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2021-2022学年山东省济南市片区联考九年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年山东省济南市片区联考九年级（上）期末数学试卷 解析版，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省济南市片区联考九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）如图，一个水晶球摆件，它是由一个长方体和一个球体组成的几何体，则其主视图是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）已知3x＝5y（y≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
3．（4分）某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣3，﹣3） C．（2，3） D．（﹣4，6）
4．（4分）如图，△ABC中，点D、E分别为边AB和AC中点，且S△ADE＝3，则S△ABC等于（ ）
A．4 B．8 C．9 D．12
5．（4分）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，估计袋中黑球有（ ）个．
A．8 B．9 C．14 D．15
6．（4分）已知点A（﹣1，y1）、B（﹣3，y2）、C（，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
7．（4分）关于x的方程x2+mx+6＝0的一个根为﹣2，则另一个根是（ ）
A．﹣3 B．﹣6 C．3 D．6
8．（4分）下列命题正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
9．（4分）已知关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0，则下列该方程根的判断，正确的是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．不能确定
10．（4分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+k与y＝（k≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，EF是对角线BD的垂直平分线，则EF的长为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．8cm
12．（4分）如图，Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8．∠BAC＝90°，D，E为AB，AC边上的两个动点，且DE＝6，F为DE中点，则BF+CF的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）一个布袋里装有2个只有颜色不同的球，其中1个红球，1个白球，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸到的球恰好颜色不同的概率是 ．
14．（4分）如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD．且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米．那么该古城墙CD的高度是 米．
15．（4分）如图，在菱形ABCD中，已知AB＝5，AC＝6，那么菱形ABCD的面积为 ．
16．（4分）某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的100元上涨到了121元．设平均每次涨价的百分率为x，则x是 ．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝5，BD＝4，那么BC＝ ．
18．（4分）如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…，Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y＝交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3，…，则B2022的坐标是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）解方程：x2﹣6x+8＝0．
20．（6分）已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠AED＝∠B，AD＝3，AB＝8，AE＝4．求AC的长度．
21．（6分）如图，四边形ACMF、BCNE是两个正方形．求证：AN＝BM．
22．（8分）如图，学校打算用16m的篱笆围成一个长方形ABCD的生物园饲养小兔，生物园的一面AD靠墙（如图，墙长9m），面积是30m2．求生物园的长和宽．
23．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若∠C＝90°，BC＝16，CD＝8，求菱形BNDM的周长．
24．（10分）某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题
（1）这次被调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
25．（10分）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，∠BAD＝∠ACB＝∠AED＝90°，由∠1+∠2+∠BAD＝180°，∠2+∠D+∠AED＝180°，可得∠1＝∠D；又因为∠ACB＝∠AED＝90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到＝ .我们把这个模型称为“一线三等角”模型．
应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且∠APD＝∠B．
①求证：△ABP∽△PCD；
②当点P为BC中点时，求CD的长；
拓展：（3）在（2）的条件下，如图2，当△APD为等腰三角形时，请直接写出BP的长．
26．（12分）如图，已知一次函数图象y＝x+b与y轴交于点C（0，1），与反比例函数图象y＝交于点A（a，2）和点B两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标和△AOB的面积；
（3）若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，请求出M点坐标．
27．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，AC＝2，点A1，B1为边AC，BC的中点，连接A1B1，将△A1B1C绕点C逆时针旋转α（0°≤α≤360°）．
（1）如图1，当α＝0°时，＝ ，BB1，AA1所在直线相交所成的较小夹角的度数为 ；
（2）将△A1B1C绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）当△A1B1C绕点C逆时针旋转过程中，
①请直接写出的最大值；
②当A1，B1，B三点共线时，请直接写出线段BB1的长．
2021-2022学年山东省济南市片区联考九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）如图，一个水晶球摆件，它是由一个长方体和一个球体组成的几何体，则其主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故选：D．
