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2021-2022学年山东省青岛市李沧区、黄岛区九年级（上）期末数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年山东省青岛市李沧区、黄岛区九年级（上）期末数学试卷 解析版，共28页。试卷主要包含了填空题，作图题请用直尺，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省青岛市李沧区、黄岛区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）如图是由四个大小相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°，高为5m．则扶梯的长度为（ ）
A．5m B． C．10m D．15m
3．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上．若x1＜0＜x2，则y1与y2的大小关系为（ ）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
4．（3分）“劳动创造世界”，劳动教育已纳入国家人才培养全过程．某学农基地加大投入，建设新型农场，该农场一种作物的亩产量两年内从400千克增加到484千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为（ ）
A．400（1+2x）＝484 B．400（1+x）2＝484
C．400（1+x）＝484 D．400（1+x2）＝484
5．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，连接AC，BD，若BD＝8，则AC的长为（ ）
A． B．8 C． D．16
6．（3分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．如图是视力表的一部分，图中的“”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）
A．①和④ B．②和③ C．①和② D．②和④
7．（3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处，已知∠DMN＝30°，连接BM，则∠AMB的度数为（ ）
A．60° B．75° C．80° D．85°
8．（3分）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝cx+a和二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）计算：cos230°+sin230°﹣2tan45°＝ ．
10．（3分）在x2+（ ）+16＝0的括号内添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根，则这个一次项可以是 ．
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F．若AB＝8，AD＝6，则CF的长为 ．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1）．以原点O为位似中心，把△EFO放大，使得放大前后对应线段的比为1：2，则点E的对应点E′的坐标为 ．
13．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+5）（x﹣3）的图象向右平移2个单位长度，得到的抛物线的关系式为 ．
14．（3分）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则y1+y2+…+y100的值为 ．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
15．（4分）已知：线段a，AE⊥AF，垂足为点A．
求作：四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AE，AF上，且AB＝BC＝a，∠ABC＝60°，CD∥AB．
四、解答题（本大题共9小题，共74分）
16．（8分）（1）解方程：x2﹣3x＝4；
（2）二次函数y＝﹣x2+bx+2（b为常数）的图象与x轴相交吗？如果相交，有几个交点？
17．（6分）小明做探究物体投影的实验，并提出了一些数学问题：
（1）如图1，白天在阳光下，小明将木杆AB水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段A′B′．若木杆AB的长为1m，则其影子A′B′的长为 m；
（2）如图2，夜晚在路灯的正下方，小明将木杆EF水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段E'F′．
①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点P；
②若木杆EF的长为1m，经测量木杆EF距离地面1m，其影子E'F′的长为1.5m，则路灯P距离地面的高度为多少？
18．（6分）为庆祝中国共产党成立100周年，弘扬伟大建党精神，小明参加了学校组织的知识竞答节目，最后一关，答对两道单选题就顺利通关．已知第一道单选题有三个选项，第二道单选题有四个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有使用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或表格来分析小明顺利通关的概率．
（2）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”？（直接写出答案即可）
19．（6分）《九章算术》是中国古代的数学专著，它以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的，奠定了中国古代数学的基本框架．书中记载了这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙CD长9里，南边城墙BC长7里，东门点E，南门点M分别位于CD，BC的中点，EF⊥CD，MH⊥BC，EF＝15里，HF经过C点，则MH的长为多少？
20．（8分）如图1是一个手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，经测量，BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，求点C到AE的距离．（结果保留小数点后一位）
参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.73，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，M，N分别是AF，CE的中点．
（1）求证：AF＝CE；
（2）当矩形ABCD满足什么条件时，四边形EMFN为正方形？请说明理由．
22．（10分）如图，某公司用一根长为6m的铝合金型材制作一个“日”字形窗户的框架ABCD，并且恰好用完整条铝合金型材．设AB的长为xm，矩形ABCD的面积为ym2．
（1）写出y与x的关系式，并指出x的取值范围；
（2）公司决定将该窗户安装中空玻璃（铝合金型材的宽度忽略不计），已知铝合金型材的价格为80元/m，中空玻璃的价格为110元/m2，当AB为多少米时，窗户的造价最大？最大造价是多少？
23．（10分）某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
【探究发现】
6+6＝2＝12；；
0.3+0.3＝2＝0.6；＝2；
0.2+3.2＞2＝1.6；．
【猜想结论】
如果a＞0，b＞0，那么存在a+b≥2（当且仅当a＝b时，等号成立）．
【证明结论】
∵≥0
∴①当且仅当＝0，即a＝b时，a﹣2+b＝0，∴a+b＝2；
②当≠0，即a≠b时，a﹣2+b＞0，∴a+b＞2．
综合上述可得：若a＞0，b＞0，则a+b≥2成立（当且仅当a＝b时，等号成立）．
【应用结论】
（1）对于函数y＝x+（x＞0），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？
（2）对于函数y＝+x（x＞5），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？
【拓展应用】
