2021-2022学年山东省济宁市兖州区九年级（上）期末数学试卷(解析版)

这是一份2021-2022学年山东省济宁市兖州区九年级（上）期末数学试卷(解析版)，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年山东省济宁市兖州区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共10道小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．（3分）“一个不透明的袋中装有三个球，分别标有1，2，x这三个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球，摸出球上的号码小于5”是必然事件，则x的值可能是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（3分）如果2是一元二次方程x2﹣c＝0的一个根，那么常数c是（　　）
A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4
3．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）若点（﹣5，y1），（﹣3，y2），（3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y1＞y3
5．（3分）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H等于（　　）

A．70° B．80° C．110° D．120°
6．（3分）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（　　）

A．（﹣1，﹣1） B． C． D．（﹣2，﹣1）
7．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC＝2．将△ABC绕着点A顺时针旋转90度到△AB1C1的位置，则边BC扫过区域的面积为（　　）

A． B．π C． D．2π
8．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．下列结论：
①ac＞0；
②当x＞0时，y随x的增大而增大；
③3a+c＝0；
④a+b≥am2+bm．
其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A2O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；……按此规律运动到点A2022处，则点A2022与点A0间的距离是（　　）

A．4 B．2 C．2 D．0
10．（3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题：本大题共5道小题，每小题3分，满分共15分，要求只写出最后结果．
11．（3分）如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝　 　．

12．（3分）如图，AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD＝AB，如果∠ADB＝35°，则∠BOC＝　 　度．

13．（3分）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有　 　人参加聚会．
14．（3分）如图，已知点A是反比例函数在第一象限图象上的一个动点，连接OA，以为长，OA为宽作矩形AOCB，且点C在第四象限，随着点A的运动，点C也随之运动，但点C始终在反比例函数的图象上，则k的值为　 　．

15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是　 　．

三、解答题：本大题共7道小题，满分共55分，解答应写出文字说明和推理步骤．
16．（6分）如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，楼高BC是多少？

17．（7分）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
18．（8分）2021年是中国共产党建党100周年华诞．“五一”后某校组织了八年级学生参加建党100周年知识竞赛，为了了解学生对党史知识的掌握情况，学校随机抽取了部分同学的成绩作为样本，把成绩按不及格、合格、良好、优秀四个等级分别进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图与扇形统计图：

请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）根据给出的信息，将这两个统计图补充完整（不必写出计算过程）；
（2）该校八年级有学生650人，请估计成绩未达到“良好”及以上的有多少人？
（3）“优秀”学生中有甲、乙、丙、丁四位同学表现突出，现从中派2人参加区级比赛，求抽到甲、乙两人的概率．
19．（7分）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）图象分别交于A（﹣2，m），B（4，n），与y轴交于点C，连接OA，OB．
（1）求反比例函数y＝（x＞0）和一次函数y＝﹣x+b的表达式；
（2）求△AOB的面积．

20．（8分）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点D，割线AC⊥DE于点E且交⊙O于点F，连接DF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）求证：DF2＝EF•AB．

21．（9分）某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格．经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件；若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件．假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数．
（1）试求y与x之间的关系式；
（2）在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少（总利润＝总收入﹣总成本）？
22．（10分）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．
（1）写出下列图形的宽距：
①半径为1的圆：　 　；
②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：　 　；

（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．
①若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；
②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．


