初中数学沪科版九年级下册第24章 圆综合与测试同步训练题

沪科版九年级数学下册第24章圆综合训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，为正六边形边上一动点，点从点出发，沿六边形的边以1cm/s的速度按逆时针方向运动，运动到点停止．设点的运动时间为，以点、、为顶点的三角形的面积是，则下列图像能大致反映与的函数关系的是（    ）

A． B．

C． D．

2、下列判断正确的个数有（    ）

①直径是圆中最大的弦；

②长度相等的两条弧一定是等弧；

③半径相等的两个圆是等圆；

④弧分优弧和劣弧；

⑤同一条弦所对的两条弧一定是等弧．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3、下列说法正确的个数有（    ）

①方程的两个实数根的和等于1；

②半圆是弧；

③正八边形是中心对称图形；

④“抛掷3枚质地均匀的硬币全部正面朝上”是随机事件；

⑤如果反比例函数的图象经过点，则这个函数图象位于第二、四象限．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

4、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（   ）

A．70° B．50° C．20° D．40°

5、若的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

6、在下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ）

A．  B． 

C．  D．

7、利用定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”，可以直接推导出的命题是（    ）

A．直径所对圆周角为 B．如果点在圆上，那么点到圆心的距离等于半径

C．直径是最长的弦 D．垂直于弦的直径平分这条弦

8、如图，是的直径，弦，垂足为，若，则（    ）

A．5 B．8 C．9 D．10

9、如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，PA＝4，则PB的长度为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

10、如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，则∠BAD的大小是（　　）

A．80° B．70° C．60° D．50°

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、将点绕x轴上的点G顺时针旋转90°后得到点，当点恰好落在以坐标原点O为圆心，2为半径的圆上时，点G的坐标为________．

2、如图，AB是半圆O的弦，DE是直径，过点B的切线BC与⊙O相切于点B，与DE的延长线交于点C，连接BD，若四边形OABC为平行四边形，则∠BDC的度数为______．

3、如图AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是______（写所有正确论的号）

①AM平分∠CAB；②；③若AB=4，∠APE=30°，则的长为；④若AC=3BD，则有tan∠MAP=．

4、如图，与x轴交于、两点，，点P是y轴上的一个动点，PD切于点D，则△ABD的面积的最大值是________；线段PD的最小值是________．

5、如图，过⊙O外一点P，作射线PA，PB分别切⊙O于点A，B，，点C在劣弧AB上，过点C作⊙O的切线分别与PA，PB交于点D，E．则______度．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是直径，点C是劣弧BD的中点．

（1）求证：．

（2）若，，求BD．

2、如图，在中，，，D是边BC上一点，作射线AD，满足，在射线AD取一点E，且．将线段AE绕点A逆时针旋转90°，得到线段AF，连接BE，FE，连接FC并延长交BE于点G．

（1）依题意补全图形；

（2）求的度数；

（3）连接GA，用等式表示线段GA，GB，GC之间的数量关系，并证明．

3、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AM是△ACD的外角∠DAF的平分线．

（1）求证：AM是⊙O的切线；

（2）连接CO并延长交AM于点N，若⊙O的半径为2，∠ANC = 30°，求CD的长．

4、如图①，在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AB = k·AC，△ADE是由△ABC绕点A逆时针旋转某个角度得到的，BC与DE交于点F，直线BD与EC交于点G

（1）求证：BD = k·EC；

（2）求∠CGD的度数；

（3）若k = 1（如图②），求证：A，F，G三点在同一直线上．

5、如图1，在中，，，将边绕着点A逆时针旋转，得到线段，连接交边于点E，过点C作于点F，延长交于点G．

（1）求证：；

（2）如图2，当时，求证：；

（3）如图3，当时，请直接写出的值．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

设正六边形的边长为1，当在上时，过作于 而 求解此时的函数解析式，当在上时，延长交于点 过作于 并求解此时的函数解析式，当在上时，连接 并求解此时的函数解析式，由正六边形的对称性可得：在上的图象与在上的图象是对称的，在上的图象与在上的图象是对称的，从而可得答案.

【详解】

解：设正六边形的边长为1，当在上时，

过作于 而

当在上时，延长交于点 过作于

同理：

则为等边三角形，

当在上时，连接

由正六边形的性质可得：

由正六边形的对称性可得： 而

由正六边形的对称性可得：在上的图象与在上的图象是对称的，

在上的图象与在上的图象是对称的，

所以符合题意的是A，

故选A

【点睛】

本题考查的是动点问题的函数图象，锐角三角函数的应用，正多边形的性质，清晰的分类讨论是解本题的关键.