2．（4分）已知3x＝5y（y≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】直接利用比例的性质得出x，y之间关系进而得出答案．
【解答】解：A、＝，可以化成：xy＝15，故此选项错误；
B、＝，可以化成：3x＝5y，故此选项正确；
C、＝，可以化成：5x＝3y，故此选项错误；
D、＝，可以化成：5x＝3y，故此选项错误．
故选：B．
3．（4分）某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣3，﹣3） C．（2，3） D．（﹣4，6）
【分析】将（﹣2，3）代入y＝即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可．
【解答】解：设反比例函数解析式为y＝，将点（﹣2，3）代入解析式得k＝﹣2×3＝﹣6，
符合题意的点只有点A：k＝2×（﹣3）＝﹣6．
故选：A．
4．（4分）如图，△ABC中，点D、E分别为边AB和AC中点，且S△ADE＝3，则S△ABC等于（ ）
A．4 B．8 C．9 D．12
【分析】根据已知可得DE是△ABC的中位线，从而可证明△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可解答．
【解答】解：∵点D、E分别为边AB和AC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∵S△ADE＝3，
∴S△ABC＝4S△ADE＝12，
故选：D．
5．（4分）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，估计袋中黑球有（ ）个．
A．8 B．9 C．14 D．15
【分析】设袋子中有黑球x个，根据摸到白球的频率列式计算即可．
【解答】解：设袋子中有黑球x个，
∵通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，
∴＝30%，
解得：x＝14，
经检验x＝14是原方程的解，
故选：C．
6．（4分）已知点A（﹣1，y1）、B（﹣3，y2）、C（，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
【分析】根据k的值确定双曲线所在的象限，进而明确函数的增减性，再根据点A（﹣1，y1），B（﹣3，y2），C（，y3）所在的象限，确定y2、y1、y3，大小关系．
【解答】解：∵k＝﹣6＜0，
∴反比例函数y＝﹣的图象位于二四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴点A（﹣1，y1），B（﹣3，y2）在第二象限，而C（，y3）在第四象限，
∴0＜y2＜y1，y3＜0，
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
7．（4分）关于x的方程x2+mx+6＝0的一个根为﹣2，则另一个根是（ ）
A．﹣3 B．﹣6 C．3 D．6
【分析】可将该方程的已知根﹣2代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解方程组即可求出m值和方程的另一根．
【解答】解：设方程的另一根为x1，
又∵x2＝﹣2，
∴根据根与系数的关系可得：，
解得：x1＝﹣3，m＝﹣5．
故选：A．
8．（4分）下列命题正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
【解答】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，A错误；
对角线相等的平行四边形是矩形，B错误；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C正确；
对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，D错误；
故选：C．
9．（4分）已知关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0，则下列该方程根的判断，正确的是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．不能确定
【分析】先求出“Δ”的值，再根据根的判别式判断即可．
【解答】解：x2﹣2x﹣1＝0，
Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
10．（4分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+k与y＝（k≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分两种情况讨论，当k＞0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k＜0时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案．
【解答】解：①当k＞0时，y＝kx+k过一、二、三象限；y＝过一、三象限；
②当k＜0时，y＝kx+k过二、三、四象象限；y＝过二、四象限．
观察图形可知，只有D选项符合题意．
故选：D．
11．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，EF是对角线BD的垂直平分线，则EF的长为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．8cm
【分析】EF是BD的垂直平分线，则OB＝OD，进而可以判定△BOF≌△DOE，得OE＝OF，在相似三角形△BOF和△BAD中，即可求FO的长，根据FO即可求EF的长．
【解答】解：∵EF是BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，
∵∠OBF＝∠ODE，∠BOF＝∠DOE，
∴△BOF≌△DOE，则OE＝OF，
∵∠OBF＝∠ABD，
∴△BOF∽△BAD
∴＝，
∵BD＝＝10cm，
∴BO＝5cm，
∴FO＝5×cm＝cm，
∴EF＝2FO＝cm．
故选：C．
12．（4分）如图，Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8．∠BAC＝90°，D，E为AB，AC边上的两个动点，且DE＝6，F为DE中点，则BF+CF的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】通过证明△AGF∽△AFB，可得GF＝BF，则当点G，点F，点C共线时，最小值为GC的长，在直角三角形AGC中利用勾股定理可求GC的长，即可求解．
【解答】解：如图，连接AF，在AB上截取AG＝1.5，连接FG，CG，
∵∠BAC＝90°，F为DE中点，
∴AF＝DE＝3，
∴点F在以点A为圆心，AF为半径的圆上，
∵＝，∠GAF＝∠BAF，
∴△AGF∽△AFB，
∴，
∴GF＝BF，
∴BF+CF＝GF+CF，
∴当点G，点F，点C共线时，最小值为GC的长，
∵CG＝＝＝，
∴BF+CF的最小值为，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）一个布袋里装有2个只有颜色不同的球，其中1个红球，1个白球，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸到的球恰好颜色不同的概率是 ．
【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，两次摸到的球是一白一红的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，两次摸到的球是一白一红的结果有2种，