2021-2022学年山东省济宁市兖州区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10道小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．（3分）“一个不透明的袋中装有三个球，分别标有1，2，x这三个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球，摸出球上的号码小于5”是必然事件，则x的值可能是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据必然事件的意义，进行解答即可．
【解答】解：根据题意可得，x的值可能为4．如果是5、7、6，那么与摸出球上的号码小于5”是必然事件相违背．
故选：A．
2．（3分）如果2是一元二次方程x2﹣c＝0的一个根，那么常数c是（　　）
A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4
【分析】把x＝2代入已知方程，列出关于c的新方程，通过解新方程可以求得c的值．
【解答】解：∵如果x＝2是一元二次方程x2﹣c＝0的一个根，
∴把x＝2代入一元二次方程x2﹣c＝0中得c＝4．
故选：B．
3．（3分）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
4．（3分）若点（﹣5，y1），（﹣3，y2），（3，y3）都在反比例函数y＝的图象上，则（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y1＞y2 D．y2＞y1＞y3
【分析】根据反比例函数的增减性进行判断即可．
【解答】解：
在反比例函数y＝中，k＝3＞0，
∴在每个象限内y随x的增大而减小，
∵﹣5＜﹣3，
∴点（﹣5，y1），（﹣3，y2）在第三象限，
∴0＞y1＞y2，
∵点（3，y3）在第一象限，
∴y3＞0，
∴y3＞y1＞y2，
故选：C．
5．（3分）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H等于（　　）

A．70° B．80° C．110° D．120°
【分析】利用相似多边形的对应角相等求得答案即可．
【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，
∴∠E＝∠A＝80°，∠G＝∠C＝90°，
∴∠H＝360°﹣∠E﹣∠F﹣∠G＝360°﹣80°﹣70°﹣90°＝120°，
故选：D．
6．（3分）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C的坐标为（　　）

A．（﹣1，﹣1） B． C． D．（﹣2，﹣1）
【分析】作AH⊥x轴于H，CG⊥x轴于G，由△OCG∽△OAH，得，从而得出OG，CG的长．
【解答】解：作AH⊥x轴于H，CG⊥x轴于G，

∴△OCG∽△OAH，
∴，
∵A（4，3），
∴OH＝4，AH＝3，
∵△BOA∽△DOC，且OA：OC＝3，
∴OG＝，CG＝1，
∴C（﹣，﹣1），
故选：B．
7．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC＝2．将△ABC绕着点A顺时针旋转90度到△AB1C1的位置，则边BC扫过区域的面积为（　　）

A． B．π C． D．2π
【分析】根据勾股定理求出AB，根据旋转求出∠CAC1＝90°，根据图形得出阴影部分的面积S＝S+S﹣S△ACB﹣S，再求出答案即可．
【解答】解：在Rt△ACB中，∠C＝90o，AC＝BC＝2，由勾股定理得：AB＝＝2，
∵将△ABC绕着点A顺时针旋转90度到△AB1C1的位置，
∴∠CAC1＝90°，
∴阴影部分的面积S＝S+S﹣S△ACB﹣S
＝+2×2﹣2×2﹣
＝π，
故选：B．
8．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．下列结论：
①ac＞0；
②当x＞0时，y随x的增大而增大；
③3a+c＝0；
④a+b≥am2+bm．
其中正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】把点A（﹣1，0），B（3，0）代入二次函数y＝ax2+bx+c，可得二次函数的解析式为：y＝ax2﹣2ax﹣3a，由图象可知，函数图象开口向下，所以a＜0，可得b和c的符号，及a和c的数量关系；由函数解析式可得抛物线对称轴为直线：x＝﹣＝1，根据函数的增减性和最值，可判断②和④的正确性．
【解答】解：把点A（﹣1，0），B（3，0）代入二次函数y＝ax2+bx+c，
可得二次函数的解析式为：y＝ax2﹣2ax﹣3a，
∵该函数图象开口方向向下，
∴a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，c＝﹣3a＞0，
∴ac＜0，3a+c＝0，①错误，③正确；
∵对称轴为直线：x＝﹣＝1，
∴x＜1时，y随x的增大而增大，x＞1时，y随x的增大而减小；②错误；
∴当x＝1时，函数取得最大值，即对于任意的m，有a+b+c≥am2+bm+c，
∴a+b≥am2+bm，故④正确．
综上，正确的个数有2个，
故选：B．
9．（3分）如图所示，一动点从半径为2的⊙O上的A0点出发，沿着射线A0O方向运动到⊙O上的点A1处，再向左沿着与射线A1O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上的点A3处，再向左沿着与射线A2O夹角为60°的方向运动到⊙O上的点A4处；……按此规律运动到点A2022处，则点A2022与点A0间的距离是（　　）