疫情期间，高速公路某检测站入口处，为了解决疑似人员的临时隔离问题，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），计划用钢丝网围成6间相同的长方形隔离房．如图，已知每间隔离房的面积为6m2．问：每间隔离房的长、宽各为多少米时，所用钢丝网长度最短？最短长度是多少？
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．动点P从点A出发，沿AC方向运动，同时动点Q从点C出发，沿CB方向运动，它们的速度均为每秒1个单位长度．连接PQ，过点P作PN⊥AB于点N，以PN，PQ为邻边作平行四边形PQMN．当点M落在线段AB上时，P，Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒（t＞0），请解答下列问题：
（1）用含t的代数式表示PN；
（2）当P，Q两点同时停止运动时，求t的值；
（3）设平行四边形PQMN面积为S，求S与t之间的关系式；
（4）是否存在某一时刻t，使点P在线段MC的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
2021-2022学年山东省青岛市李沧区、黄岛区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）如图是由四个大小相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用主视图的定义，即从几何体的正面观察得出视图即可．
【解答】解：从几何体的正面看，底层是三个小正方形，上层的右边是一个小正方形．
故选：D．
2．（3分）某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°，高为5m．则扶梯的长度为（ ）
A．5m B． C．10m D．15m
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵自动扶梯的倾斜角为30°，高为5m，
∴扶梯的长度是2×5＝10（m），
故选：C．
3．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上．若x1＜0＜x2，则y1与y2的大小关系为（ ）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
【分析】由k＞0，双曲线在第一，三象限，根据x1＜0＜x2即可判断A在第三象限，B在第一象限，从而判定y1＜0＜y2．
【解答】解：∵k＝3＞0，
∴双曲线在第一，三象限，
∵x1＜0＜x2，
∴A在第三象限，B在第一象限，
∴y1＜0＜y2；
故选：A．
4．（3分）“劳动创造世界”，劳动教育已纳入国家人才培养全过程．某学农基地加大投入，建设新型农场，该农场一种作物的亩产量两年内从400千克增加到484千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为（ ）
A．400（1+2x）＝484 B．400（1+x）2＝484
C．400（1+x）＝484 D．400（1+x2）＝484
【分析】可先用x的代数式表示出第一年的产量，那么第二年的产量×（1+增长率）＝484，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：第一年的产量为400（1+x），
第二年的产量在第一年产量的基础上增加x，为400（1+x）（1+x），
则列出的方程是400（1+x）2＝484．
故选：B．
5．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，连接AC，BD，若BD＝8，则AC的长为（ ）
A． B．8 C． D．16
【分析】如图，设AC，BD交于O，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD＝4，∠DAO＝DAB＝30°，求得AD＝2OD＝8，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图，设AC，BD交于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD＝4，∠DAO＝DAB＝30°，
∴AD＝2OD＝8，
∴AO＝＝＝4，
∴AC＝2AO＝8，
故选：C．
6．（3分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．如图是视力表的一部分，图中的“”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）
A．①和④ B．②和③ C．①和② D．②和④
【分析】根据位似图形的概念判断即可．
【解答】解：解：①和④、①和②、②和④，两个图形是相似图形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行，都是位似图形；
②和③，对应边不平行，不是位似图形，
故选：B．
7．（3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处，已知∠DMN＝30°，连接BM，则∠AMB的度数为（ ）
A．60° B．75° C．80° D．85°
【分析】由四边形ABCD是矩形，得∠A＝∠ABC＝90°，根据矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处，得∠NME＝∠ABC＝90°，ME＝BE，而∠DMN＝30°，即知∠AME＝60°，∠AEM＝30°，即∠EMB+∠EBM＝30°，可得∠EMB＝∠EBM＝15°，故∠AMB＝∠AME+∠EMB＝75°．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∵矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处，
∴∠NME＝∠ABC＝90°，ME＝BE，
∵∠DMN＝30°，
∴∠AME＝180°﹣∠NME﹣∠DMN＝60°，
∴∠AEM＝90°﹣∠AME＝30°，
∴∠EMB+∠EBM＝30°，
∵ME＝BE，
∴∠EMB＝∠EBM＝15°，
∴∠AMB＝∠AME+∠EMB＝75°，
故选：B．
8．（3分）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝cx+a和二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据反比例函数的图象得出b＜0，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴b＜0，
A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误；
B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，b＞0，
∴与b＜0矛盾，B错误；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，b＞0，
∴与b＜0矛盾，C错误；
D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）计算：cos230°+sin230°﹣2tan45°＝ ﹣1 ．
【分析】根据sin2α+cos2α＝1进行计算即可．
【解答】解：cos230°+sin230°﹣2tan45°＝
＝1﹣2×1
＝1﹣2
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
10．（3分）在x2+（ ）+16＝0的括号内添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根，则这个一次项可以是 8x或﹣8x ．
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，填写一次项使根的判别式等于0即可．
【解答】解：在x2+（ ）+16＝0的括号内添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根，则这个一次项可以是8x或﹣8x．
故答案为：8x或﹣8x．
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F．若AB＝8，AD＝6，则CF的长为 ．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AC的长，由AB∥CD可得出∠DCF＝∠EAF，∠CDF＝∠AEF，进而可得出△AEF∽△CDF，利用相似三角形的性质结合CD＝AB＝2AE，即可得出CF＝2AF，再结合AC＝AF+CF＝10，即可得出CF＝AC＝，此题得解．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝AD＝6，∠B＝90°，
