2020-2021学年第24章 圆综合与测试测试题
展开这是一份2020-2021学年第24章 圆综合与测试测试题,共29页。试卷主要包含了在圆内接四边形ABCD中,∠A,等边三角形等内容,欢迎下载使用。
沪科版九年级数学下册第24章圆定向训练
考试时间:90分钟;命题人:数学教研组
考生注意:
1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟
2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题 30分)
一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)
1、如图,是的直径,弦,垂足为,若,则( )
A.5 B.8 C.9 D.10
2、如图,A,B,C是正方形网格中的三个格点,则是( )
A.优弧 B.劣弧 C.半圆 D.无法判断
3、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2.将△ABC绕点C按顺时针方向旋转到点D落在AB边上,此时得到△EDC,斜边DE交AC边于点F,则图中阴影部分的面积为( )
A.3 B.1 C. D.
4、在下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
5、如图,在中,,,.将绕点按逆时针方向旋转后得到,则图中阴影部分面积为( )
A. B. C. D.
6、在圆内接四边形ABCD中,∠A、∠B、∠C的度数之比为2:4:7,则∠B的度数为( )
A.140° B.100° C.80° D.40°
7、等边三角形、等腰三角形、矩形、菱形中既是轴对称图形,又是中心对称图形的个数是( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
8、如图,AB,CD是⊙O的弦,且,若,则的度数为( )
A.30° B.40° C.45° D.60°
9、下列图形中,是中心对称图形,但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
10、如图,在△ABC中,∠BAC=130°,将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC,点A,B的对应点分别为D,E,连接AD.当点A,D,E在同一条直线上时,则∠BAD的大小是( )
A.80° B.70° C.60° D.50°
第Ⅱ卷(非选择题 70分)
二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)
1、如图,PA,PB分别与⊙O相切于A,B两点,C是优弧AB上的一个动点,若∠P = 50°,则∠ACB =_____________°
2、在平面直角坐标系中,已知点与点关于原点对称,则________,________.
3、如图,⊙O的半径为2,△ABC是⊙O的内接三角形,连接OB、OC,若弦BC的长度为,则∠BAC=________度.
4、如图,正方形ABCD的边长为1,⊙O经过点C,CM为⊙O的直径,且CM=1.过点M作⊙O的切线分别交边AB,AD于点G,H.BD与CG,CH分别交于点E,F,⊙O绕点C在平面内旋转(始终保持圆心O在正方形ABCD内部).给出下列四个结论:
①HD=2BG;②∠GCH=45°;③H,F,E,G四点在同一个圆上;④四边形CGAH面积的最大值为2.其中正确的结论有 _____(填写所有正确结论的序号).
5、一块直角三角板的30°角的顶点A落在上,两边分别交于B、C两点,若弦BC长为4,则的半径为______.
三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)
1、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE,点C,A的对应点分别为E,F.点E落在BA上,连接AF.
(1)若∠BAC=40°,求∠BAF的度数;
(2)若AC=8,BC=6,求AF的长.
2、如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC是直径,点C是劣弧BD的中点.
(1)求证:.
(2)若,,求BD.
3、如图,在等边中,D为BC边上一点,连接AD,将沿AD翻折得到,连接BE并延长交AD的延长线于点F,连接CF.
(1)若,求的度数;
(2)若,求的大小;
(3)猜想CF,BF,AF之间的数量关系,并证明.
4、如图,在△ABC中,∠C=90°,点O为边BC上一点.以O为圆心,OC为半径的⊙O与边AB相切于点D.
(1)尺规作图:画出⊙O,并标出点D(不写作法,保留作图痕迹);
(2)在(1)所作的图中,连接CD,若CD=BD,且AC=6.求劣弧的长.
5、将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG,其中点E与点B,点G与点D分别是对应点,连接BG.
(1)如图,若点A,E,D第一次在同一直线上,BG与CE交于点H,连接BE.
①求证:BE平分∠AEC.
②取BC的中点P,连接PH,求证:PHCG.
③若BC=2AB=2,求BG的长.
(2)若点A,E,D第二次在同一直线上,BC=2AB=4,直接写出点D到BG的距离.
-参考答案-
一、单选题
1、C
【分析】
连接,根据垂径定理可得,设的半径为,则,进而勾股定理列出方程求得半径,进而求得
【详解】
解:如图,连接,
∵是的直径,弦,
∴
设的半径为,则
在中,,
即
解得
即
故选C
【点睛】
本题考查的是垂径定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
2、B
【分析】
根据三点确定一个圆,圆心的确定方法:任意两点中垂线的交点为圆心即可判断.
【详解】
解;如图,分别连接AB、AC、BC,取任意两条线段的中垂线相交,交点就是圆心.
故选:B.
