数学第十五章 四边形综合与测试练习题

京改版八年级数学下册第十五章四边形定向攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　）

A．AB=BE B．DE⊥DC C．∠ADB=90° D．CE⊥DE

2、在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，使其与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（　　）

A． B． C． D．

3、下列四个图形中，为中心对称图形的是（　　）

A．  B． 

C．  D．

4、平行四边形中，，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

5、下列图形中，是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

6、下图是文易同学答的试卷，文易同学应得（    ）

A．40分 B．60分 C．80分 D．100分

7、下列测量方案中，能确定四边形门框为矩形的是（    ）

A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等

C．测量对角线是否相等 D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等

8、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

9、如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（　　）

A．7 B． C．8 D．9

10、已知中，，，CD是斜边AB上的中线，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，正方形ABCD中，AD＝ ，已知点E是边AB上的一动点（不与A、B重合）将△ADE沿DE对折，点A的对应点为P，当△APB是等腰三角形时，AE＝______ ．（温馨提示：∵ ，∴ ）

2、若一个n边形的每个内角都等于135°，则该n边形的边数是____________．

3、在四边形ABCD中，若AB//CD，BC_____AD，则四边形ABCD为平行四边形．

4、若点P(m﹣1，5)与点Q(﹣3，n)关于原点成中心对称，则m﹣n的值是___．

5、点D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，已知BC＝12，则DE＝_____

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，矩形ABCD中，，，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．

（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．

2、如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋8与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一条直线交x轴正半轴于点C．

（1）写出C点坐标                ；

（2）若M为线段BC上一点，且满足S△AMB ＝ S△AOB，请求出点M的坐标；

（3）如图2，设点F为线段AB中点，点G为y轴正半轴上一动点，连接FG，以FG为边向FG右侧作正方形FGQP，在G点的运动过程中，当顶点Q落在直线BC上时，求出点G的坐标．

3、如图1，在平面直角坐标系中，且；

（1）试说明是等腰三角形；

（2）已知．写出各点的坐标：A(       ，       )，B(       ，       )，C(       ，       )．

（3）在（2）的条件下，若一动点M从点B出发沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．

①若的一条边与BC平行，求此时点M的坐标；

②若点E是边AC的中点，在点M运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出此时点Ｍ的坐标；若不能，请说明理由．

4、如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，求BD的长．

5、如图，已知矩形中，点，分别是，上的点，，且．

（1）求证：；

（2）若，求：的值．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

先证明四边形BCED为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．

【详解】

解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，且AD=BC，

又∵AD=DE，

∴DE∥BC，且DE=BC，

∴四边形BCED为平行四边形，

A、∵AB=BE，DE=AD，

∴BD⊥AE，

∴□DBCE为矩形，故本选项不符合题意；

B、∵DE⊥DC，

∴∠EDB=90°+∠CDB＞90°，

∴四边形DBCE不能为矩形，故本选项符合题意；

C、∵∠ADB=90°，

∴∠EDB=90°，

∴□DBCE为矩形，故本选项不符合题意；

D、∵CE⊥DE，

∴∠CED=90°，

∴□DBCE为矩形，故本选项不符合题意．

故选：B．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识，判定四边形BCED为平行四边形是解题的关键．