∴AC＝＝10．
∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠EAF，∠CDF＝∠AEF，
∴△AEF∽△CDF，
∴＝．
又∵E是边AB的中点，
∴CD＝AB＝2AE，
∴＝2，
∴CF＝2AF．
∵AC＝AF+CD＝10，
∴CF＝AC＝．
故答案为：．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1）．以原点O为位似中心，把△EFO放大，使得放大前后对应线段的比为1：2，则点E的对应点E′的坐标为 （﹣8，4）或（8，﹣4） ．
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，把△EFO放大，使得放大前后对应线段的比为1：2，E（﹣4，2），
∴点E的对应点E′的坐标为（﹣4×2，2×2）或（﹣4×（﹣2），2×（﹣2）），即（﹣8，4）或（8，﹣4），
故答案为：（﹣8，4）或（8，﹣4）．
13．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+5）（x﹣3）的图象向右平移2个单位长度，得到的抛物线的关系式为 y＝（x﹣5）（x+3） ．
【分析】根据左移加，右移减，即可得出结论．
【解答】解：将二次函数y＝（x+5）（x﹣3）的图象向右平移2个单位长度，得到的抛物线的关系式为是：y＝（x+5﹣2）（x﹣3﹣2），即y＝（x+3）（x﹣5），
故答案为：y＝（x﹣5）（x+3）．
14．（3分）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则y1+y2+…+y100的值为 20 ．
【分析】根据点C1的坐标，确定y1，可求反比例函数关系式，由点C1是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到OA1的长，然后再设未知数，表示点C2的坐标，确定y2，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点C3的坐标，确定y3，……然后再求和．
【解答】解：过C1、C2、C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3…
则∠OD1C1＝∠OD2C2＝∠OD3C3＝90°，
∵三角形OA1B1是等腰直角三角形，
∴∠A1OB1＝45°，
∴∠OC1D1＝45°，
∴OD1＝C1D1，
其斜边的中点C1在反比例函数y＝，
∴C1（2，2），即y1＝2，
∴OD1＝D1A1＝2，
∴OA1＝2OD1＝4，
设A1D2＝a，则C2D2＝a 此时C2（4+a，a），代入y＝得：a（4+a）＝4，
解得：a＝2﹣2，即：y2＝2﹣2，
同理：y3＝2﹣2，
y4＝2﹣2，
……
y100＝2﹣2
∴y1+y2+…+y100＝2+2﹣2+2﹣2……2﹣2＝20，
故答案为20．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
15．（4分）已知：线段a，AE⊥AF，垂足为点A．
求作：四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AE，AF上，且AB＝BC＝a，∠ABC＝60°，CD∥AB．
【分析】以A为圆心，a为半径作弧交AE于点B，分别以A，B为圆心，a为半径作弧，两弧交于点C，连接BC，作CD⊥AF于D，四边形ABCD即为所求．
【解答】解：如图，四边形ABCD即为所求．
四、解答题（本大题共9小题，共74分）
16．（8分）（1）解方程：x2﹣3x＝4；
（2）二次函数y＝﹣x2+bx+2（b为常数）的图象与x轴相交吗？如果相交，有几个交点？
【分析】（1）先移项，然后分解因式，即可求得该方程的解；
（2）先计算b2﹣4ac的正负情况，即可得到该抛物线与x轴是否相交，并写出交点的个数．
【解答】解：（1）∵x2﹣3x＝4，
∴x2﹣3x﹣4＝0，
∴（x﹣4）（x+1）＝0，
∴x﹣4＝0或x+1＝0，
解得x1＝4，x2＝﹣1；
（2）∵二次函数y＝﹣x2+bx+2，
∴b2﹣4×（﹣1）×2＝b2+8＞0，
∴二次函数y＝﹣x2+bx+2（b为常数）的图象与x轴相交，有两个交点．
17．（6分）小明做探究物体投影的实验，并提出了一些数学问题：
（1）如图1，白天在阳光下，小明将木杆AB水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段A′B′．若木杆AB的长为1m，则其影子A′B′的长为 1 m；
（2）如图2，夜晚在路灯的正下方，小明将木杆EF水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段E'F′．
①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点P；
②若木杆EF的长为1m，经测量木杆EF距离地面1m，其影子E'F′的长为1.5m，则路灯P距离地面的高度为多少？
【分析】（1）利用平行四边形的判定和性质解决问题即可；
（2）①根据中心投影的性质画出图形即可；
②过点P作PH⊥E′F′于点H，交EF于点T．利用相似三角形的性质解决问题即可
【解答】解：（1）∵AB∥A′B′，AA′∥BB′，
∴四边形ABB′A′是平行四边形，
∴A′B′＝AB＝1（m），
故答案为：1．
（2）①如图2中，点P即为所求；
②过点P作PH⊥E′F′于点H，交EF于点T．
∵EF∥E′F′，
∴△PEF∽△PE′F′，
∴＝，
∴＝，
∴PT＝2，
∴PH＝PT+TH＝2+1＝3（m），
18．（6分）为庆祝中国共产党成立100周年，弘扬伟大建党精神，小明参加了学校组织的知识竞答节目，最后一关，答对两道单选题就顺利通关．已知第一道单选题有三个选项，第二道单选题有四个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有使用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或表格来分析小明顺利通关的概率．
（2）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”？（直接写出答案即可）
【分析】（1）画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）根据概率公式分别求出第一题和第二题使用求助的概率，然后进行比较，即可得出答案．
【解答】解：（1）分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，
∴小明顺利通关的概率为：；
（2）建议小明在第一题使用“求助”，理由如下：
如果在第一题使用“求助”，
画树状图为：
共有8种等可能的结果，小明顺利通关的结果有1种，
∴小明顺利通关的概率为；
由（1）得：如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为；
∵＞
∴建议小明在第一题使用“求助”．
19．（6分）《九章算术》是中国古代的数学专著，它以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的，奠定了中国古代数学的基本框架．书中记载了这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙CD长9里，南边城墙BC长7里，东门点E，南门点M分别位于CD，BC的中点，EF⊥CD，MH⊥BC，EF＝15里，HF经过C点，则MH的长为多少？
【分析】通过证明△HMC∽△CEF，然后利用相似比求出MH即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，EF⊥CD，MH⊥BC，
∴∠HMC＝∠DAB＝∠AEG＝90°，
∴MC∥EF．
∴∠HCM＝∠F．
∴△HMC∽△CEF，
∴＝，即＝，
解得MH＝1.05．
答：MH等于1.05里．
20．（8分）如图1是一个手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，经测量，BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，求点C到AE的距离．（结果保留小数点后一位）
参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.73，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19．
