高考数学(理数)一轮复习刷题小卷练习02《常用逻辑用语》 (教师版)

刷题增分练 2　常用逻辑用语

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一、选择题

1．下列命题中是假命题的是(　　)

A．∃x0∈R，log2x0＝0  B．∃x0∈R，cosx0＝1

C．∀x∈R，x2>0       D．∀x∈R,2x>0

答案：C

解析：因为log21＝0，cos0＝1，所以选项A、B均为真命题，02＝0，选项C为假命题，2x>0，选项D为真命题．故选C.

2．命题“∀x>0，>0”的否定是(　　)

A．∃x0<0，≤0   B．∃x0>0，≤0

C．∀x>0，≤0    D．∀x<0，≤0

答案：B

解析：易知命题的否定是∃x0>0，≤0，故选B.

3．下列说法正确的是(　　)

A．“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1”

B．“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真命题

C．∃x0∈(0，＋∞)，使3x0>4x0成立

D．“若sinα≠，则α≠”是真命题

答案：D

解析：“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，故A错；“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为假命题，当m＝0时，am2＝bm2，故B错；由于x>0时，x<1，因此x>0时均有3x<4x成立，故C错；“若sinα≠，则α≠”的逆否命题是“若α＝，则sinα＝”为真命题，则D正确．故选D.

4．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定形式是(　　)

A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2

B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＞x2

C．∃x0∈R，∃n∈N*，使得n＞x

D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n＞x

答案：D

解析：∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n＞x2，则该命题的否定形式为“∃x0∈R，∀n∈N*，使得n＞x”．故选D.

5．设命题甲：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，命题乙：对数函数y＝log(4－2a)x在(0，＋∞)上单调递减，那么乙是甲的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件        D．既不充分也不必要条件

答案：A

解析：因为关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，所以Δ＝(2a)2－4×4＜0，解得－2＜a＜2；

因为y＝log(4－2a)x在(0，＋∞)上单调递减，所以0＜4－2a＜1，解得＜a＜2，易知命题乙是命题甲的充分不必要条件，故选A.

6．命题p：“若a≥b，则a＋b>2 012且a>－b”的逆否命题是(　　)

A．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a<b

B．若a＋b≤2 012且a≤－b，则a>b

C．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a<b

D．若a＋b≤2 012或a≤－b，则a>b

答案：C

解析：根据逆否命题的定义可得命题p：“若a≥b，则a＋b>2 012且a>－b”的逆否命题是：若a＋b≤2 012或a≤－b，则a<b.故选C.

7．已知命题p：|x＋1|>2；命题q：x≤a，且綈p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－3)  B．(－∞，－3]

C．(－∞，1)    D．(－∞，1]

答案：A

解析：命题p：|x＋1|>2，即x<－3或x>1.∵綈p是綈q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，∴{x|x≤a}{x|x<－3或x>1}，∴a<－3.故选A.

8．若定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是(　　)

A．∀x∈R，f(－x)≠f(x)

B．∀x∈R，f(－x)＝－f(x)

C．∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)

D．∃x0∈R，f(－x0)＝－f(x0)

答案：C

解析：由题意知∀x∈R，f(－x)＝f(x)是假命题，则其否定为真命题，∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)是真命题，故选C.

二、非选择题

9．命题“若x2－x≥0，则x>2”的否命题是__________________．

答案：若x2－x<0，则x≤2

解析：命题的否命题需要同时否定条件和结论，则命题“若x2－x≥0，则x>2”的否命题是“若x2－x<0，则x≤2”．

10．若“∀x∈[－，]，m≤tanx＋1”为真命题，则实数m的最大值为________．

答案：0

解析：根据正切函数的性质可知，y＝tanx＋1在[－，]上的最小值为y＝tan(－)＋1＝0，∴m≤0.

11．在命题“若m>－n，则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________．

答案：3

解析：原命题为假命题，逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，否命题也是假命题．故假命题个数为3.

12．给出下列命题：

①已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件；

②“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要不充分条件；

③“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的充要条件；

④“平面向量a与b的夹角是钝角”的充要条件是“a·b<0”．

其中正确命题的序号是________．(把所有正确命题的序号都写上)

答案：①②

解析：①因为“a＝3”可以推出“A⊆B”，但“A⊆B”不能推出“a＝3”，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件，故①正确；②“x<0”不能推出“ln(x＋1)<0”，但“ln(x＋1)<0”可以推出“x<0”，所以“x<0”是“ln(x＋1)<0”的必要不充分条件，故②正确；③f(x)＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，若其最小正周期为π，则＝π⇒a＝±1，因此“函数f(x)＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”是“a＝1”的必要不充分条件，故③错误；④“平面向量a与b的夹角是钝角”可以推出“a·b<0”，但由“a·b<0”，得“平面向量a与b的夹角是钝角或平角”，所以“a·b<0”是“平面向量a与b的夹角是钝角”的必要不充分条件，故④错误．正确命题的序号是①②.