【点睛】
本题考查已知圆上三点求圆心,取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键.
3、D
【分析】
根据题意及旋转的性质可得是等边三角形,则,,根据含30度角的直角三角形的性质,即可求得,由勾股定理即可求得,进而求得阴影部分的面积.
【详解】
解:如图,设与相交于点,
,,
,
旋转,
,
是等边三角形,
,,
,
,
,
,
,
阴影部分的面积为
故选D
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质,勾股定理,含30度角的直角三角形的性质,旋转的性质,利用含30度角的直角三角形的性质是解题的关键.
4、B
【分析】
根据中心对称图形与轴对称图形的定义解答即可.
【详解】
解:A.是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;
B既是中心对称图形又是轴对称图形,符合题意;
C. 是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;
D. 既不是中心对称图形,也不是轴对称图形,不符合题意.
故选B.
【点睛】
本题主要考查的是中心对称图形与轴对称图形的定义.一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够完全重合的图形叫作轴对称图形;把一个图形绕着某个点旋转180°,如果旋转后的图形与另一个图形重合叫作中心对称图形.
5、B
【分析】
阴影部分的面积=扇形扇形,根据旋转性质以及直角三角形的性质,分别求出对应扇形的面积以及的面积,最后即可求出阴影部分的面积.
【详解】
解:由图可知:阴影部分的面积=扇形扇形,
由旋转性质可知:,,
,,
在中,,,,
,,
有勾股定理可知:,
阴影部分的面积=扇形扇形
.
故选:B.
【点睛】
本题主要是考查了旋转性质以及扇形面积公式,熟练利用旋转性质,得到对应扇形的半径和圆心角度数,利用扇形公式求解面积,这是解决本题的关键.
6、C
【分析】
,,,进而求解的值.
【详解】
解:由题意知
∵
∴
∴
∵
∴
故选C.
【点睛】
本题考查了圆内接四边形中对角互补.解题的关键在于根据角度之间的数量关系求解.
7、A
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断.
【详解】
解:矩形,菱形既是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题意;
等边三角形、等腰三角形是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意;
共2个既是轴对称图形又是中心对称图形.
故选:A.
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.(1)如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.(2)如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合,那么这个图形就叫做中心对称图形,这个点叫做对称中心.
8、B
【分析】
由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得,利用平行线的性质:两直线平行,内错角相等即可得.
【详解】
解:∵,
∴,
∵,
∴,
故选:B.
【点睛】
题目主要考查圆周角定理,平行线的性质等,理解题意,找出相关的角度是解题关键.
9、B
【分析】
根据“把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形”及“如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形”,由此问题可求解.
【详解】
解:A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形,故不符合题意;
B、是中心对称图形但不是轴对称图形,故符合题意;
C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形,故不符合题意;
D、是轴对称图形但不是中心对称图形,故不符合题意;
故选B.
【点睛】
本题主要考查中心对称图形及轴对称图形的识别,熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键.
10、A
【分析】
根据三角形旋转得出,,根据点A,D,E在同一条直线上利用邻补角关系求出,根据等腰三角形的性质即可得到∠DAC=50°,由此即可求解.
【详解】
证明:∵绕点C逆时针旋转得到,
∴,,
∴∠ADC=∠DAC,
∵点A,D,E在同一条直线上,
∴,
∴∠DAC=50°,
∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=80°
故选A.
【点睛】
本题考查三角形旋转性质,邻补角的性质,等腰三角形的性质与判定,解题的关键在于熟练掌握旋转的性质.
二、填空题
1、
【分析】
连接,根据切线的性质以及四边形内角和定理求得,进而根据圆周角定理即可求得∠ACB
【详解】
解:连接,如图,
PA,PB分别与⊙O相切
故答案为:
【点睛】
本题考查了切线的性质,圆周角定理,四边形的内角和,掌握切线的性质是解题的关键.
2、2 2
【分析】
关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数,根据特点列式求出a、b即可求得答案.
【详解】
解:∵点和点关于原点对称,
∴,
∴,
故答案为:2;2.
【点睛】
本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征,解二元一次方程组,熟记关于原点对称点的坐标特征并运用解题是关键.
3、60
【分析】
在Rt△BOE中,利用勾股定理求得OE=1,知OB=2OE,得到∠BOE=60°,∠BOC=120°,再利用圆周角定理即可解决问题.
【详解】
解:如图作OE⊥BC于E.
∵OE⊥BC,
∴BE=EC=,∠BOE=∠COE,
∴OE=1,
∴OB=2OE,
∴∠OBE=30°,
∴∠BOE=∠COE=60°,
∴∠BOC=120°,
∴∠BAC=60°,
故答案为:60.
