解】解： 正多边形的一个外角等于45°， 这个正多边形的边数为： 这个多边形的内角和为： 故选C【点睛】本题考查的是正多边形内角和与外角和的综合，熟练的利用正多边形的外角的度数求解正多边形的边数是解本题的关键.2、C【分析】由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出CD的长．【详解】解：∵在中，，AB=10，CD是AB边上的中线故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．3、B【分析】根据中心对称图形的定义求解即可．【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；B、是中心对称图形，符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意．故选：B．【点睛】此题考查了中心对称图形，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的定义．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．4、A【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：第一个图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；第四个图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；既是中心对称图形又是轴对称图形的只有1个，故选：A．【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5、B【分析】由菱形的性质得AB＝BC＝2（cm），OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再证△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝2（cm），则OA＝1（cm），然后由勾股定理求出OB＝（cm），即可求解．【详解】解：∵菱形ABCD的周长为8cm，∴AB＝BC＝2（cm），OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝2cm，∴OA＝1（cm），在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝＝＝（cm），∴BD＝2OB＝2（cm），故选：B．【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定方法．6、B【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【详解】解：选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；选项A、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；故选：B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．7、C【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．8、A【分析】把一个图形绕某点旋转后能与自身重合，则这个图形是中心对称图形，根据中心对称图形的定义逐一判断即可.【详解】解：选项A中的图形是中心对称图形，故A符合题意；选项B中的图形不是中心对称图形，故B不符合题意；选项C中的图形不是中心对称图形，故C不符合题意；选项D中的图形不是中心对称图形，故D不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解本题的关键.9、C【分析】根据SAS证△ABI≌△ADC即可得证①正确，过点B作BM⊥IA，交IA的延长线于点M，根据边的关系得出S△ABI＝S1，即可得出②正确，过点C作CN⊥DA交DA的延长线于点N，证S1＝S3即可得证③正确，利用勾股定理可得出S1+S2＝S3+S4，即能判断④不正确．【详解】解：①∵四边形ACHI和四边形ABED都是正方形，∴AI＝AC，AB＝AD，∠IAC＝∠BAD＝90°，∴∠IAC+∠CAB＝∠BAD+∠CAB，即∠IAB＝∠CAD，在△ABI和△ADC中，，∴△ABI≌△ADC（SAS），∴BI＝CD，故①正确；②过点B作BM⊥IA，交IA的延长线于点M，∴∠BMA＝90°，∵四边形ACHI是正方形，∴AI＝AC，∠IAC＝90°，S1＝AC2，∴∠CAM＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CAM＝∠BMA＝90°，∴四边形AMBC是矩形，∴BM＝AC，∵S△ABI＝AI•BM＝AI•AC＝AC2＝S1，由①知△ABI≌△ADC，∴S△ACD＝S△ABI＝S1，即2S△ACD＝S1，故②正确；③过点C作CN⊥DA交DA的延长线于点N，∴∠CNA＝90°，∵四边形AKJD是矩形，∴∠KAD＝∠AKJ＝90°，S3＝AD•AK，∴∠NAK＝∠AKC＝90°，∴∠CNA＝∠NAK＝∠AKC＝90°，∴四边形AKCN是矩形，∴CN＝AK，∴S△ACD＝AD•CN＝AD•AK＝S3，即2S△ACD＝S3，由②知2S△ACD＝S1，∴S1＝S3，在Rt△ACB中，AB2＝BC2+AC2，∴S3+S4＝S1+S2，又∵S1＝S3，∴S1+S4＝S2+S3，  即③正确；④在Rt△ACB中，BC2+AC2＝AB2，∴S3+S4＝S1+S2，∴，故④错误；综上，共有3个正确的结论，故选：C．【点睛】本题主要考查勾股定理，正方形的性质，矩形性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定和性质是解题的关键．10、C【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数求解即可．【详解】解：由题意，得点P（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3），故选：C．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．二、填空题1、6和8【分析】根据比例设两条对角线分别为3x、4x，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半列式求出x的值即可．【详解】解：设两条对角线分别为3x、4x，根据题意得，×3x•4x=24，解得x=2（负值舍去），∴菱形的两对角线的长分别为，．故答案为：6和8．【点睛】本题考查了菱形的面积，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，菱形的面积的求法，需熟记．2、【分析】根据题意连接BE，连接AE交FG于O，如图，利用菱形的性质得△BDC为等边三角形，∠ADC=120°，再在在Rt△BCE中计算出BE=CE=，然后证明BE⊥AB，利用勾股定理计算出AE，从而得到OA的长；设AF=x，根据折叠的性质得到FE=FA=x，在Rt△BEF中利用勾股定理得到（2-x）2+（）2=x2，解得x，然后在Rt△AOF中利用勾股定理计算出OF，再利用余弦的定义求解即可．【详解】解：连接BE，连接AE交FG于O，如图，
∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，
∴△BDC为等边三角形，∠ADC=120°，
∵E点为CD的中点，
∴CE=DE=1，BE⊥CD，
在Rt△BCE中，BE=CE=，
∵AB∥CD，
∴BE⊥AB，
∴．
∴，
设AF=x，
∵菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，
∴FE=FA=x，
∴BF=2-x，
在Rt△BEF中，（2-x）2+（）2=x2，解得:，
在Rt△AOF中，，
∴．
故答案为: ．【点睛】本题考查了折叠的性质以及菱形的性质，注意掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、【分析】由正方形的对称性可知，PB＝PD，当B、P、E共线时PD+PE最小，求出BE即可．【详解】解：∵正方形中B与D关于AC对称，∴PB＝PD，∴PD+PE＝PB+PE＝BE，此时PD+PE最小，∵正方形ABCD的面积为18，△ABE是等边三角形，∴BE＝3，∴PD+PE最小值是3，故答案为：3．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．4、6【分析】根据三角形的面积求出BF，利用勾股定理列式求出AF，再根据翻折变换的性质可得AD=AF，然后求出CF，设DE=x，表示出EF、EC，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列方程求解和三角形的面积公式解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD=9，BC=AD∵•AB•BF＝54，∴BF=12．             在Rt△ABF中，AB=9，BF=12，由勾股定理得，． ∴BC=AD=AF=15，∴CF=BC-BF=15-12=3．设DE=x，则CE=9-x，EF=DE=x．则x2=（9-x）2+32，解得，x=5．∴DE=5．     ∴EC=DC-DE=9-5=4．     ∴△FCE的面积=×4×3=6．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，三角形的面积，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．5、【分析】利用三角形的内角和定理以及折叠的性质，求出，，利用四边形内角和为，即可求出∠2．【详解】解：在中，，在中，， 由折叠性质可知： ，四边形的内角和为，，，， ， ，，且∠1＝85°，，故答案为：．【点睛】本题主要是考查了三角形和四边形的内角和定理，熟练利用三角形内角和定理，求出两角之和，最后利用四边形的内角和求得某角的度数，这是解决该题的关键．三、解答题1、（1）图形见解析；（2），证明见解析【分析】（1）以C为圆心CD长为半径画弧于BC交点即为E；连DE与AC交点即为F；过F作AD的垂直平分线与AD交点即为M；（2）证明DF平分，再利用角平分线的性质判定即可．【详解】（1）图形如下：（2），证明如下：由（1）可得：,CE＝CD∴∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AB∥CD∴,∴即DF平分∵∠BAC＝90°∴∴【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质．2、证明见解析【分析】连接,由三角形中位线定理可得，，可证四边形ADEF是平行四边形，由平行四边形的性质可得AE，DF互相平分；【详解】
 证明：连接,∵AD＝DB，BE＝EC，∴，∵BE＝EC，AF＝FC，∴，∴四边形ADEF是平行四边形，∴AE，DF互相平分．【点睛】本题考查了平行四边形的性质判定和性质及三角形中位线定理，灵活运用这些性质是解题的关键．(1)△ACF是等腰三角形，理由见解析；(2)10；(3)3、（1）①；②；（2）的大小是定值，证明见解析．【分析】（1）①先根据等边三角形的性质、勾股定理可得，从而可得，再利用勾股定理可得，然后根据等边三角形的性质可得，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得；②先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据四边形的内角和即可得；（2）连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据三角形中位线定理可得，然后根据三角形的外角性质、角的和差即可得出结论．【详解】解：（1）①∵是等边三角形，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵是等边三角形，，，∴，即，又∵点为的中点，∴；②如图，连接，由（1）①知，，∵，点为的中点，∴，，，∴；（2）的大小是定值，证明如下：如图，连接，∵和都是等边三角形，∴，∴，即，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵点为的中点，点为的中点，∴，∴，∵，即点是的中点，∴，∴，∵，∴，∴的大小为定值．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形中位线定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和利用到三角形中位线定理是解题关键．4、（1）见解析；（2）2.5．【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线的性质说明∠ABF=∠AFB、可得AB=AF，同理可得AB=AF，再由AF∥BE可得四边形ABEF是菱形；（2）过A作AH⊥BE垂足为E，根据菱形的性质可得AO=EO、BO=FO，AF=EF=AB=5，AE⊥BF，利用勾股定理可得AO的长，进而可得AE长，利用菱形的面积公式计算出AH的长，然后根据ABCD的面积公式求出AD,最后根据线段的和差即可解答．【详解】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，即AF//BE∴∠FBE=∠AFB，∵∠ABC的平分线交AD于点F，∴∠ABF=∠EBF，∴∠ABF=∠AFB，∴AB=AF，又∵AB//EF，AF//BE∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB=AF，∴四边形ABEF是菱形；（2）如图：过A作AH⊥BE垂足为H，∵四边形ABCD是菱形，∴AO=EO，BO=FO，AF=AB=5，AE⊥BF，∵AE=6，∴AO=3，∴BO= ∴BF=8，∴S菱形ABEF=AE·BF=×8×6=24，∴BE·AH=24，∴AH=;∵S平行四边形ABCD=BC·AH=36，∴BC=∵平行四边形ABCD∴AD=BC=∴FD=AD-AF=-5=2.5．．【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质以及面积的问题，灵活利用菱形的判定与性质、平行四边形的性质成为解答本题的关键．5、【分析】根据平行四边形的性质可得，，勾股定理求得，，进而求得【详解】解：四边形是平行四边形 AB⊥AC，在中，在中，【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．