∴两次摸到的球是一白一红的概率为＝，
故答案为：．
14．（4分）如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD．且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米．那么该古城墙CD的高度是 8 米．
【分析】由光学知识反射角等于入射角不难分析得出∠APB＝∠CPD，再由∠ABP＝∠CDP＝90°得到△ABP∽△CDP，得到＝代入数值求的CD＝8．
【解答】解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，
∴△ABP∽△CDP
∴＝即＝
解得：CD＝8米．
15．（4分）如图，在菱形ABCD中，已知AB＝5，AC＝6，那么菱形ABCD的面积为 24 ．
【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得OB的长，从而得到BD的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC，
在Rt△AOB中，BO＝＝4，
则BD＝2BO＝8，
故S菱形ABCD＝AC×BD＝24．
故答案为：24．
16．（4分）某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的100元上涨到了121元．设平均每次涨价的百分率为x，则x是 10% ．
【分析】可先表示出第一次提价后的价格，那么第一次提价后的价格×（1+提价的百分率）＝121，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：设平均每次提价的百分率为x，
根据题意，得100（1+x）2＝121．
解得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去）．
故答案是：10%．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝5，BD＝4，那么BC＝ 6 ．
【分析】证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BDC＝∠BCA，
∵∠B＝∠B，
∴△BDC∽△BCA，
∴＝，即＝，
解得：BC＝6，
故答案为：6．
18．（4分）如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…，Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y＝交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3，…，则B2022的坐标是 （0，2） ．
【分析】由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，想办法求出OB1，OB2，OB3，OB4，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论．
【解答】解：由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，
∵A1（1，1），
∴OB1＝2，设A2（m，2+m），
则有m（2+m）＝1，
解得m＝﹣1，
∴OB2＝2，
设A3（a，2+a），则有a（2+a）＝1，
解得a＝﹣，
∴OB3＝2，
同法可得，OB4＝2，
∴OBn＝2，
∴Bn（0，2），
∴B2022（0，2），
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）解方程：x2﹣6x+8＝0．
【分析】先把方程左边分解，使原方程转化为x﹣2＝0或x﹣6＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝2，x2＝4．
20．（6分）已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠AED＝∠B，AD＝3，AB＝8，AE＝4．求AC的长度．
【分析】由∠AED＝∠B，∠A＝∠A，得△ADE∽△ACB，再根据相似比列出比例式即可得出结果．
【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵AD＝3，AB＝8，AE＝4，
∴，
∴AC＝6．
21．（6分）如图，四边形ACMF、BCNE是两个正方形．求证：AN＝BM．
【分析】借助△ACN≌△MCB可证．
【解答】解：∵四边形ACMF和四边形CBEN都是正方形，
∴AC＝CM，NC＝BC，∠ACM＝∠BCN＝90°，
∵∠MCN＝∠NCM，
∴∠ACN＝∠BCM，
在△ACN和△MCB中，
，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN＝BM．
22．（8分）如图，学校打算用16m的篱笆围成一个长方形ABCD的生物园饲养小兔，生物园的一面AD靠墙（如图，墙长9m），面积是30m2．求生物园的长和宽．
【分析】设AB＝xm，则BC＝（16﹣2x）m，根据生物园的面积是30m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长9m，即可求出生物园的长为6m，宽为5m．
【解答】解：设AB＝xm，则BC＝（16﹣2x）m，
依题意得：x（16﹣2x）＝30，
整理得：x2﹣8x+15＝0，
解得：x1＝3，x2＝5．
当x＝3时，16﹣2x＝16﹣2×3＝10＞9，不合题意，舍去；
当x＝5时，16﹣2x＝16﹣2×5＝6＜9，符合题意．
答：生物园的长为6m，宽为5m．
23．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若∠C＝90°，BC＝16，CD＝8，求菱形BNDM的周长．
【分析】（1）证△MOD≌△NOB（AAS），得出OM＝ON，再由OB＝OD，则四边形BNDM是平行四边形，进而得出结论；
（2）由菱形的性质得出BM＝BN＝DM＝DN，设BN＝DN＝x，则CN＝BC﹣BN＝16﹣x，再在Rt△CDN中，由勾股定理得出方程，求出BN＝10，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO＝∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，
，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BNDM是菱形；
（2）解：∵四边形BNDM是菱形，
∴BM＝BN＝DM＝DN，
设BN＝DN＝x，则CN＝BC﹣BN＝16﹣x，
在Rt△CDN中，由勾股定理得：CD2+CN2＝DN2，
即82+（16﹣x）2＝x2，
解得：x＝10，
即BN＝10，
∴菱形BNDM的周长＝4BN＝40．
24．（10分）某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题
（1）这次被调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【分析】（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数；
（2）总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可；
（3）用样本估计总体的思想解决问题；
（4）根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）这次被调查的学生人数为15÷30%＝50（名）；
（2）喜爱“体育”的人数为50﹣（4+15+18+3）＝10（名），
补全图形如下：