【分析】要求点C到AE的距离，所以想到过点C作CN⊥AE，垂足为N，再把60°的角放在直角三角形中，所以过点B作BM⊥AE，垂足为M，可得BM的长，∠ABM＝30°，从而求出∠CBD＝20°，再把20°的角放在直角三角形中，所以过点C作CD⊥BM，垂足为D，可得∠BCD＝70°，然后利用70°的正弦值求出BD的长即可解答．
【解答】解：过点C作CN⊥AE，垂足为N，过点B作BM⊥AE，垂足为M，过点C作CD⊥BM，垂足为D，
∴四边形CDMN是矩形，
∴CN＝DM，
在Rt△ABD中，∠B＝60°，AB＝16cm，
∴BD＝ABsin60°＝16×＝8（cm），
∠ABM＝90°﹣∠B＝30°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABM＝20°，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠CBD＝70°，
在Rt△BDC中，BC＝8cm，∠BCD＝70°，
∴BD＝BCsin70°≈8×0.94＝7.52（cm），
∴DM＝BM﹣BD＝8﹣7.52≈6.3（cm），
∴DM＝CN＝6.3cm，
答：点C到AE的距离为6.3cm．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，M，N分别是AF，CE的中点．
（1）求证：AF＝CE；
（2）当矩形ABCD满足什么条件时，四边形EMFN为正方形？请说明理由．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABF≌△DCF，由全等三角形的性质可得出结论；
（2）先证明四边形MFNE为平行四边形，得出△FCN为等腰直角三角形，得出FN＝CN＝EN，∠ENF＝90°，则可证出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，
∵点F是BC中点，
∴BF＝FC，且∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝CD，
∴△ABF≌△DCF（SAS），
∴AF＝CE；
（2）解：当BC＝2AB时，四边形EMFN为正方形．
理由：由（1）知AE∥CF，AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵M，N分别是AF，CE的中点，
∴MF＝EN，
∴四边形MFNE为平行四边形，
∵BC＝2AB，F为BC的中点，E为AD的中点，
∴AB＝BF，ED＝CD，
又∵∠B＝∠DCF＝∠D＝90°，
∴∠AFB＝∠DCE＝45°，
∴∠NFC＝∠NCF＝45°，
∴△FCN为等腰直角三角形，
∴FN＝CN＝EN，∠ENF＝90°，
∴四边形EMFN为正方形．
22．（10分）如图，某公司用一根长为6m的铝合金型材制作一个“日”字形窗户的框架ABCD，并且恰好用完整条铝合金型材．设AB的长为xm，矩形ABCD的面积为ym2．
（1）写出y与x的关系式，并指出x的取值范围；
（2）公司决定将该窗户安装中空玻璃（铝合金型材的宽度忽略不计），已知铝合金型材的价格为80元/m，中空玻璃的价格为110元/m2，当AB为多少米时，窗户的造价最大？最大造价是多少？
【分析】（1）求出AD＝，即得y＝AB•AD＝﹣x2+3x，由＞0，可得x的取值范围是0＜x＜2；
（2）设窗户的造价为W元，即得W＝﹣165（x﹣1）2+645，由二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：AD＝，
∴y＝AB•AD＝x•＝﹣x2+3x，
∵＞0，
∴x＜2，
∴x的取值范围是0＜x＜2；
（2）设窗户的造价为W元，根据题意得：
W＝6×80+110×（﹣x2+3x）＝﹣165x2+330x+480＝﹣165（x﹣1）2+645，
∵﹣165＜0，
∴x＝1时，W最大为645，
∴AB为1m时，窗户的最大造价是645元．
23．（10分）某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
【探究发现】
6+6＝2＝12；；
0.3+0.3＝2＝0.6；＝2；
0.2+3.2＞2＝1.6；．
【猜想结论】
如果a＞0，b＞0，那么存在a+b≥2（当且仅当a＝b时，等号成立）．
【证明结论】
∵≥0
∴①当且仅当＝0，即a＝b时，a﹣2+b＝0，∴a+b＝2；
②当≠0，即a≠b时，a﹣2+b＞0，∴a+b＞2．
综合上述可得：若a＞0，b＞0，则a+b≥2成立（当且仅当a＝b时，等号成立）．
【应用结论】
（1）对于函数y＝x+（x＞0），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？
（2）对于函数y＝+x（x＞5），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？
【拓展应用】
疫情期间，高速公路某检测站入口处，为了解决疑似人员的临时隔离问题，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），计划用钢丝网围成6间相同的长方形隔离房．如图，已知每间隔离房的面积为6m2．问：每间隔离房的长、宽各为多少米时，所用钢丝网长度最短？最短长度是多少？
【分析】【应用结论】（1）将x和分别看成猜想发现中的a和b，即可求出答案；
（2）将函数y＝+x变形为：y＝+x﹣5+5，然后结合猜想运用的结论解题；
拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为米，所用钢丝网长度为y米，结合周长公式列出一个方程，于是得到结论．
【解答】解：【应用结论】（1）∵x＞0，
∴x+≥2，
∴y≥2，
∴当x＝时，ymin＝2，
此时x2＝1，
只取x＝1，
即当x＝1时，函数y的最小值为2．
（2）∵x＞5，
∴x﹣5＞0，
∴y＝+x﹣5+5＝2+5≥7，
∴当＝x﹣5时，ymin＝7，
此时（x﹣5）2＝1，
∴x1＝6，x2＝﹣4（舍去），
即当x＝6时，函数y的最小值为7；
【拓展应用】：设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为米，所用钢丝网长度为y米，
由题意得：y＝6x+9×＝+9x，
即：y＝+9x，
∴y＝+9x≥2＝2×18＝36，
∴当x＝2时，即每间隔离房的长、宽各为3米和2米时，所用钢丝网长度最短，最短长度是36米．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．动点P从点A出发，沿AC方向运动，同时动点Q从点C出发，沿CB方向运动，它们的速度均为每秒1个单位长度．连接PQ，过点P作PN⊥AB于点N，以PN，PQ为邻边作平行四边形PQMN．当点M落在线段AB上时，P，Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒（t＞0），请解答下列问题：
（1）用含t的代数式表示PN；
（2）当P，Q两点同时停止运动时，求t的值；
（3）设平行四边形PQMN面积为S，求S与t之间的关系式；
（4）是否存在某一时刻t，使点P在线段MC的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB，再根据sinA＝＝，求解即可；
（2）当点M落在AB上时，根据sinB＝＝，求解即可；
（3）如图，设直线QM交AB于点T．求出NT，可得结论；
（4）根据PC＝PM，利用勾股定理构建方程求解即可．
【解答】解（1）∵PN⊥AB，
∴∠ANP＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，
∴AB＝＝＝10，
∵sinA＝＝，
∴＝，
∴PN＝t；
（2）∵四边形PQMN是平行四边形，
∴QM＝PN＝t，
当点M落在AB上时，sinB＝＝，
∴＝，
∴t＝；
（3）如图，设直线QM交AB于点T．
由题意AN＝AP•cosA＝t，BT＝BQ•cosB＝（6﹣t），
∴NT＝AB﹣AN﹣BT＝10﹣t﹣（6﹣t）×＝﹣t，
∴S＝PN•NT＝t×（﹣t）＝﹣t2+t（0＜t≤）；
（4）如图，过点P作PJ⊥QT于点J，连接PM．
∵∠PNT＝∠JTN＝∠PJT＝90°，
∴四边形PNTJ是矩形，
∴PJ＝NT＝﹣t，PN＝JT＝t，
∵点P在CM的垂直平分线上，
∴PC＝PM，
∴PC2＝PM2＝PJ2+MJ2，
∴（8﹣t）2＝（﹣t）2+[（6﹣t）﹣2×t]2，
解得，t＝或0（舍去），
∴当t＝时，点P在线段MC的垂直平分线上．