2、B

【分析】

利用中心对称图形的定义判断即可．

【详解】

解：根据中心对称图形的定义可知，②满足条件．

故选：．

【点睛】

本题主要考查了利用旋转设计图案和中心对称图形的定义，明确将一个图形绕一点旋转180°后与本身重合的图形叫做中心对称图形是解题的关键．

3、B

【分析】

把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

【详解】

解：选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；

选项A、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．

4、B

【分析】

根据平行四边形对角相等，即可求出的度数．

【详解】

解：如图所示，

∵四边形是平行四边形，

∴，

∴，

∴．

故：B．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．

5、D

【分析】

把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

【详解】

A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：D．

【点睛】

本题考查了中心对称图形的概念，理解概念并知道一些常见的中心对称图形是关键．

6、B

【分析】

分别根据菱形的判定与性质、正方形的判定、矩形的判定与性质进行判断即可．

【详解】

解：（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知（1）是正确的；

（2）根据根据对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形可知（2）是正确的；

（3）根据对角线相等的平行四边形是矩形可知（3）是正确的；

（4）根据菱形的对角线互相垂直，不一定相等可知（4）是错误的；

（5）根据矩形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心，并且矩形的对角线相等且互相平分可知，矩形的对称中心到四个顶点的距离相等是正确的，

∴文易同学答对3道题，得60分，

故选：B．

【点睛】

本题考查菱形的判定与性质、正方形的判定、矩形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解答的关键

7、D

【分析】

由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．

【详解】

解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，

∴对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，

∴选项A不符合题意；

B、∵两组对边分别相等是平行四边形，

∴选项B不符合题意；

C、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，

∴对角线相等的四边形不是矩形，

∴选项C不符合题意；

D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等，

∴对角线互相平分且相等，

∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，

∴选项D符合题意；

故选：D．

【点睛】

本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、解题的关键是熟记矩形的判定定理．

8、D

【详解】

解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
 

B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：D．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

9、C

【分析】

根据直角三角形的性质求出DE，由EF=1，得到DF，再根据三角形中位线定理即可求出线段AC的长．

【详解】

解：∵∠AEB＝90，D是边AB的中点，AB＝6，

∴DE＝AB＝3，

∵EF＝1，

∴DF＝DE+EF＝3+1＝4．

∵D是边AB的中点，点F是边BC的中点，

∴DF是ABC的中位线，

∴AC＝2DF＝8．

故选：C．

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形中位线定理，求出DF的长是解题的关键．

10、B

【分析】

由题意根据三角形的内角和得到∠A=36°，由CD是斜边AB上的中线，得到CD=AD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．

【详解】

解：∵∠ACB=90°，∠B=54°，
∴∠A=36°，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD，
∴∠ACD=∠A=36°.
故选：B．

【点睛】

本题考查直角三角形的性质与三角形的内角和，熟练掌握直角三角形的性质即直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．

二、填空题

1、2

【分析】

当AP=AB时，结合正方形的性质可得AB=AD=AP，由折叠的性质可得AD=DP，推出△APD为等边三角形，得到∠ADE=30°，然后根据勾股定理进行计算；当AP=PB时，过P作PF⊥AB于点F，过P作PG⊥AD于点G，则四边形AFPG为矩形，得到PG=AF，由等腰三角形的性质可得AF=AB，结合正方形以及折叠的性质可得PG=AF=PD，则∠GDP=30°，进而求得∠PEF=30°，设PF=x，则PE=AE=2x，EF=x，然后根据AE+EF=AF=PD进行计算．