（3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有3000×＝600（名）；
（4）列表如下：
甲
乙
丙
丁
甲
﹣﹣﹣
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
﹣﹣﹣
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
﹣﹣﹣
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
﹣﹣﹣
所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为＝．
25．（10分）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，∠BAD＝∠ACB＝∠AED＝90°，由∠1+∠2+∠BAD＝180°，∠2+∠D+∠AED＝180°，可得∠1＝∠D；又因为∠ACB＝∠AED＝90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到＝ .我们把这个模型称为“一线三等角”模型．
应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且∠APD＝∠B．
①求证：△ABP∽△PCD；
②当点P为BC中点时，求CD的长；
拓展：（3）在（2）的条件下，如图2，当△APD为等腰三角形时，请直接写出BP的长．
【分析】（1）根据相似三角形的性质解答即可；
（2）①根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP＝∠CPD，进而证明△ABP∽△PCD；
②根据相似三角形的性质计算，得到答案；
（3）分PA＝PD、AP＝AD、DA＝DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质计算即可．
【解答】（1）解：∵△ABC∽△DAE，
∴＝，
∴＝，
故答案为：；
（2）①证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠APC＝∠B+∠BAP，∠APC＝∠APD+∠CPD，∠APD＝∠B，
∴∠BAP＝∠CPD，
∵∠B＝∠C，
∴△ABP∽△PCD；
②解：∵BC＝12，点P为BC中点，
∴BP＝PC＝6，
∵△ABP∽△PCD，
∴＝，即＝，
解得：CD＝3.6；
（3）解：当PA＝PD时，△ABP≌△PCD，
∴PC＝AB＝10，
∴BP＝BC﹣PC＝12﹣10＝2；
当AP＝AD时，∠ADP＝∠APD，
∵∠ADP＝∠B＝∠C，
∴∠ADP＝∠C，不合题意，
∴AP≠AD；
当DA＝DP时，∠DAP＝∠APD＝∠B，
∵∠C＝∠C，
∴△BCA∽△ACP，
∴＝，即＝，
解得：CP＝，
∴BP＝BC﹣CP＝12﹣＝，
综上所述：当△APD为等腰三角形时，BP的长为2或．
26．（12分）如图，已知一次函数图象y＝x+b与y轴交于点C（0，1），与反比例函数图象y＝交于点A（a，2）和点B两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标和△AOB的面积；
（3）若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，请求出M点坐标．
【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式，再求出A点坐标即可确定反比例函数的解析式；
（2）联立一次函数和反比例函数即可得出B点坐标，设直线AB与x轴交于点D，则D（﹣1，0），根据S△AOB＝OD•yA+OD•yB计算面积即可；
（3）分以AB为边和以AB为对角线两种情况讨论求值即可．
【解答】解：（1）∵一次函数图象y＝x+b与y轴交于点C（0，1），
∴b＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x+1，
∵点A（a，2）在直线y＝x+1上，
∴a＝1，
即A（1，2），
又∵反比例函数y＝过A点，
∴k＝2，
∴反比例函数为y＝；
（2）∵反比例函数与一次函数交于点A和点B，
联立两解析式得，
解得或，
∴B（﹣2，﹣1），
设直线AB与x轴交于点D，则D（﹣1，0），
∴OD＝1，
∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝OD•yA+OD•yB＝×1×1+×1×2＝，
即△AOB的面积为；
（3）画出图形可知，四边形M1N1M2N2为对角线长度为6的正方形，
①当∠BAM＝90°时，设M1（0，y），
则AM12+AB2＝BM12，
∴12+（2﹣y）2+（1+2）2+（2+1）2＝4+（y+1）2，
解得y＝3，
∴M1（0，3），
②当∠ABM＝90°时，
同理可得：M2（0，﹣3），
③当∠AMB＝90°时，设M（0，m），设AB的中点为J，
则J（﹣，），
∵AB＝＝3，
∴AJ＝BJ＝JM＝，
∴（﹣）2+（﹣m）2＝（）2，
解得m＝，
∴M3（0，），M4（0，），
综上，满足条件的M点的坐标为（0，3）或（0，﹣3）或（0，）或（0，）．
27．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，AC＝2，点A1，B1为边AC，BC的中点，连接A1B1，将△A1B1C绕点C逆时针旋转α（0°≤α≤360°）．
（1）如图1，当α＝0°时，＝ 2 ，BB1，AA1所在直线相交所成的较小夹角的度数为 60° ；
（2）将△A1B1C绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）当△A1B1C绕点C逆时针旋转过程中，
①请直接写出的最大值；
②当A1，B1，B三点共线时，请直接写出线段BB1的长．
【分析】（1）先求出BC，AA1＝A1C，再求出B1C，进而求出BB1，即可得出结论；
（2）先判断出△ACA1∽△BCB1，得出＝＝2，∠CAA1＝∠CBB1，进而求出∠ABD+∠BAD＝120°，即可得出结论；
（3）①当点A1落在AC的延长线上时，△ABA1的面积最大，利用三角形面积公式求解即可；
②分两种情况：先画出图形，利用勾股定理求出A1B，即可得出结论．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝2，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴BC＝2AC＝4，
∵点A1为边AC的中点，
∴AA1＝A1C＝AC＝1，
∵点A1，B1为边AC，BC的中点，
∴A1B1是△ABC的中位线，
∴A1B1∥AB，
∴∠B1A1C＝∠BAC＝90°，∠A1B1C＝∠ABC＝30°，
在Rt△A1B1C中，B1C＝2A1C＝2，
∴BB1＝BC﹣B1C＝4﹣2＝2，
∴＝2，
∵∠ACB＝60°，
∴BB1，AA1所在直线相交所成的较小夹角为∠ACB＝60°，
故答案为2，60°；
（2）（1）中结论仍然成立，证明：延长AA1，BB1相交于点D，如图2，
由旋转知，∠ACA1＝∠BCB1，
A1C＝1，B1C＝2，
∵AC＝2，BC＝4，
∴＝2，＝2，
∴＝，
∴△ACA1∽△BCB1，
∴＝＝2，∠CAA1＝∠CBB1，
∴∠ABD+∠BAD＝∠ABC+∠CBB1+∠BAC﹣∠CAA1＝∠ABC+∠BAC＝30°+90°＝120°，
∴∠D＝180°﹣（∠ABD+∠BAD）＝60°；
（3）①由题意，AC＝2，AB＝2，CA1＝1，
当点A1落在AC的延长线上时，△ABA1的面积最大，最大值＝×2×3＝3；
②在图1中，在Rt△A1B1＝A1C＝，当点B1在BA1的延长线上时，如图3，
∵A1，B1，B三点共线，
∴∠BA1C＝∠BA1C＝90°，
在Rt△A1BC中，A1B＝＝＝，