【点睛】
本题考查三角形的外心与外接圆、圆周角定理.垂径定理、勾股定理、直角三角形30度角性质、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,灵活运用所学知识解决问题.
4、②③④
【分析】
根据切线的性质,正方形的性质,通过三角形全等,证明HD=HM,∠HCM=∠HCD,GM=GB,∠GCB=∠GCM,可判断前两个结论;运用对角互补的四边形内接于圆,证明∠GHF+∠GEF=180°,取GH的中点P,连接PA,则PA+PC≥AC,当PC最大时,PA最小,根据直径是圆中最大的弦,故PC=1时,PA最小,计算即可.
【详解】
∵GH是⊙O的切线,M为切点,且CM是⊙O的直径,
∴∠CMH=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠CMH=∠CDH=90°,
∵CM=CD,CH=CH,
∴△CMH≌△CDH,
∴HD=HM,∠HCM=∠HCD,
同理可证,∴GM=GB,∠GCB=∠GCM,
∴GB+DH=GH,无法确定HD=2BG,
故①错误;
∵∠HCM+∠HCD+∠GCB+∠GCM=90°,
∴2∠HCM+2∠GCM=90°,
∴∠HCM+∠GCM=45°,
即∠GCH=45°,
故②正确;
∵△CMH≌△CDH,BD是正方形的对角线,
∴∠GHF=∠DHF,∠GCH=∠HDF=45°,
∴∠GHF+∠GEF=∠DHF +∠GCH+∠EFC
=∠DHF +∠HDF+∠HFD
=180°,
根据对角互补的四边形内接于圆,
∴H,F,E,G四点在同一个圆上,
故③正确;
∵正方形ABCD的边长为1,
∴
=1
=,∠GAH=90°,AC=
取GH的中点P,连接PA,
∴GH=2PA,
∴=,
∴当PA取最小值时,有最大值,
连接PC,AC,
则PA+PC≥AC,
∴PA≥AC- PC,
∴当PC最大时,PA最小,
∵直径是圆中最大的弦,
∴PC=1时,PA最小,
∴当A,P,C三点共线时,且PC最大时,PA最小,
∴PA=-1,
∴最大值为:1-(-1)=2-,
∴四边形CGAH面积的最大值为2,
∴④正确;
故答案为: ②③④.
【点睛】
本题考查了切线的性质,直径是最大的弦,三角形的全等,直角三角形斜边上的中线,四点共圆,正方形的性质,熟练掌握圆的性质,灵活运用直角三角形的性质,线段最短原理是解题的关键.
5、4
【分析】
连接OB、OC,由题意易得∠BOC=60°,则有△BOC是等边三角形,然后问题可求解.
【详解】
连接OB、OC,如图所示:
∵∠A=30°,
∴∠BOC=60°,
∵OB=OC,
∴△BOC是等边三角形,
∵,
∴,即⊙O的半径为4.
故答案为:4.
【点睛】
本题主要考查圆周角定理,熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
三、解答题
1、
(1)65°
(2)
【分析】
(1)根据三角形的内角和定理得到∠ABC=50°,根据旋转的性质得到∠EBF=∠ABC=50°,AB=BF,根据三角形的内角和定理即可得到结论;
(2)根据勾股定理得到AB=10,根据旋转的性质得到BE=BC=6,EF=AC=8,根据勾股定理即可得到结论.
【小题1】
解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=40°,
∴∠ABC=50°,
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE,
∴∠EBF=∠ABC=50°,AB=BF,
∴∠BAF=∠BFA=(180°-50°)=65°;
【小题2】
∵∠C=90°,AC=8,BC=6,
∴AB=10,
∵将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE,
∴BE=BC=6,EF=AC=8,
∴AE=AB-BE=10-6=4,
∴AF=.
【点睛】
本题考查了旋转的性质,勾股定理,熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
2、(1)见详解;(2)
【分析】
(1)由题意及垂径定理可知AC垂直平分BD,进而问题可求解;
(2)由题意易得,然后由(1)可知△ABD是等边三角形,进而问题可求解.
【详解】
(1)证明:∵AC是直径,点C是劣弧BD的中点,
∴AC垂直平分BD,
∴;
(2)解:∵,,
∴,
∵,
∴△ABD是等边三角形,
∵,
∴.
【点睛】
本题主要考查垂径定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理,熟练掌握垂径定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理是解题的关键.
3、(1)20°;(2);(3)AF= CF+BF,理由见解析
【分析】
(1)由△ABC是等边三角形,得到AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°,由折叠的性质可知,∠EAD=∠CAD=20°,AC=AE,则∠BAE=∠BAC-∠EAD-∠CAD=20°,AB=AE,,∠CBF=∠ABE-∠ABC=20°;
(2)同(1)求解即可;
(3)如图所示,将△ABF绕点A逆时针旋转60°得到△ACG,先证明△AEF≌△ACF得到∠AFE=∠AFC,然后证明∠AFE=∠AFC=60°,得到∠BFC=120°,即可证明F、C、G三点共线,得到△AFG是等边三角形,则AF=GF=CF+CG=CF+BF.