2021-2022学年山东省青岛市李沧区、黄岛区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）如图是由四个大小相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°，高为5m．则扶梯的长度为（ ）
A．5m B． C．10m D．15m
3．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上．若x1＜0＜x2，则y1与y2的大小关系为（ ）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
4．（3分）“劳动创造世界”，劳动教育已纳入国家人才培养全过程．某学农基地加大投入，建设新型农场，该农场一种作物的亩产量两年内从400千克增加到484千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为（ ）
A．400（1+2x）＝484 B．400（1+x）2＝484
C．400（1+x）＝484 D．400（1+x2）＝484
5．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，连接AC，BD，若BD＝8，则AC的长为（ ）
A． B．8 C． D．16
6．（3分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．如图是视力表的一部分，图中的“”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）
A．①和④ B．②和③ C．①和② D．②和④
7．（3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处，已知∠DMN＝30°，连接BM，则∠AMB的度数为（ ）
A．60° B．75° C．80° D．85°
8．（3分）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝cx+a和二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）计算：cos230°+sin230°﹣2tan45°＝ ．
10．（3分）在x2+（ ）+16＝0的括号内添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根，则这个一次项可以是 ．
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F．若AB＝8，AD＝6，则CF的长为 ．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1）．以原点O为位似中心，把△EFO放大，使得放大前后对应线段的比为1：2，则点E的对应点E′的坐标为 ．
13．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+5）（x﹣3）的图象向右平移2个单位长度，得到的抛物线的关系式为 ．
14．（3分）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则y1+y2+…+y100的值为 ．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
15．（4分）已知：线段a，AE⊥AF，垂足为点A．
求作：四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AE，AF上，且AB＝BC＝a，∠ABC＝60°，CD∥AB．
四、解答题（本大题共9小题，共74分）
16．（8分）（1）解方程：x2﹣3x＝4；
（2）二次函数y＝﹣x2+bx+2（b为常数）的图象与x轴相交吗？如果相交，有几个交点？
17．（6分）小明做探究物体投影的实验，并提出了一些数学问题：
（1）如图1，白天在阳光下，小明将木杆AB水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段A′B′．若木杆AB的长为1m，则其影子A′B′的长为 m；
（2）如图2，夜晚在路灯的正下方，小明将木杆EF水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段E'F′．
①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点P；
②若木杆EF的长为1m，经测量木杆EF距离地面1m，其影子E'F′的长为1.5m，则路灯P距离地面的高度为多少？
18．（6分）为庆祝中国共产党成立100周年，弘扬伟大建党精神，小明参加了学校组织的知识竞答节目，最后一关，答对两道单选题就顺利通关．已知第一道单选题有三个选项，第二道单选题有四个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有使用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或表格来分析小明顺利通关的概率．
（2）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”？（直接写出答案即可）
19．（6分）《九章算术》是中国古代的数学专著，它以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的，奠定了中国古代数学的基本框架．书中记载了这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙CD长9里，南边城墙BC长7里，东门点E，南门点M分别位于CD，BC的中点，EF⊥CD，MH⊥BC，EF＝15里，HF经过C点，则MH的长为多少？
20．（8分）如图1是一个手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，经测量，BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，求点C到AE的距离．（结果保留小数点后一位）
参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.73，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，M，N分别是AF，CE的中点．
（1）求证：AF＝CE；
（2）当矩形ABCD满足什么条件时，四边形EMFN为正方形？请说明理由．
22．（10分）如图，某公司用一根长为6m的铝合金型材制作一个“日”字形窗户的框架ABCD，并且恰好用完整条铝合金型材．设AB的长为xm，矩形ABCD的面积为ym2．
（1）写出y与x的关系式，并指出x的取值范围；
（2）公司决定将该窗户安装中空玻璃（铝合金型材的宽度忽略不计），已知铝合金型材的价格为80元/m，中空玻璃的价格为110元/m2，当AB为多少米时，窗户的造价最大？最大造价是多少？
23．（10分）某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
【探究发现】
6+6＝2＝12；；
0.3+0.3＝2＝0.6；＝2；
0.2+3.2＞2＝1.6；．
【猜想结论】
如果a＞0，b＞0，那么存在a+b≥2（当且仅当a＝b时，等号成立）．
【证明结论】
∵≥0
∴①当且仅当＝0，即a＝b时，a﹣2+b＝0，∴a+b＝2；
②当≠0，即a≠b时，a﹣2+b＞0，∴a+b＞2．
综合上述可得：若a＞0，b＞0，则a+b≥2成立（当且仅当a＝b时，等号成立）．
【应用结论】
（1）对于函数y＝x+（x＞0），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？
（2）对于函数y＝+x（x＞5），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？
【拓展应用】
疫情期间，高速公路某检测站入口处，为了解决疑似人员的临时隔离问题，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），计划用钢丝网围成6间相同的长方形隔离房．如图，已知每间隔离房的面积为6m2．问：每间隔离房的长、宽各为多少米时，所用钢丝网长度最短？最短长度是多少？
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．动点P从点A出发，沿AC方向运动，同时动点Q从点C出发，沿CB方向运动，它们的速度均为每秒1个单位长度．连接PQ，过点P作PN⊥AB于点N，以PN，PQ为邻边作平行四边形PQMN．当点M落在线段AB上时，P，Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒（t＞0），请解答下列问题：