∴BB1＝A1B+A1B1＝+；
当点B1在线段A1B上时，如图4，
同①的方法得，A1B＝，
∴BB1＝A1B﹣A1B1＝﹣，
即线段BB1的长为+或﹣．
2021-2022学年山东省济南市片区联考九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）如图，一个水晶球摆件，它是由一个长方体和一个球体组成的几何体，则其主视图是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）已知3x＝5y（y≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
3．（4分）某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣3，﹣3） C．（2，3） D．（﹣4，6）
4．（4分）如图，△ABC中，点D、E分别为边AB和AC中点，且S△ADE＝3，则S△ABC等于（ ）
A．4 B．8 C．9 D．12
5．（4分）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，估计袋中黑球有（ ）个．
A．8 B．9 C．14 D．15
6．（4分）已知点A（﹣1，y1）、B（﹣3，y2）、C（，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
7．（4分）关于x的方程x2+mx+6＝0的一个根为﹣2，则另一个根是（ ）
A．﹣3 B．﹣6 C．3 D．6
8．（4分）下列命题正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
9．（4分）已知关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0，则下列该方程根的判断，正确的是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．不能确定
10．（4分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+k与y＝（k≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，EF是对角线BD的垂直平分线，则EF的长为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．8cm
12．（4分）如图，Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8．∠BAC＝90°，D，E为AB，AC边上的两个动点，且DE＝6，F为DE中点，则BF+CF的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）一个布袋里装有2个只有颜色不同的球，其中1个红球，1个白球，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸到的球恰好颜色不同的概率是 ．
14．（4分）如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD．且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米．那么该古城墙CD的高度是 米．
15．（4分）如图，在菱形ABCD中，已知AB＝5，AC＝6，那么菱形ABCD的面积为 ．
16．（4分）某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的100元上涨到了121元．设平均每次涨价的百分率为x，则x是 ．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝5，BD＝4，那么BC＝ ．
18．（4分）如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…，Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y＝交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3，…，则B2022的坐标是 ．
三、解答题（本大题共9小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）解方程：x2﹣6x+8＝0．
20．（6分）已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠AED＝∠B，AD＝3，AB＝8，AE＝4．求AC的长度．
21．（6分）如图，四边形ACMF、BCNE是两个正方形．求证：AN＝BM．
22．（8分）如图，学校打算用16m的篱笆围成一个长方形ABCD的生物园饲养小兔，生物园的一面AD靠墙（如图，墙长9m），面积是30m2．求生物园的长和宽．
23．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若∠C＝90°，BC＝16，CD＝8，求菱形BNDM的周长．
24．（10分）某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题
（1）这次被调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
25．（10分）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，∠BAD＝∠ACB＝∠AED＝90°，由∠1+∠2+∠BAD＝180°，∠2+∠D+∠AED＝180°，可得∠1＝∠D；又因为∠ACB＝∠AED＝90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到＝ .我们把这个模型称为“一线三等角”模型．
应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且∠APD＝∠B．
①求证：△ABP∽△PCD；
②当点P为BC中点时，求CD的长；
拓展：（3）在（2）的条件下，如图2，当△APD为等腰三角形时，请直接写出BP的长．
26．（12分）如图，已知一次函数图象y＝x+b与y轴交于点C（0，1），与反比例函数图象y＝交于点A（a，2）和点B两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标和△AOB的面积；
（3）若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，请求出M点坐标．
27．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，AC＝2，点A1，B1为边AC，BC的中点，连接A1B1，将△A1B1C绕点C逆时针旋转α（0°≤α≤360°）．
（1）如图1，当α＝0°时，＝ ，BB1，AA1所在直线相交所成的较小夹角的度数为 ；
（2）将△A1B1C绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）当△A1B1C绕点C逆时针旋转过程中，
①请直接写出的最大值；
②当A1，B1，B三点共线时，请直接写出线段BB1的长．
2021-2022学年山东省济南市片区联考九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分。在每个小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）如图，一个水晶球摆件，它是由一个长方体和一个球体组成的几何体，则其主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆，
故选：D．