2、B

【详解】

①直径是圆中最大的弦；故①正确，

②同圆或等圆中长度相等的两条弧一定是等弧；故②不正确

③半径相等的两个圆是等圆；故③正确

④弧分优弧、劣弧和半圆，故④不正确

⑤同一条弦所对的两条弧可位于弦的两侧，故不一定相等，则⑤不正确．

综上所述，正确的有①③

故选B

【点睛】

本题考查了圆相关概念，掌握弦与弧的关系以及相关概念是解题的关键．

3、B

【分析】

根据所学知识对五个命题进行判断即可．

【详解】

1、，故方程无实数根，故本命题错误；

2、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，半圆也是，故本命题正确；

3、八边形绕中心旋转180°以后仍然与原图重合，故本命题正确；

4、抛硬币无论抛多少，出现正反面朝上都是随机事件，故抛三枚硬币全部正面朝上也是随机事件，故本命题正确；

5、反比例函数的图象经过点 (1,2) ，则,它的函数图像位于一三象限，故本命题错误

综上所述，正确个数为3

故选B

【点睛】

本题考查一元二次函数判别式、弧的定义、中心对称图形判断、随机事件理解、反比例函数图像，掌握这些是本题关键．

4、D

【分析】

首先连接OA，OB，由PA，PB为⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠OAP=∠OBP=90°，又由圆周角定理，可求得∠AOB的度数，继而可求得答案．

【详解】

解：连接OA，OB，

∵PA，PB为⊙O的切线，

∴∠OAP=∠OBP=90°，

∵∠ACB=70°，

∴∠AOB=2∠P=140°，

∴∠P=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=40°．

故选：D．

【点睛】

此题考查了切线的性质与圆周角定理，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用．

5、C

【分析】

先设半径为r，再根据弧长公式建立方程，解出r即可

【详解】

设半径为r，

则周长为2πr，

120°所对应的弧长为

解得r=3

故选C

【点睛】

本题考查弧长计算，牢记弧长公式是本题关键．

6、B

【分析】

根据中心对称图形与轴对称图形的定义解答即可.

【详解】

解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

B既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；

C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

D. 既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意.

故选B.

【点睛】

本题主要考查的是中心对称图形与轴对称图形的定义.一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫作轴对称图形；把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合叫作中心对称图形.

7、A

【分析】

定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”是圆周角定理，分析各个选项即可.

【详解】

A选项，直径所在的圆心角是180°，直接可以由圆周角定理推导出：直径所对的圆周角为，A选项符合要求；

B、C选项，根据圆的定义可以得到；

D选项，是垂径定理；

故选：A

【点睛】

本题考查圆的基本性质，熟悉圆周角定理及其推论是解题的关键.

8、C

【分析】

连接，根据垂径定理可得，设的半径为，则,进而勾股定理列出方程求得半径，进而求得

【详解】

解：如图，连接，

∵是的直径，弦，

∴

设的半径为，则

在中，，

即

解得

即

故选C

【点睛】

本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

9、B

【分析】

由切线的性质可推出，．再根据直角三角形全等的判定条件“HL”，即可证明，即得出．

【详解】

∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，

∴，，

∴在和中，，

∴，

∴．

故选：B

【点睛】

本题考查切线的性质，三角形全等的判定和性质．熟练掌握切线的性质是解答本题的关键．

10、A

【分析】

根据三角形旋转得出，，根据点A，D，E在同一条直线上利用邻补角关系求出，根据等腰三角形的性质即可得到∠DAC=50°，由此即可求解．

【详解】

证明：∵绕点C逆时针旋转得到，

∴，，

∴∠ADC=∠DAC，

∵点A，D，E在同一条直线上，

∴，

∴∠DAC=50°，

∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=80°

故选A．

【点睛】

本题考查三角形旋转性质，邻补角的性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于熟练掌握旋转的性质．

二、填空题

1、或

【分析】

设点G的坐标为，过点A作轴交于点M，过点作轴交于点N，由全等三角形求出点坐标，由点在2为半径的圆上，根据勾股定理即可求出点G的坐标．

【详解】

设点G的坐标为，过点A作轴交于点M，过点作轴交于点N，

如图所示：

∵，

∴，，

∵点A绕点G顺时针旋转90°后得到点，

∴，，

∴，

∵轴，轴，

∴，

∴，

∴，

在与中，

，

∴，

∴，，

∴，

∴，

在中，由勾股定理得：，

解得：或，

∴或．

故答案为：，．

【点睛】

本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，掌握相关知识之间的应用是解题的关键．

2、

【分析】

先由切线的性质得到∠OBC=90°，再由平行四边形的性质得到BO=BC，则∠BOC=∠BCO=45°，由OD=OB，得到∠ODB=∠OBD，由∠ODB+∠OBD=∠BOC，即可得到∠ODB=∠OBD=22.5°，即∠BDC=22.5°．

【详解】

解：∵BC是圆O的切线，

∴∠OBC=90°，

∵四边形ABCO是平行四边形，

∴AO=BC，

又∵AO=BO，

∴BO=BC，

∴∠BOC=∠BCO=45°，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD，

∵∠ODB+∠OBD=∠BOC，

∴∠ODB=∠OBD=22.5°，即∠BDC=22.5°，

故答案为：22.5°．

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质，切线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，熟知切线的性质是解题的关键．