【详解】
解:(1)∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°,
由折叠的性质可知,∠EAD=∠CAD=20°,AC=AE,
∴∠BAE=∠BAC-∠EAD-∠CAD=20°,AB=AE,
∴,
∴∠CBF=∠ABE-∠ABC=20°;
(2)∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°,
由折叠的性质可知,,AC=AE,
∴ ,AB=AE,
∴,
∴;
(3)AF= CF+BF,理由如下:
如图所示,将△ABF绕点A逆时针旋转60°得到△ACG,
∴AF=AG,∠FAG=60°,∠ACG=∠ABF,BF=CG
在△AEF和△ACF中,
,
∴△AEF≌△ACF(SAS),
∴∠AFE=∠AFC,
∵∠CBF+∠BCF+∠BFD+∠CFD=180°,∠CAF+∠CFA+∠ACD+∠CFD=180°,
∴∠BFD=∠ACD=60°,
∴∠AFE=∠AFC=60°,
∴∠BFC=120°,
∴∠BAC+∠BFC=180°,
∴∠ABF+∠ACF=180°,
∴∠ACG+∠ACF=180°,
∴F、C、G三点共线,
∴△AFG是等边三角形,
∴AF=GF=CF+CG=CF+BF.
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质与判定,旋转的性质,折叠的性质,全等三角形的性质与判定,三角形内角和定理,熟知相关知识是解题的关键.
4、(1)作图见解析;(2)
【分析】
(1)由于D点为⊙O的切点,即可得到OC=OD,且OD⊥AB,则可确定O点在∠A的角平分线上,所以应先画出∠A的角平分线,与BC的交点即为O点,再以O为圆心,OC为半径画出圆即可;
(2)连接CD和OD,根据切线长定理,以及圆的基本性质,求出∠DCB的度数,然后进一步求出∠COD的度数,并结合三角函数求出OC的长度,再运用弧长公式求解即可.
【详解】
解:(1)如图所示,先作∠A的角平分线,交BC于O点,以O为圆心,OC为半径画出⊙O即为所求;
(2)如图所示,连接CD和OD,
由题意,AD为⊙O的切线,
∵OC⊥AC,且OC为半径,
∴AC为⊙O的切线,
∴AC=AD,
∴∠ACD=∠ADC,
∵CD=BD,
∴∠B=∠DCB,
∵∠ADC=∠B+∠BCD,
∴∠ACD=∠ADC=2∠DCB,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠DCB=90°,
即:3∠DCB=90°,
∴∠DCB=30°,
∵OC=OD,
∴∠DCB=∠ODC=30°,
∴∠COD=180°-2×30°=120°,
∵∠DCB=∠B=30°,
∴在Rt△ABC中,∠BAC=60°,
∵AO平分∠BAC,
∴∠CAO=∠DAO=30°,
∴在Rt△ACO中,,
∴.
【点睛】
本题考查复杂作图-作圆,以及圆的基本性质和切线长定理等,掌握圆的基本性质,切线的性质以及灵活运用三角函数求解是解题关键.
5、
(1)①见解析;②见解析;③
(2)
【分析】
(1)①根据旋转的性质得到,求得,根据平行线的性质得到,于是得到结论;
②如图1,过点作的垂线,根据角平分线的性质得到,求得,根据全等三角形的性质得到,根据三角形的中位线定理即可得到结论;
③如图2,过点作的垂线,解直角三角形即可得到结论.
(2)如图3,连接,,过作交的延长线于,交的延长线于,根据旋转的性质得到,,解直角三角形得到,,根据三角形的面积公式即可得到结论.
(1)
解:①证明:矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形,
,
,
又,
,
,
平分;
②证明:如图1,过点作的垂线,
平分,,,
,
,
,,,
,
,
即点是中点,
又点是中点,
;
③解:如图2,过点作的垂线,
,
,
,
,
,
,
,,
;
(2)
解:如图3,连接,,过作交的延长线于,交的延长线于,
,
,
将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形,
,,
点,,第二次在同一直线上,
,
,
,
,
,,
,,
,,
.
【点睛】
本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定和性质,矩形的性质,三角形的中位线定理,勾股定理,解直角三角形,解题的关键是正确地作出辅助线.
相关试卷
这是一份初中数学沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试同步训练题,共33页。
这是一份初中沪科版第24章 圆综合与测试精练,共24页。
这是一份沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试课后复习题,共32页。