2．（4分）已知3x＝5y（y≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】直接利用比例的性质得出x，y之间关系进而得出答案．
【解答】解：A、＝，可以化成：xy＝15，故此选项错误；
B、＝，可以化成：3x＝5y，故此选项正确；
C、＝，可以化成：5x＝3y，故此选项错误；
D、＝，可以化成：5x＝3y，故此选项错误．
故选：B．
3．（4分）某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣3，﹣3） C．（2，3） D．（﹣4，6）
【分析】将（﹣2，3）代入y＝即可求出k的值，再根据k＝xy解答即可．
【解答】解：设反比例函数解析式为y＝，将点（﹣2，3）代入解析式得k＝﹣2×3＝﹣6，
符合题意的点只有点A：k＝2×（﹣3）＝﹣6．
故选：A．
4．（4分）如图，△ABC中，点D、E分别为边AB和AC中点，且S△ADE＝3，则S△ABC等于（ ）
A．4 B．8 C．9 D．12
【分析】根据已知可得DE是△ABC的中位线，从而可证明△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可解答．
【解答】解：∵点D、E分别为边AB和AC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）2＝，
∵S△ADE＝3，
∴S△ABC＝4S△ADE＝12，
故选：D．
5．（4分）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的6个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，估计袋中黑球有（ ）个．
A．8 B．9 C．14 D．15
【分析】设袋子中有黑球x个，根据摸到白球的频率列式计算即可．
【解答】解：设袋子中有黑球x个，
∵通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为30%，
∴＝30%，
解得：x＝14，
经检验x＝14是原方程的解，
故选：C．
6．（4分）已知点A（﹣1，y1）、B（﹣3，y2）、C（，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
【分析】根据k的值确定双曲线所在的象限，进而明确函数的增减性，再根据点A（﹣1，y1），B（﹣3，y2），C（，y3）所在的象限，确定y2、y1、y3，大小关系．
【解答】解：∵k＝﹣6＜0，
∴反比例函数y＝﹣的图象位于二四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴点A（﹣1，y1），B（﹣3，y2）在第二象限，而C（，y3）在第四象限，
∴0＜y2＜y1，y3＜0，
∴y1＞y2＞y3，
故选：A．
7．（4分）关于x的方程x2+mx+6＝0的一个根为﹣2，则另一个根是（ ）
A．﹣3 B．﹣6 C．3 D．6
【分析】可将该方程的已知根﹣2代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解方程组即可求出m值和方程的另一根．
【解答】解：设方程的另一根为x1，
又∵x2＝﹣2，
∴根据根与系数的关系可得：，
解得：x1＝﹣3，m＝﹣5．
故选：A．
8．（4分）下列命题正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．
【解答】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，A错误；
对角线相等的平行四边形是矩形，B错误；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C正确；
对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，D错误；
故选：C．
9．（4分）已知关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0，则下列该方程根的判断，正确的是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．不能确定
【分析】先求出“Δ”的值，再根据根的判别式判断即可．
【解答】解：x2﹣2x﹣1＝0，
Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
10．（4分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+k与y＝（k≠0）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分两种情况讨论，当k＞0时，分析出一次函数和反比例函数所过象限；再分析出k＜0时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案．
【解答】解：①当k＞0时，y＝kx+k过一、二、三象限；y＝过一、三象限；
②当k＜0时，y＝kx+k过二、三、四象象限；y＝过二、四象限．
观察图形可知，只有D选项符合题意．
故选：D．
11．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，EF是对角线BD的垂直平分线，则EF的长为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．8cm
【分析】EF是BD的垂直平分线，则OB＝OD，进而可以判定△BOF≌△DOE，得OE＝OF，在相似三角形△BOF和△BAD中，即可求FO的长，根据FO即可求EF的长．
【解答】解：∵EF是BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，
∵∠OBF＝∠ODE，∠BOF＝∠DOE，
∴△BOF≌△DOE，则OE＝OF，
∵∠OBF＝∠ABD，
∴△BOF∽△BAD
∴＝，
∵BD＝＝10cm，
∴BO＝5cm，
∴FO＝5×cm＝cm，
∴EF＝2FO＝cm．
故选：C．
12．（4分）如图，Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8．∠BAC＝90°，D，E为AB，AC边上的两个动点，且DE＝6，F为DE中点，则BF+CF的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】通过证明△AGF∽△AFB，可得GF＝BF，则当点G，点F，点C共线时，最小值为GC的长，在直角三角形AGC中利用勾股定理可求GC的长，即可求解．
【解答】解：如图，连接AF，在AB上截取AG＝1.5，连接FG，CG，
∵∠BAC＝90°，F为DE中点，
∴AF＝DE＝3，
∴点F在以点A为圆心，AF为半径的圆上，
∵＝，∠GAF＝∠BAF，
∴△AGF∽△AFB，
∴，
∴GF＝BF，
∴BF+CF＝GF+CF，
∴当点G，点F，点C共线时，最小值为GC的长，
∵CG＝＝＝，
∴BF+CF的最小值为，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．（4分）一个布袋里装有2个只有颜色不同的球，其中1个红球，1个白球，从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸到的球恰好颜色不同的概率是 ．
【分析】画树状图，共有4种等可能的结果，两次摸到的球是一白一红的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，两次摸到的球是一白一红的结果有2种，
∴两次摸到的球是一白一红的概率为＝，
故答案为：．