A．4 B．2 C．2 D．0
【分析】分别求出A0A1，A0A2，A0A3......的值，找出循环规律计算即可．
【解答】解：∵半径为2，
由题意知，A0A1＝4，A0A2＝2，A0A3＝2，A0A4＝2，A0A5＝2，A0A6＝0，A0A7＝4，.....．
∵2022÷6＝337，
∴点A2022与点A6重合，
即点A2022与点A0间的距离是0，
故选：D．
10．（3分）如图，正方形ABCD内接于⊙O，线段MN在对角线BD上运动，若⊙O的面积为2π，MN＝1，则△AMN周长的最小值是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，进而求解．
【解答】解：⊙O的面积为2π，则圆的半径为，则BD＝2＝AC，
由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点，
过点C作CA′∥BD，且使CA′＝1，
连接AA′交BD于点N，取NM＝1，连接AM、CM，则点M、N为所求点，

理由：∵A′C∥MN，且A′C＝MN，则四边形MCA′N为平行四边形，
则A′N＝CM＝AM，
故△AMN的周长＝AM+AN+MN＝AA′+1为最小，
则A′A＝＝3，
则△AMN的周长的最小值为3+1＝4，
故选：B．
二、填空题：本大题共5道小题，每小题3分，满分共15分，要求只写出最后结果．
11．（3分）如图，AB∥CD∥EF．若＝，BD＝5，则DF＝　10　．

【分析】利用平行线分线段成比例定理得到＝，然后根据比例性质求DF的长．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴＝＝，
∴DF＝2BD＝2×5＝10．
故答案为10．
12．（3分）如图，AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD＝AB，如果∠ADB＝35°，则∠BOC＝　140　度．

【分析】在等腰△ABD中，根据三角形的外角性质可求出外角∠BAC的度数；而∠BAC、∠BOC是同弧所对的圆周角和圆心角，可根据圆周角和圆心角的关系求出∠BOC的度数．
【解答】解：△ABD中，AB＝AD，则：∠ABD＝∠D＝35°；
∴∠BAC＝2∠D＝70°；
∴∠BOC＝2∠BAC＝140°．
13．（3分）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有　5　人参加聚会．
【分析】设有 x人参加聚会，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手x﹣1次，且其中任何两人的握手只有一次，因而共有
x（x﹣1）次，设出未知数列方程解答即可．
【解答】解：设有 x人参加聚会，根据题意列方程得，
＝10，
解得x1＝5，x2＝﹣4（不合题意，舍去）；
答：有 5人参加聚会．
故答案为：5．
14．（3分）如图，已知点A是反比例函数在第一象限图象上的一个动点，连接OA，以为长，OA为宽作矩形AOCB，且点C在第四象限，随着点A的运动，点C也随之运动，但点C始终在反比例函数的图象上，则k的值为　﹣3　．

【分析】设A（a，b），则ab＝，分别过A，C作AM⊥y轴于M，CN⊥y轴于N，根据相似三角形的判定证得△AOM∽△CNO，由相似三角形的性质得到ON＝AM＝a，CN＝OM＝b，则k＝﹣ON•CN＝﹣3．
【解答】解：设A（a，b），
∴AM＝a，OM＝b，
∵在点A在反比例函数上，
∴ab＝，
分别过A，C作AM⊥y轴于M，CN⊥y轴于N，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∵矩形AOCB，
∴∠AOM+∠CON＝90°，
∴∠OAM＝∠CON，
∴△AOM∽△CNO，
∵OC＝OA，
∴＝，
∴ON＝AM＝a，CN＝OM＝b，
∵C在反比例函数y＝的图象上，且点C在第四象限，
∴k＝﹣ON•CN＝﹣a•b＝﹣3ab＝﹣3，
故答案为﹣3．