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一、选择题

1．已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3，函数g(x)＝kx－1，则“－6≤k≤2”是“f(x)≥g(x)在R上恒成立”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件        D．既不充分也不必要条件

答案：C

解析：若f(x)≥g(x)，则x2－(2＋k)x＋4≥0，故“f(x)≥g(x)在R上恒成立”⇔[－(2＋k)]2－16≤0⇔－6≤k≤2，所以“－6≤k≤2”是“f(x)≥g(x)在R上恒成立”的充要条件，故选C.

2．“x<m－1或x>m＋1”是“x2－2x－3>0”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是(　　)

A．[0,2]  B．(0,2)  C．[0,2)  D．(0,2]

答案：A

解析：由x2－2x－3>0得x>3或x<－1.若“x<m－1或x>m＋1”是“x2－2x－3>0”的必要不充分条件，则且等号不同时成立，即0≤m≤2.故选A.

3．不等式x－>0成立的一个充分不必要条件是(　　)

A．－1<x<0或x>1  B．x<－1或0<x<1

C．x>－1         D．x>1

答案：D

解析：由x－>0可知>0，即或解得x>1或－1<x<0，不等式x－>0的解集为{x|x>1或－1<x<0}，故不等式x－>0成立的一个充分不必要条件是x>1.故选D.

4．命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是(　　)

A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1

B．若x≥1且x≤－1，则x2>1

C．若－1<x<1，则x2<1

D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1

答案：D

解析：由“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”，得“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”．故选D.

5．已知命题p：若a>|b|，则a2>b2；命题q：若x2＝4，则x＝2.下列说法正确的是(　　)

A．“p∨q”为真命题   B．“p∧q”为真命题

C．“綈p”为真命题    D．“綈q”为假命题

答案：A

解析：由a>|b|≥0，得a2>b2，∴命题p为真命题．∵x2＝4⇔x＝±2，∴命题q为假命题．∴“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，“綈p”为假命题，“綈q”为真命题．综上所述，应选A.

6．命题p：x，y∈R，x2＋y2<2，命题q：x，y∈R，|x|＋|y|<2，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件        D．既不充分也不必要条件

答案：A

解析：如图所示：命题“x2＋y2<2”对应的图形为半径为的圆的内部，命题“|x|＋|y|<2”对应的图形为边长为2的正方形的内部，x2＋y2<2对应的图形在|x|＋|y|<2对应的图形的内部，则命题“x2＋y2<2”是命题“|x|＋|y|<2”的充分不必要条件．故选A.

7．已知p：(x＋3)(x－1)＞0，q：x＞a2－2a－2，若綈p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－1，＋∞)            B．[3，＋∞)

C．(－∞，－1]∪[3，＋∞)  D．[－1,3]

答案：C

解析：由p：(x＋3)(x－1)＞0，解得x＜－3或x＞1，要使得綈p是綈q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，即q⇒p，pD⇒/q.所以a2－2a－2≥1，解得a≤－1或a≥3，故选C.

8．若命题“∃x0∈R,3x＋2ax0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－，)  B．(－∞，－]∪[，＋∞)

C．[－，]  D．(－∞，－)∪(，＋∞)

答案：C

解析：命题“∃x0∈R，使得3x＋2ax0＋1<0”是假命题，则“∀x∈R,3x2＋2ax＋1≥0”为真命题，故Δ＝4a2－12≤0，解得a∈[－，]．故选C.

二、非选择题

9．命题“若直线l与平面α平行，则平面α内存在无数条直线与直线l平行”的逆命题为________．(用“真命题”或“假命题”填空)

答案：假命题

解析：原命题的逆命题：若平面α内存在无数条直线与直线l平行，则直线l与平面α平行．事实上，若平面α内存在无数条直线与直线l平行，则直线l与平面α平行或直线l在平面α内，所以原命题的逆命题为假命题．

10．若命题“∀x∈[2,3]，x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．

答案：(－∞，4]

解析：由题意得a≤x2在[2,3]上恒成立，而当x∈[2,3]时，4≤x2≤9，∴a≤4.故实数a的取值范围是(－∞，4]．

11．已知p：|x－8|≤2，q：＞0，r：x2－3ax＋2a2＜0(a＞0)．若r是p的必要不充分条件，且r是q的充分不必要条件，试求a的取值范围．

解析：命题p：{x|6≤x≤10}；命题q：{x|x>1}；命题r：{x|a<x<2a}．

若记以上3个命题中x的取值构成的集合分别为A，B，C，由于r是p的必要不充分条件，r是q的充分不必要条件，所以有A⊆C⊆B，结合数轴应有解得5<a<6，即a的取值范围是(5,6)．