14．（4分）如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD．且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米．那么该古城墙CD的高度是 8 米．
【分析】由光学知识反射角等于入射角不难分析得出∠APB＝∠CPD，再由∠ABP＝∠CDP＝90°得到△ABP∽△CDP，得到＝代入数值求的CD＝8．
【解答】解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，
∴△ABP∽△CDP
∴＝即＝
解得：CD＝8米．
15．（4分）如图，在菱形ABCD中，已知AB＝5，AC＝6，那么菱形ABCD的面积为 24 ．
【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得OB的长，从而得到BD的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝AC，
在Rt△AOB中，BO＝＝4，
则BD＝2BO＝8，
故S菱形ABCD＝AC×BD＝24．
故答案为：24．
16．（4分）某商品经过两次连续提价，每件售价由原来的100元上涨到了121元．设平均每次涨价的百分率为x，则x是 10% ．
【分析】可先表示出第一次提价后的价格，那么第一次提价后的价格×（1+提价的百分率）＝121，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：设平均每次提价的百分率为x，
根据题意，得100（1+x）2＝121．
解得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去）．
故答案是：10%．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝5，BD＝4，那么BC＝ 6 ．
【分析】证明△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BDC＝∠BCA，
∵∠B＝∠B，
∴△BDC∽△BCA，
∴＝，即＝，
解得：BC＝6，
故答案为：6．
18．（4分）如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B1，B2，B3，…，Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y＝交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3，…，则B2022的坐标是 （0，2） ．
【分析】由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，想办法求出OB1，OB2，OB3，OB4，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论．
【解答】解：由题意，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…，都是等腰直角三角形，
∵A1（1，1），
∴OB1＝2，设A2（m，2+m），
则有m（2+m）＝1，
解得m＝﹣1，
∴OB2＝2，
设A3（a，2+a），则有a（2+a）＝1，
解得a＝﹣，
∴OB3＝2，
同法可得，OB4＝2，
∴OBn＝2，
∴Bn（0，2），
∴B2022（0，2），
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（6分）解方程：x2﹣6x+8＝0．
【分析】先把方程左边分解，使原方程转化为x﹣2＝0或x﹣6＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝2，x2＝4．
20．（6分）已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠AED＝∠B，AD＝3，AB＝8，AE＝4．求AC的长度．
【分析】由∠AED＝∠B，∠A＝∠A，得△ADE∽△ACB，再根据相似比列出比例式即可得出结果．
【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵AD＝3，AB＝8，AE＝4，
∴，
∴AC＝6．
21．（6分）如图，四边形ACMF、BCNE是两个正方形．求证：AN＝BM．
【分析】借助△ACN≌△MCB可证．
【解答】解：∵四边形ACMF和四边形CBEN都是正方形，
∴AC＝CM，NC＝BC，∠ACM＝∠BCN＝90°，
∵∠MCN＝∠NCM，
∴∠ACN＝∠BCM，
在△ACN和△MCB中，
，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN＝BM．
22．（8分）如图，学校打算用16m的篱笆围成一个长方形ABCD的生物园饲养小兔，生物园的一面AD靠墙（如图，墙长9m），面积是30m2．求生物园的长和宽．
【分析】设AB＝xm，则BC＝（16﹣2x）m，根据生物园的面积是30m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合墙长9m，即可求出生物园的长为6m，宽为5m．
【解答】解：设AB＝xm，则BC＝（16﹣2x）m，
依题意得：x（16﹣2x）＝30，
整理得：x2﹣8x+15＝0，
解得：x1＝3，x2＝5．
当x＝3时，16﹣2x＝16﹣2×3＝10＞9，不合题意，舍去；
当x＝5时，16﹣2x＝16﹣2×5＝6＜9，符合题意．
答：生物园的长为6m，宽为5m．
23．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若∠C＝90°，BC＝16，CD＝8，求菱形BNDM的周长．
【分析】（1）证△MOD≌△NOB（AAS），得出OM＝ON，再由OB＝OD，则四边形BNDM是平行四边形，进而得出结论；
（2）由菱形的性质得出BM＝BN＝DM＝DN，设BN＝DN＝x，则CN＝BC﹣BN＝16﹣x，再在Rt△CDN中，由勾股定理得出方程，求出BN＝10，即可求解．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO＝∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，
，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BNDM是菱形；
（2）解：∵四边形BNDM是菱形，
∴BM＝BN＝DM＝DN，
设BN＝DN＝x，则CN＝BC﹣BN＝16﹣x，
在Rt△CDN中，由勾股定理得：CD2+CN2＝DN2，
即82+（16﹣x）2＝x2，
解得：x＝10，
即BN＝10，
∴菱形BNDM的周长＝4BN＝40．
24．（10分）某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题
（1）这次被调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
【分析】（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数；
（2）总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可；
（3）用样本估计总体的思想解决问题；
（4）根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）这次被调查的学生人数为15÷30%＝50（名）；
（2）喜爱“体育”的人数为50﹣（4+15+18+3）＝10（名），
补全图形如下：
（3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有3000×＝600（名）；
（4）列表如下：
甲
乙
丙
丁
甲
﹣﹣﹣