15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是　3　．

【分析】方法1、先判断出AP的最大值为3R，即可得出结论；
方法2、过点A作BD的垂线AG，AG为定值；过点P作BD的垂线PE，只要PE最大即可，进而求出PE最大，即可得出结论；
方法3、先判断出最大时，BE最大，再用相似三角形的性质求出BG，HG，CH，进而判断出HM最大时，BE最大，而点M在⊙C上时，HM最大，即可HP'，即可得出结论．
【解答】方法1、解：设⊙C的半径为R，
如图，作BD的平行线P'E，使P'E切⊙C于P'，
则PE与BD的最大距离为2R，
∵BD与⊙C相切，
∴点C到BD的距离为R，
∴四边形ABCD是矩形，
∴点A到BD的距离为R，
∴点A到PE的最大距离为3R，
∴的最大值为＝3；

方法2、解：如图，过点A作AG⊥BD于G，
∵BD是矩形的对角线，
∴∠BAD＝90°，
∴BD＝＝5，
∵AB•AD＝BD•AG，
∴AG＝，
∵BD是⊙C的切线，
∴⊙C的半径为
过点P作PE⊥BD于E，
∴∠AGT＝∠PET，
∵∠ATG＝∠PTE，
∴△AGT∽△PET，
∴，
∴＝×PE
∵＝＝1+，
要最大，则PE最大，
∵点P是⊙C上的动点，BD是⊙C的切线，
∴PE最大为⊙C的直径，即：PE最大＝，
∴最大值为1+＝3，
故答案为3．
方法3、解：如图，
过点P作PE∥BD交AB的延长线于E，
∴∠AEP＝∠ABD，△APE∽△ATB，
∴，
∵AB＝4，
∴AE＝AB+BE＝4+BE，
∴，
∴BE最大时，最大，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，
过点C作CH⊥BD于H，交PE于M，并延长交AB于G，
∵BD是⊙C的切线，
∴∠GME＝90°，
在Rt△BCD中，BD＝＝5，
∵∠BHC＝∠BCD＝90°，∠CBH＝∠DBC，
∴△BHC∽△BCD，
∴，
∴，
∴BH＝，CH＝，
∵∠BHG＝∠BAD＝90°，∠GBH＝∠DBA，
∴△BHG∽△BAD，
∴＝，
∴，
∴HG＝，BG＝，
在Rt△GME中，GM＝EG•sin∠AEP＝EG×＝EG，
而BE＝GE﹣BG＝GE﹣，
∴GE最大时，BE最大，
∴GM最大时，BE最大，
∵GM＝HG+HM＝+HM，
即：HM最大时，BE最大，
延长MC交⊙C于P'，此时，HM最大＝HP'＝2CH＝，
∴GP'＝HP'+HG＝，
过点P'作P'F∥BD交AB的延长线于F，
∴BE最大时，点E落在点F处，
即：BE最大＝BF，
在Rt△GP'F中，FG＝＝＝＝，
∴BF＝FG﹣BG＝8，
∴最大值为1+＝3，
故答案为：3．



三、解答题：本大题共7道小题，满分共55分，解答应写出文字说明和推理步骤．
16．（6分）如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，楼高BC是多少？

【分析】根据平行线的判定得到DE∥BC，然后，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝9（m），
答：楼高BC是9m．
17．（7分）关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根即可得出Δ＞0，代入数据即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；
（2）结合（1）结论，令m＝1，将m＝1代入原方程，利用因式分解法解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2m+1）2﹣4×1×（m2﹣1）＝4m+5＞0，
解得：m＞﹣．
（2）m＝1，此时原方程为x2+3x＝0，
即x（x+3）＝0，
解得：x1＝0，x2＝﹣3．
18．（8分）2021年是中国共产党建党100周年华诞．“五一”后某校组织了八年级学生参加建党100周年知识竞赛，为了了解学生对党史知识的掌握情况，学校随机抽取了部分同学的成绩作为样本，把成绩按不及格、合格、良好、优秀四个等级分别进行统计，并绘制了如下不完整的条形统计图与扇形统计图：