【详解】

解：当AP=AB时，

 ∵四边形ABCD为正方形，

 ∴AB=AD，

 ∴AP=AD．

 ∵ 将△ADE沿DE对折， 得到△PDE，

 ∴AD=DP，

 ∴AP=AD=DP，

 ∴△APD为等边三角形，

 ∴∠ADP=60°，

 ∴∠ADE=30°，

 ∴，

∴设，则，

∴在中，，即，

 ∴解得：；

 当AP=PB时，过P作PF⊥AB于点F，过P作PG⊥AD于点G，

 ∵AD⊥AB，

 ∴四边形AFPG为矩形，

 ∴PG=AF．

 ∵AP=PB，PF⊥AB，

 ∴AF=AB=．

 ∵AB=AD=DP，

 ∴PG=AF=PD=，

如图，作DP的中点M，连接GM，

∵

∴

又∵

∴

∴是等边三角形

∴

∵

∴∠GDP=30°．

 ∵∠DAE=∠DPE=90°，∠ADP=30°，

 ∴∠AEP=150°，

 ∴∠PEF=30°．

 设PF=x，则PE=AE=2x，EF=x，

 ∴AE+EF=(2+)x=  ，

 ∴x=2-3，

 ∴AE=4-6．

 故答案为：2或4-6．

【点睛】

此题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定方法．

2、8

【分析】

根据题意求得多边形的外角，根据360度除以多边形的外角即可求得n边形的边数

【详解】

解：∵一个n边形的每个内角都等于135°，

∴则这个n边形的每个外角等于

该n边形的边数是

故答案为：

【点睛】

本题考查了多边形的内角与外角的关系，求得多边形的外角是解题的关键．

3、

【分析】

根据平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可解决问题．

【详解】

解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可知：

∵AB//CD，BC//AD，

∴四边形ABCD为平行四边形．

故答案为：//．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．

4、9

【分析】

根据关于原点对称点的坐标特征求出、的值，再代入计算即可．

【详解】

解：点与点关于原点成中心对称，

，，

即，，

，

故答案为：9．

【点睛】

本题考查关于原点对称的点坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点坐标特征，即纵坐标互为相反数，横坐标也互为相反数．

5、6

【分析】

根据三角形的中位线等于第三边的一半进行计算即可．

【详解】

解：∵D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∵BC=12，

∴DE=BC=6，

故答案为6．

【点睛】

本题主要考查了三角形中位线定理，熟知三角形中位线定理是解题的关键．

三、解答题

1、（1）证明见解析；（2）

【分析】

（1）由题意知，，通过得到，证明四边形BEDF平行四边形．

（2）四边形BEDF为菱形，，；设，；在中用勾股定理，解出的长，在中用勾股定理，得到的长，由得到的值．

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点

∴，

在和中

∴（ASA）

∴

∴四边形BEDF是平行四边形．

（2）解：∵四边形BEDF为菱形，

∴，

又∵，

∴，

设，则

在中，

∴

在中，

∴．

【点睛】

本题考察了平行四边形的判定，三角形全等，菱形的性质，勾股定理．解题的关键与难点在于对平行四边形的性质的灵活运用．

2、（1）点C（6，0）；（2）点；（3）满足条件的点G坐标为或．

【分析】

（1）直接利用直线，令y=0，解方程即可；

（2）结合图形，由S△AMB＝S△AOB 分析出直线OM平行于直线AB，再利用两直线相交建立方程组，解方程组求得交点M的坐标；

（3）分两种情形：①当n＞4时，如图2-1中，点Q落在BC上时，点Q落在BC上时，过G作MN平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，分别交于M，N．求出Q（n-4，n-2）．②当n＜4时，如图2-2中，同法可得Q（4-n，n+2），代入直线BC的解析式解方程即可解决问题．

【详解】

解：（1）∵直线交x轴正半轴于点C．

∴当y=0时，，

解得x=6

∴点C（6，0）

故答案为（6，0）；

（2）连接OM并双向延长，

∵S△AMB＝S△AOB ，

∴点O到AB与点M到AB的距离相等，

∴直线OM平行于直线AB，

∵AB解析式为y＝2x＋8，

故设直线OM解析式为：，

将直线OM的解析式与直线BC的解析式联立得方程组得：

，

解得：

故点；

（3）∵直线y＝2x＋8与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴令y=0，2x＋8=0，

解得x=-4，

∴A（-4，0），

令x=0，则y＝8

∴B（0，8），

∵点F为AB中点，

点F横坐标为，纵坐标为
∴F（-2，4），

设G（0，n），
①当n＞4时，如图2-1中，点Q落在BC上时，过G作MN平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，分别交于M，N．