（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）
﹣﹣﹣
（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
﹣﹣﹣
（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）
﹣﹣﹣
所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为＝．
25．（10分）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型：如图1，∠BAD＝∠ACB＝∠AED＝90°，由∠1+∠2+∠BAD＝180°，∠2+∠D+∠AED＝180°，可得∠1＝∠D；又因为∠ACB＝∠AED＝90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到＝ .我们把这个模型称为“一线三等角”模型．
应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且∠APD＝∠B．
①求证：△ABP∽△PCD；
②当点P为BC中点时，求CD的长；
拓展：（3）在（2）的条件下，如图2，当△APD为等腰三角形时，请直接写出BP的长．
【分析】（1）根据相似三角形的性质解答即可；
（2）①根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP＝∠CPD，进而证明△ABP∽△PCD；
②根据相似三角形的性质计算，得到答案；
（3）分PA＝PD、AP＝AD、DA＝DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质计算即可．
【解答】（1）解：∵△ABC∽△DAE，
∴＝，
∴＝，
故答案为：；
（2）①证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠APC＝∠B+∠BAP，∠APC＝∠APD+∠CPD，∠APD＝∠B，
∴∠BAP＝∠CPD，
∵∠B＝∠C，
∴△ABP∽△PCD；
②解：∵BC＝12，点P为BC中点，
∴BP＝PC＝6，
∵△ABP∽△PCD，
∴＝，即＝，
解得：CD＝3.6；
（3）解：当PA＝PD时，△ABP≌△PCD，
∴PC＝AB＝10，
∴BP＝BC﹣PC＝12﹣10＝2；
当AP＝AD时，∠ADP＝∠APD，
∵∠ADP＝∠B＝∠C，
∴∠ADP＝∠C，不合题意，
∴AP≠AD；
当DA＝DP时，∠DAP＝∠APD＝∠B，
∵∠C＝∠C，
∴△BCA∽△ACP，
∴＝，即＝，
解得：CP＝，
∴BP＝BC﹣CP＝12﹣＝，
综上所述：当△APD为等腰三角形时，BP的长为2或．
26．（12分）如图，已知一次函数图象y＝x+b与y轴交于点C（0，1），与反比例函数图象y＝交于点A（a，2）和点B两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标和△AOB的面积；
（3）若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，请求出M点坐标．
【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式，再求出A点坐标即可确定反比例函数的解析式；
（2）联立一次函数和反比例函数即可得出B点坐标，设直线AB与x轴交于点D，则D（﹣1，0），根据S△AOB＝OD•yA+OD•yB计算面积即可；
（3）分以AB为边和以AB为对角线两种情况讨论求值即可．
【解答】解：（1）∵一次函数图象y＝x+b与y轴交于点C（0，1），
∴b＝1，
∴一次函数的解析式为y＝x+1，
∵点A（a，2）在直线y＝x+1上，
∴a＝1，
即A（1，2），
又∵反比例函数y＝过A点，
∴k＝2，
∴反比例函数为y＝；
（2）∵反比例函数与一次函数交于点A和点B，
联立两解析式得，
解得或，
∴B（﹣2，﹣1），
设直线AB与x轴交于点D，则D（﹣1，0），
∴OD＝1，
∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝OD•yA+OD•yB＝×1×1+×1×2＝，
即△AOB的面积为；
（3）画出图形可知，四边形M1N1M2N2为对角线长度为6的正方形，
①当∠BAM＝90°时，设M1（0，y），
则AM12+AB2＝BM12，
∴12+（2﹣y）2+（1+2）2+（2+1）2＝4+（y+1）2，
解得y＝3，
∴M1（0，3），
②当∠ABM＝90°时，
同理可得：M2（0，﹣3），
③当∠AMB＝90°时，设M（0，m），设AB的中点为J，
则J（﹣，），
∵AB＝＝3，
∴AJ＝BJ＝JM＝，
∴（﹣）2+（﹣m）2＝（）2，
解得m＝，
∴M3（0，），M4（0，），
综上，满足条件的M点的坐标为（0，3）或（0，﹣3）或（0，）或（0，）．
27．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，AC＝2，点A1，B1为边AC，BC的中点，连接A1B1，将△A1B1C绕点C逆时针旋转α（0°≤α≤360°）．
（1）如图1，当α＝0°时，＝ 2 ，BB1，AA1所在直线相交所成的较小夹角的度数为 60° ；
（2）将△A1B1C绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）当△A1B1C绕点C逆时针旋转过程中，
①请直接写出的最大值；
②当A1，B1，B三点共线时，请直接写出线段BB1的长．
【分析】（1）先求出BC，AA1＝A1C，再求出B1C，进而求出BB1，即可得出结论；
（2）先判断出△ACA1∽△BCB1，得出＝＝2，∠CAA1＝∠CBB1，进而求出∠ABD+∠BAD＝120°，即可得出结论；
（3）①当点A1落在AC的延长线上时，△ABA1的面积最大，利用三角形面积公式求解即可；
②分两种情况：先画出图形，利用勾股定理求出A1B，即可得出结论．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC＝2，
∴∠ACB＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∴BC＝2AC＝4，
∵点A1为边AC的中点，
∴AA1＝A1C＝AC＝1，
∵点A1，B1为边AC，BC的中点，
∴A1B1是△ABC的中位线，
∴A1B1∥AB，
∴∠B1A1C＝∠BAC＝90°，∠A1B1C＝∠ABC＝30°，
在Rt△A1B1C中，B1C＝2A1C＝2，
∴BB1＝BC﹣B1C＝4﹣2＝2，
∴＝2，
∵∠ACB＝60°，
∴BB1，AA1所在直线相交所成的较小夹角为∠ACB＝60°，
故答案为2，60°；
（2）（1）中结论仍然成立，证明：延长AA1，BB1相交于点D，如图2，
由旋转知，∠ACA1＝∠BCB1，
A1C＝1，B1C＝2，
∵AC＝2，BC＝4，
∴＝2，＝2，
∴＝，
∴△ACA1∽△BCB1，
∴＝＝2，∠CAA1＝∠CBB1，
∴∠ABD+∠BAD＝∠ABC+∠CBB1+∠BAC﹣∠CAA1＝∠ABC+∠BAC＝30°+90°＝120°，
∴∠D＝180°﹣（∠ABD+∠BAD）＝60°；
（3）①由题意，AC＝2，AB＝2，CA1＝1，
当点A1落在AC的延长线上时，△ABA1的面积最大，最大值＝×2×3＝3；
②在图1中，在Rt△A1B1＝A1C＝，当点B1在BA1的延长线上时，如图3，
∵A1，B1，B三点共线，
∴∠BA1C＝∠BA1C＝90°，
在Rt△A1BC中，A1B＝＝＝，
∴BB1＝A1B+A1B1＝+；
当点B1在线段A1B上时，如图4，
同①的方法得，A1B＝，
∴BB1＝A1B﹣A1B1＝﹣，
即线段BB1的长为+或﹣．
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