（1）用含t的代数式表示PN；
（2）当P，Q两点同时停止运动时，求t的值；
（3）设平行四边形PQMN面积为S，求S与t之间的关系式；
（4）是否存在某一时刻t，使点P在线段MC的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
2021-2022学年山东省青岛市李沧区、黄岛区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）如图是由四个大小相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用主视图的定义，即从几何体的正面观察得出视图即可．
【解答】解：从几何体的正面看，底层是三个小正方形，上层的右边是一个小正方形．
故选：D．
2．（3分）某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°，高为5m．则扶梯的长度为（ ）
A．5m B． C．10m D．15m
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵自动扶梯的倾斜角为30°，高为5m，
∴扶梯的长度是2×5＝10（m），
故选：C．
3．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数的图象上．若x1＜0＜x2，则y1与y2的大小关系为（ ）
A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0
【分析】由k＞0，双曲线在第一，三象限，根据x1＜0＜x2即可判断A在第三象限，B在第一象限，从而判定y1＜0＜y2．
【解答】解：∵k＝3＞0，
∴双曲线在第一，三象限，
∵x1＜0＜x2，
∴A在第三象限，B在第一象限，
∴y1＜0＜y2；
故选：A．
4．（3分）“劳动创造世界”，劳动教育已纳入国家人才培养全过程．某学农基地加大投入，建设新型农场，该农场一种作物的亩产量两年内从400千克增加到484千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为（ ）
A．400（1+2x）＝484 B．400（1+x）2＝484
C．400（1+x）＝484 D．400（1+x2）＝484
【分析】可先用x的代数式表示出第一年的产量，那么第二年的产量×（1+增长率）＝484，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：第一年的产量为400（1+x），
第二年的产量在第一年产量的基础上增加x，为400（1+x）（1+x），
则列出的方程是400（1+x）2＝484．
故选：B．
5．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，连接AC，BD，若BD＝8，则AC的长为（ ）
A． B．8 C． D．16
【分析】如图，设AC，BD交于O，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD＝4，∠DAO＝DAB＝30°，求得AD＝2OD＝8，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：如图，设AC，BD交于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD＝4，∠DAO＝DAB＝30°，
∴AD＝2OD＝8，
∴AO＝＝＝4，
∴AC＝2AO＝8，
故选：C．
6．（3分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．如图是视力表的一部分，图中的“”均是相似图形，其中不是位似图形的是（ ）
A．①和④ B．②和③ C．①和② D．②和④
【分析】根据位似图形的概念判断即可．
【解答】解：解：①和④、①和②、②和④，两个图形是相似图形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行，都是位似图形；
②和③，对应边不平行，不是位似图形，
故选：B．
7．（3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处，已知∠DMN＝30°，连接BM，则∠AMB的度数为（ ）
A．60° B．75° C．80° D．85°
【分析】由四边形ABCD是矩形，得∠A＝∠ABC＝90°，根据矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处，得∠NME＝∠ABC＝90°，ME＝BE，而∠DMN＝30°，即知∠AME＝60°，∠AEM＝30°，即∠EMB+∠EBM＝30°，可得∠EMB＝∠EBM＝15°，故∠AMB＝∠AME+∠EMB＝75°．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∵矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点M处，点C落在点N处，
∴∠NME＝∠ABC＝90°，ME＝BE，
∵∠DMN＝30°，
∴∠AME＝180°﹣∠NME﹣∠DMN＝60°，
∴∠AEM＝90°﹣∠AME＝30°，
∴∠EMB+∠EBM＝30°，
∵ME＝BE，
∴∠EMB＝∠EBM＝15°，
∴∠AMB＝∠AME+∠EMB＝75°，
故选：B．
8．（3分）已知反比例函数y＝的图象如图所示，则一次函数y＝cx+a和二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据反比例函数的图象得出b＜0，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴b＜0，
A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误；
B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，b＞0，
∴与b＜0矛盾，B错误；
C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，b＞0，
∴与b＜0矛盾，C错误；
D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，
∴a＞0，b＜0，c＜0，
∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）计算：cos230°+sin230°﹣2tan45°＝ ﹣1 ．
【分析】根据sin2α+cos2α＝1进行计算即可．
【解答】解：cos230°+sin230°﹣2tan45°＝
＝1﹣2×1
＝1﹣2
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
10．（3分）在x2+（ ）+16＝0的括号内添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根，则这个一次项可以是 8x或﹣8x ．
【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，填写一次项使根的判别式等于0即可．
【解答】解：在x2+（ ）+16＝0的括号内添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根，则这个一次项可以是8x或﹣8x．
故答案为：8x或﹣8x．
11．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F．若AB＝8，AD＝6，则CF的长为 ．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AC的长，由AB∥CD可得出∠DCF＝∠EAF，∠CDF＝∠AEF，进而可得出△AEF∽△CDF，利用相似三角形的性质结合CD＝AB＝2AE，即可得出CF＝2AF，再结合AC＝AF+CF＝10，即可得出CF＝AC＝，此题得解．
【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝AD＝6，∠B＝90°，
∴AC＝＝10．
∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠EAF，∠CDF＝∠AEF，
∴△AEF∽△CDF，
∴＝．
又∵E是边AB的中点，