请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）根据给出的信息，将这两个统计图补充完整（不必写出计算过程）；
（2）该校八年级有学生650人，请估计成绩未达到“良好”及以上的有多少人？
（3）“优秀”学生中有甲、乙、丙、丁四位同学表现突出，现从中派2人参加区级比赛，求抽到甲、乙两人的概率．
【分析】（1）由“不及格”的学生人数除以所占百分比去抽取的人数，即可解决问题；
（2）由该校八年级学生人数乘以成绩未达到“良好”及以上的学生所占的百分比即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，抽到甲、乙两人的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：2÷5%＝40（人），
则达到“良好”的学生人数为：40×40%＝16（人），达到“合格”的学生所占的百分比为：10÷40×100%＝25%，
达到“优秀”的学生所占的百分比为：12÷40×100%＝30%，
将两个统计图补充完整如下：

（2）650×（5%+25%）＝195（人），
答：估计成绩未达到“良好”及以上的有195人；
（3）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，抽到甲、乙两人的结果有2种，
∴抽到甲、乙两人的概率为＝．
19．（7分）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）图象分别交于A（﹣2，m），B（4，n），与y轴交于点C，连接OA，OB．
（1）求反比例函数y＝（x＞0）和一次函数y＝﹣x+b的表达式；
（2）求△AOB的面积．

【分析】（1）先求出点A坐标，再求出一次函数解析式，再求出B点坐标，最后求出反比例函数解析式；
（2）由一次函数解析式求出C点坐标，再把三角形AOB的面积转化为三角形AOC和三角形BOC面积之和，由面积公式求解即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣2，m）在y＝﹣的图象上，
∴m＝＝5，
∴A（﹣2，5），
∵点A（﹣2，5）在y＝﹣x+b上，
∴5＝﹣×（﹣2）+b，
∴b＝4，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+4，
∵点B（4，n）在y＝﹣x+4的图象上，
∴n＝﹣×4＝2，
∴B（4，2），
∵点B在y＝的图象上，
∴k＝4×2＝8，
∴反比例函数的表达式为y＝（x＞0）；
（2）∵直线y＝﹣x+4与y轴交于C点，
∴当x＝0时，y＝4，
∴点C（0，4），
即OC＝4，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝OC•（|xA|+|xB|）＝×4×（2+4）＝12．
∴△AOB的面积为12．
20．（8分）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点D，割线AC⊥DE于点E且交⊙O于点F，连接DF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）求证：DF2＝EF•AB．

【分析】（1）连接OD，然后根据切线的性质和平行线的性质，可以得到∠ODA＝∠DAC，再根据OA＝OD，可以得到∠OAD＝∠ODA，从而可以得到∠DAC＝∠OAD，结论得证；
（2）方法一：根据相似三角形的判定和性质，可以得到DB•DF＝EF•AB，再根据等弧所对的弦相等，即可证明结论成立．
方法二：作OM⊥DF于点M，连接OF、OD，然后根据题目中的条件，可以证明△DEF∽△ODM，然后即可得到，然后进行变形，即可得到结论成立．
【解答】（1）证明：连接OD，如右图1所示，
∵直线DE与⊙O相切于点D，AC⊥DE，
∴∠ODE＝∠DEA＝90°，
∴∠ODE+∠DEA＝180°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA＝∠DAC，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠DAC＝∠OAD，
∴AD平分∠BAC；
（2）方法一：证明：连接BD，如右图1所示，
∵AC⊥DE，垂足为E，AB是⊙O的直径，
∴∠DEF＝∠ADB＝90°，
∵∠EFD+∠AFD＝180°，∠AFD+∠DBA＝180°，
∴∠EFD＝∠DBA，
∴△EFD∽△DBA，
∴，
∴DB•DF＝EF•AB，
由（1）知，AD平分∠BAC，
∴∠FAD＝∠DAB，
∴DF＝DB，
∴DF2＝EF•AB．
方法二：作OM⊥DF于点M，连接OF、OD，如右图2所示，
∵OD＝OF，OM⊥DF，
∴DM＝MF＝DF，
∵∠ODE＝90°，∠DEF＝90°，
∴∠ODM+∠EDF＝90°，∠EDF+∠DFE＝90°，
∴∠DEF＝∠OMD，
又∵∠DEF＝∠OMD，
∴△DEF∽△OMD，
∴，
∴EF•OD＝DF•MD，
∵OD＝AB，DM＝DF，
∴EF•AB＝DF•DF，
∴DF2＝EF•AB．