∵四边形FGQP是正方形，

∴FG=QG，∠FGQ=90°，

∴∠MGF+∠NGQ=180°-∠FGQ=180°-90°=90°，

∵FM⊥MN，QN⊥MN，

∴∠M=∠N=90°，

∴∠MFG+∠MGF=90°，

∴∠MFG=∠NGQ，

在△FMG和△GNQ中，

，

∴△FMG≌△GNQ，
∴MG=NQ=2，FM=GN=n-4，
∴Q（n-4，n-2），

∵点Q在直线上，

∴，

∴,

∴．

②当n＜4时，如图2-2中，

点Q落在BC上时，过G作MN平行于x轴，过点F，Q作该直线的垂线，分别交于M，N．
∵四边形FGQP是正方形，

∴FG=QG，∠FGQ=90°，

∴∠MGF+∠NGQ=180°-∠FGQ=180°-90°=90°，

∵FM⊥MN，QN⊥MN，

∴∠M=∠N=90°，

∴∠MFG+∠MGF=90°，

∴∠MFG=∠NGQ，

在△FMG和△GNQ中，

，

∴△FMG≌△GNQ，
∴MG=NQ=2，FM=GN= 4-n，
∴Q（4- n， n+2），

∵点Q在直线上，

∴，

∴n=-2，
∴．
综上所述，满足条件的点G坐标为或．

【点睛】

本题属于一次函数综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，平行线性质，两直线联立解方程组，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

3、（1）见解析；（2）12，0；-8，0；0，16；（3）①当M的坐标为（2，0）或（4，0）时，△OMN的一条边与BC平行；②当M的坐标为（0，10）或（12，0）或（，0）时，，△MOE是等腰三角形．
 

【分析】

（1）设，，，则，由勾股定理求出，即可得出结论；

（2）由的面积求出m的值，从而得到、、的长，即可得到A、B、C的坐标；

（3）①分当时，；当时，；得出方程，解方程即可；

②由直角三角形的性质得出，根据题意得出为等腰三角形，有3种可能：如果；如果；如果；分别得出方程，解方程即可．

【详解】

解：（1）证明：设，，，则，

在中，，

，

∴是等腰三角形；

（2）∵，，

∴，

∴，，，．

∴A点坐标为（12，0），B点坐标为（-8，0），C点坐标为（0，16），

故答案为：12，0；-8，0；0，16；

（3）①如图3-1所示，

当MN∥BC时，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵MN∥BC，

∴∠AMN=∠ABC，∠ANM=∠ACB，

∴∠AMN=∠ANM，

∴AM=AN，

∴AM=BM，

∴M为AB的中点，

∵，

∴，

∴，

∴点M的坐标为（2，0）；

如图3-2所示，当ON∥BC时，

同理可得，

∴，

∴M点的坐标为（4，0）；

∴综上所述，当M的坐标为（2，0）或（4，0）时，△OMN的一条边与BC平行；
 

②如图3-3所示，当OM=OE时，

∵E是AC的中点，∠AOC=90°，，

∴，

∴此时M的坐标为（0，10）；

如图3-4所示，当时，

∴此时M点与A点重合，

∴M点的坐标为（12，0）；

如图3-5所示，当OM=ME时，过点E作EF⊥x轴于F，

∵OE=AE，EF⊥OA，

∴，

∴，

设，则，

∵，

∴，

解得，

∴M点的坐标为（，0）；

综上所述，当M的坐标为（0，10）或（12，0）或（，0）时，，△MOE是等腰三角形．

【点睛】

本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的直线，三角形面积等等，解题的关键在于能够利用数形结合和分类讨论的思想求解．

4、

【分析】

根据平行四边形的性质可得，，勾股定理求得，，进而求得

【详解】

解：四边形是平行四边形

AB⊥AC，

在中，

在中，

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．

5、（1）见解析；（2）

【分析】

（1）根据矩形的性质得到，由垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；

（2）由已知条件得到，由，即可得到：的值．

【详解】

（1）∵四边形是矩形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

在与中，

，

∴，

∴；

（2）∵，

∴，

∵，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．