∴CD＝AB＝2AE，
∴＝2，
∴CF＝2AF．
∵AC＝AF+CD＝10，
∴CF＝AC＝．
故答案为：．
12．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1）．以原点O为位似中心，把△EFO放大，使得放大前后对应线段的比为1：2，则点E的对应点E′的坐标为 （﹣8，4）或（8，﹣4） ．
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，把△EFO放大，使得放大前后对应线段的比为1：2，E（﹣4，2），
∴点E的对应点E′的坐标为（﹣4×2，2×2）或（﹣4×（﹣2），2×（﹣2）），即（﹣8，4）或（8，﹣4），
故答案为：（﹣8，4）或（8，﹣4）．
13．（3分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+5）（x﹣3）的图象向右平移2个单位长度，得到的抛物线的关系式为 y＝（x﹣5）（x+3） ．
【分析】根据左移加，右移减，即可得出结论．
【解答】解：将二次函数y＝（x+5）（x﹣3）的图象向右平移2个单位长度，得到的抛物线的关系式为是：y＝（x+5﹣2）（x﹣3﹣2），即y＝（x+3）（x﹣5），
故答案为：y＝（x﹣5）（x+3）．
14．（3分）如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1（x1，y1），C2（x2，y2），C3（x3，y3），…均在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则y1+y2+…+y100的值为 20 ．
【分析】根据点C1的坐标，确定y1，可求反比例函数关系式，由点C1是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到OA1的长，然后再设未知数，表示点C2的坐标，确定y2，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点C3的坐标，确定y3，……然后再求和．
【解答】解：过C1、C2、C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3…
则∠OD1C1＝∠OD2C2＝∠OD3C3＝90°，
∵三角形OA1B1是等腰直角三角形，
∴∠A1OB1＝45°，
∴∠OC1D1＝45°，
∴OD1＝C1D1，
其斜边的中点C1在反比例函数y＝，
∴C1（2，2），即y1＝2，
∴OD1＝D1A1＝2，
∴OA1＝2OD1＝4，
设A1D2＝a，则C2D2＝a 此时C2（4+a，a），代入y＝得：a（4+a）＝4，
解得：a＝2﹣2，即：y2＝2﹣2，
同理：y3＝2﹣2，
y4＝2﹣2，
……
y100＝2﹣2
∴y1+y2+…+y100＝2+2﹣2+2﹣2……2﹣2＝20，
故答案为20．
三、作图题（本大题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
15．（4分）已知：线段a，AE⊥AF，垂足为点A．
求作：四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AE，AF上，且AB＝BC＝a，∠ABC＝60°，CD∥AB．
【分析】以A为圆心，a为半径作弧交AE于点B，分别以A，B为圆心，a为半径作弧，两弧交于点C，连接BC，作CD⊥AF于D，四边形ABCD即为所求．
【解答】解：如图，四边形ABCD即为所求．
四、解答题（本大题共9小题，共74分）
16．（8分）（1）解方程：x2﹣3x＝4；
（2）二次函数y＝﹣x2+bx+2（b为常数）的图象与x轴相交吗？如果相交，有几个交点？
【分析】（1）先移项，然后分解因式，即可求得该方程的解；
（2）先计算b2﹣4ac的正负情况，即可得到该抛物线与x轴是否相交，并写出交点的个数．
【解答】解：（1）∵x2﹣3x＝4，
∴x2﹣3x﹣4＝0，
∴（x﹣4）（x+1）＝0，
∴x﹣4＝0或x+1＝0，
解得x1＝4，x2＝﹣1；
（2）∵二次函数y＝﹣x2+bx+2，
∴b2﹣4×（﹣1）×2＝b2+8＞0，
∴二次函数y＝﹣x2+bx+2（b为常数）的图象与x轴相交，有两个交点．
17．（6分）小明做探究物体投影的实验，并提出了一些数学问题：
（1）如图1，白天在阳光下，小明将木杆AB水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段A′B′．若木杆AB的长为1m，则其影子A′B′的长为 1 m；
（2）如图2，夜晚在路灯的正下方，小明将木杆EF水平放置，此时木杆在水平地面上的影子为线段E'F′．
①请在图中画出表示路灯灯泡位置的点P；
②若木杆EF的长为1m，经测量木杆EF距离地面1m，其影子E'F′的长为1.5m，则路灯P距离地面的高度为多少？
【分析】（1）利用平行四边形的判定和性质解决问题即可；
（2）①根据中心投影的性质画出图形即可；
②过点P作PH⊥E′F′于点H，交EF于点T．利用相似三角形的性质解决问题即可
【解答】解：（1）∵AB∥A′B′，AA′∥BB′，
∴四边形ABB′A′是平行四边形，
∴A′B′＝AB＝1（m），
故答案为：1．
（2）①如图2中，点P即为所求；
②过点P作PH⊥E′F′于点H，交EF于点T．
∵EF∥E′F′，
∴△PEF∽△PE′F′，
∴＝，
∴＝，
∴PT＝2，
∴PH＝PT+TH＝2+1＝3（m），
18．（6分）为庆祝中国共产党成立100周年，弘扬伟大建党精神，小明参加了学校组织的知识竞答节目，最后一关，答对两道单选题就顺利通关．已知第一道单选题有三个选项，第二道单选题有四个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有使用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．
（1）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或表格来分析小明顺利通关的概率．
（2）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”？（直接写出答案即可）
【分析】（1）画出树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明顺利通关的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）根据概率公式分别求出第一题和第二题使用求助的概率，然后进行比较，即可得出答案．
【解答】解：（1）分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，
∴小明顺利通关的概率为：；
（2）建议小明在第一题使用“求助”，理由如下：
如果在第一题使用“求助”，
画树状图为：
共有8种等可能的结果，小明顺利通关的结果有1种，
∴小明顺利通关的概率为；
由（1）得：如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为；
∵＞
∴建议小明在第一题使用“求助”．
19．（6分）《九章算术》是中国古代的数学专著，它以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的，奠定了中国古代数学的基本框架．书中记载了这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙CD长9里，南边城墙BC长7里，东门点E，南门点M分别位于CD，BC的中点，EF⊥CD，MH⊥BC，EF＝15里，HF经过C点，则MH的长为多少？
【分析】通过证明△HMC∽△CEF，然后利用相似比求出MH即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，EF⊥CD，MH⊥BC，
∴∠HMC＝∠DAB＝∠AEG＝90°，
∴MC∥EF．
∴∠HCM＝∠F．
∴△HMC∽△CEF，
∴＝，即＝，
解得MH＝1.05．
答：MH等于1.05里．
20．（8分）如图1是一个手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，经测量，BC＝8cm，AB＝16cm．当AB，BC转动到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°时，求点C到AE的距离．（结果保留小数点后一位）
参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.73，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19．