21．（9分）某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格．经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件；若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件．假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数．
（1）试求y与x之间的关系式；
（2）在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少（总利润＝总收入﹣总成本）？
【分析】（1）先根据题意设y＝kx+b，分别把对应的x＝20，y＝360；x＝25，y＝210代入利用待定系数法求解即可；
（2）根据“总利润＝总收入﹣总成本”列出关于每月获得利润P与x之间的函数关系式，整理得出二次函数P＝﹣30（x﹣24）2+1920，求其最大值即可．
【解答】解：（1）依题意设y＝kx+b，则有

解得
∴y＝﹣30x+960（16≤x≤32）（4分）

（2）每月获得利润P＝（﹣30x+960）（x﹣16）
＝30（﹣x+32）（x﹣16）（5分）
＝30（﹣x2+48x﹣512）
＝﹣30（x﹣24）2+1920（7分）
∴在16≤x≤32范围内，当x＝24时，P有最大值，最大值为1920．（8分）
答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元．（9分）
22．（10分）已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．
（1）写出下列图形的宽距：
①半径为1的圆：　2　；
②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：　1+　；

（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．
①若d＝2，用直尺和圆规画出点C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）；
②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．

【分析】（1）①平面图形S的“宽距”的定义即可解决问题．
②如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．求出PC的最大值即可解决问题．
（2）①如图2﹣1中，连接AB、BC、CA所形成的图形是图中阴影部分S1和S2，点C所在的区域的面积是S1+S2．
②如图2﹣2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于T．求出d＝5或8时，点M的坐标，即可判断，再根据对称性求出点M在y轴左侧的情形即可．
【解答】解：（1）①半径为1的圆的宽距为2，
故答案为：2．
②如图1，正方形ABCD的边长为2，
设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．

在Rt△ODC中，根据勾股定理得：，
根据两点之间线段最短得：OP+OC≥PC，
∴，
∴上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“的宽距为：．
故答案为：．
（2）①如图2﹣1中，连接AB、BC、CA所形成的图形是图中阴影部分S1和S2（分别以A、B为圆心，以AB为半径所作的圆心角为120°的两条弧所围成的阴影部分即为点C所在的区域）．

∴点C所在的区域的面积为：．
②如图2﹣2，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于T．

设M点坐标为（x，2）（x＞0），
根据题意可得：AC＝d，MC＝1，
由图可知：AM﹣MC≤AC≤AM+MC，
又∵对于⊙M上任意点C，5≤d≤8恒成立，
∴AM﹣MC＝5，AM+MC＝8，
∴AM＝6或AM＝7．
在Rt△AMT中，AM2＝MT2+AT2＝22+（x+1）2，
∴22+（x+1）2＝6或22+（x+1）2＝72，
∴（x+1）2＝32，（x+1）2＝45，
∵x＞0，
∴，，
∴满足条件的点M的横坐标的范围为：．
当点M在y轴的左侧时，同理可得，满足条件的点M的横坐标的范围为：．
满足条件的点M的横坐标的范围为：或．