【分析】要求点C到AE的距离，所以想到过点C作CN⊥AE，垂足为N，再把60°的角放在直角三角形中，所以过点B作BM⊥AE，垂足为M，可得BM的长，∠ABM＝30°，从而求出∠CBD＝20°，再把20°的角放在直角三角形中，所以过点C作CD⊥BM，垂足为D，可得∠BCD＝70°，然后利用70°的正弦值求出BD的长即可解答．
【解答】解：过点C作CN⊥AE，垂足为N，过点B作BM⊥AE，垂足为M，过点C作CD⊥BM，垂足为D，
∴四边形CDMN是矩形，
∴CN＝DM，
在Rt△ABD中，∠B＝60°，AB＝16cm，
∴BD＝ABsin60°＝16×＝8（cm），
∠ABM＝90°﹣∠B＝30°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABM＝20°，
∵∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠CBD＝70°，
在Rt△BDC中，BC＝8cm，∠BCD＝70°，
∴BD＝BCsin70°≈8×0.94＝7.52（cm），
∴DM＝BM﹣BD＝8﹣7.52≈6.3（cm），
∴DM＝CN＝6.3cm，
答：点C到AE的距离为6.3cm．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，M，N分别是AF，CE的中点．
（1）求证：AF＝CE；
（2）当矩形ABCD满足什么条件时，四边形EMFN为正方形？请说明理由．
【分析】（1）由“SAS”可证△ABF≌△DCF，由全等三角形的性质可得出结论；
（2）先证明四边形MFNE为平行四边形，得出△FCN为等腰直角三角形，得出FN＝CN＝EN，∠ENF＝90°，则可证出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，
∵点F是BC中点，
∴BF＝FC，且∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝CD，
∴△ABF≌△DCF（SAS），
∴AF＝CE；
（2）解：当BC＝2AB时，四边形EMFN为正方形．
理由：由（1）知AE∥CF，AE＝CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵M，N分别是AF，CE的中点，
∴MF＝EN，
∴四边形MFNE为平行四边形，
∵BC＝2AB，F为BC的中点，E为AD的中点，
∴AB＝BF，ED＝CD，
又∵∠B＝∠DCF＝∠D＝90°，
∴∠AFB＝∠DCE＝45°，
∴∠NFC＝∠NCF＝45°，
∴△FCN为等腰直角三角形，
∴FN＝CN＝EN，∠ENF＝90°，
∴四边形EMFN为正方形．
22．（10分）如图，某公司用一根长为6m的铝合金型材制作一个“日”字形窗户的框架ABCD，并且恰好用完整条铝合金型材．设AB的长为xm，矩形ABCD的面积为ym2．
（1）写出y与x的关系式，并指出x的取值范围；
（2）公司决定将该窗户安装中空玻璃（铝合金型材的宽度忽略不计），已知铝合金型材的价格为80元/m，中空玻璃的价格为110元/m2，当AB为多少米时，窗户的造价最大？最大造价是多少？
【分析】（1）求出AD＝，即得y＝AB•AD＝﹣x2+3x，由＞0，可得x的取值范围是0＜x＜2；
（2）设窗户的造价为W元，即得W＝﹣165（x﹣1）2+645，由二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）根据题意得：AD＝，
∴y＝AB•AD＝x•＝﹣x2+3x，
∵＞0，
∴x＜2，
∴x的取值范围是0＜x＜2；
（2）设窗户的造价为W元，根据题意得：
W＝6×80+110×（﹣x2+3x）＝﹣165x2+330x+480＝﹣165（x﹣1）2+645，
∵﹣165＜0，
∴x＝1时，W最大为645，
∴AB为1m时，窗户的最大造价是645元．
23．（10分）某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
【探究发现】
6+6＝2＝12；；
0.3+0.3＝2＝0.6；＝2；
0.2+3.2＞2＝1.6；．
【猜想结论】
如果a＞0，b＞0，那么存在a+b≥2（当且仅当a＝b时，等号成立）．
【证明结论】
∵≥0
∴①当且仅当＝0，即a＝b时，a﹣2+b＝0，∴a+b＝2；
②当≠0，即a≠b时，a﹣2+b＞0，∴a+b＞2．
综合上述可得：若a＞0，b＞0，则a+b≥2成立（当且仅当a＝b时，等号成立）．
【应用结论】
（1）对于函数y＝x+（x＞0），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？
（2）对于函数y＝+x（x＞5），当x取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？
【拓展应用】
疫情期间，高速公路某检测站入口处，为了解决疑似人员的临时隔离问题，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），计划用钢丝网围成6间相同的长方形隔离房．如图，已知每间隔离房的面积为6m2．问：每间隔离房的长、宽各为多少米时，所用钢丝网长度最短？最短长度是多少？
【分析】【应用结论】（1）将x和分别看成猜想发现中的a和b，即可求出答案；
（2）将函数y＝+x变形为：y＝+x﹣5+5，然后结合猜想运用的结论解题；
拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为米，所用钢丝网长度为y米，结合周长公式列出一个方程，于是得到结论．
【解答】解：【应用结论】（1）∵x＞0，
∴x+≥2，
∴y≥2，
∴当x＝时，ymin＝2，
此时x2＝1，
只取x＝1，
即当x＝1时，函数y的最小值为2．
（2）∵x＞5，
∴x﹣5＞0，
∴y＝+x﹣5+5＝2+5≥7，
∴当＝x﹣5时，ymin＝7，
此时（x﹣5）2＝1，
∴x1＝6，x2＝﹣4（舍去），
即当x＝6时，函数y的最小值为7；
【拓展应用】：设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为米，所用钢丝网长度为y米，
由题意得：y＝6x+9×＝+9x，
即：y＝+9x，
∴y＝+9x≥2＝2×18＝36，
∴当x＝2时，即每间隔离房的长、宽各为3米和2米时，所用钢丝网长度最短，最短长度是36米．
24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．动点P从点A出发，沿AC方向运动，同时动点Q从点C出发，沿CB方向运动，它们的速度均为每秒1个单位长度．连接PQ，过点P作PN⊥AB于点N，以PN，PQ为邻边作平行四边形PQMN．当点M落在线段AB上时，P，Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒（t＞0），请解答下列问题：
（1）用含t的代数式表示PN；
（2）当P，Q两点同时停止运动时，求t的值；
（3）设平行四边形PQMN面积为S，求S与t之间的关系式；
（4）是否存在某一时刻t，使点P在线段MC的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB，再根据sinA＝＝，求解即可；
（2）当点M落在AB上时，根据sinB＝＝，求解即可；
（3）如图，设直线QM交AB于点T．求出NT，可得结论；
（4）根据PC＝PM，利用勾股定理构建方程求解即可．
【解答】解（1）∵PN⊥AB，
∴∠ANP＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝8，CB＝6，
∴AB＝＝＝10，
∵sinA＝＝，
∴＝，
∴PN＝t；
（2）∵四边形PQMN是平行四边形，
∴QM＝PN＝t，
当点M落在AB上时，sinB＝＝，
∴＝，
∴t＝；
（3）如图，设直线QM交AB于点T．
由题意AN＝AP•cosA＝t，BT＝BQ•cosB＝（6﹣t），
∴NT＝AB﹣AN﹣BT＝10﹣t﹣（6﹣t）×＝﹣t，
∴S＝PN•NT＝t×（﹣t）＝﹣t2+t（0＜t≤）；
（4）如图，过点P作PJ⊥QT于点J，连接PM．
∵∠PNT＝∠JTN＝∠PJT＝90°，
∴四边形PNTJ是矩形，
∴PJ＝NT＝﹣t，PN＝JT＝t，
∵点P在CM的垂直平分线上，
∴PC＝PM，
∴PC2＝PM2＝PJ2+MJ2，
∴（8﹣t）2＝（﹣t）2+[（6﹣t）﹣2×t]2，
解得，t＝或0（舍去），
∴当t＝时，点P在线段MC的垂直平分线上．
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