3、①②④

【分析】

连接OM，由切线的性质可得，继而得，再根据平行线的性质以及等边对等角即可求得，由此可判断①；通过证明，根据相似三角形的对应边成比例可判断②；求出，利用弧长公式求得的长可判断③；由，，，可得，继而可得，，进而有，在中，利用勾股定理求出PD的长，可得，由此可判断④．

【详解】

解：连接OM，

∵PE为的切线，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

即AM平分，故①正确；

∵AB为的直径，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，故②正确；

∵，

∴，

∵，

∴，

∴的长为，故③错误；

∵，，，

∴，

∴，

∴，

∴，

又∵，，，

∴，

又∵，

∴，

设，则，

∴，

在中，，

∴，

∴，

由①可得，

，

故④正确，

故答案为：①②④．

【点睛】

本题考查了切线的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．

4、       

【分析】

根据题中点的坐标可得圆的直径，半径为1，分析以AB定长为底，点D在圆上，高最大为圆的半径，即可得出三角形最大的面积；连接AP，设点，根据切线的性质及勾股定理可得，由其非负性即可得．

【详解】

解：如图所示：当点P到如图位置时，的面积最大，

∵、，

∴圆的直径，半径为1，

∴以AB定长为底，点D在圆上，高最大为圆的半径，如图所示：

此时面积的最大值为：；

如图所示：连接AP，

∵PD切于点D，

∴，

∴，

设点，

在中，，，

∴，

在中，，

∴，

则，

当时，PD取得最小值，

最小值为，

故答案为：①；②．

【点睛】

题目主要考查切线的性质及勾股定理的应用，理解题意，作出相应图形求出解析式是解题关键．

5、65

【分析】

连接OA，OC，OB，根据四边形内角和可得，依据切线的性质及角平分线的判定定理可得DO平分，EO平分，再由各角之间的数量关系可得，，根据等量代换可得，代入求解即可．

【详解】

解：如图所示：连接OA，OC，OB，

∵PA、PB、DE与圆相切于点A、B、E，

∴，，，

∵，

∴，

∵，

∴DO平分，EO平分，

∴，，

∴，，

∴，

故答案为：65．

【点睛】

题目主要考查圆的切线的性质，角平分线的判定和性质，四边形内角和等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．

三、解答题

1、（1）见详解；（2）

【分析】

（1）由题意及垂径定理可知AC垂直平分BD，进而问题可求解；

（2）由题意易得，然后由（1）可知△ABD是等边三角形，进而问题可求解．

【详解】

（1）证明：∵AC是直径，点C是劣弧BD的中点，

∴AC垂直平分BD，

∴；

（2）解：∵，，

∴，

∵，

∴△ABD是等边三角形，

∵，

∴．

【点睛】

本题主要考查垂径定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理，熟练掌握垂径定理、等边三角形的性质与判定及圆周角定理是解题的关键．

2、

（1）见解析；

（2）

（3）

【分析】

（1）根据题意补全图形即可；

（2）根据旋转的性质可得，，进而证明，可得，根据角度的转换可得，进而根据三角形的外角性质即可证明；

（3）过点作，证明，进而根据勾股定理以及线段的转换即可得到

（1）

如图，

（2）

将线段AE绕点A逆时针旋转90°，得到线段AF，

,

,

又

即

（3）

证明如下，如图，过点作，

又,

又

，

即

【点睛】

本题考查了旋转的性质，三角形全等的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．

3、

（1）见解析

（2）CD=2

【分析】

（1）由题意易得BC=BD，∠DAM=∠DAF，则有∠CAB=∠DAB，进而可得∠BAM=90°，然后问题可求证；

（2）由题意易得CD//AM，∠ANC=∠OCE=30°，然后可得OE=1，CE=，进而问题可求解．

（1）

证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E

∴BC=BD

∴∠CAB=∠DAB

∵AM是∠DAF的平分线

∴∠DAM=∠DAF

∵∠CAD+∠DAF=180°

∴∠DAB+∠DAM=90°

即∠BAM=90°，AB⊥AM

∴AM是⊙O的切线

（2）

解：∵AB⊥CD，AB⊥AM

 ∴CD//AM

∴∠ANC=∠OCE=30°

在Rt△OCE中，OC=2

∴OE=1，CE=

∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E

∴CD=2CE=2．

【点睛】

本题主要考查切线的判定定理、垂径定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理、垂径定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键．

4、（1）见解析；（2）90°；（3）见解析

【分析】

（1）由旋转的性质可得对应边相等对应角相等，由相似三角形的判定得出△ABD∽△ACE，由相似三角形的性质即可得出结论 ；

（2）由（1）证得△ABD∽△ACE，和等腰三角形的性质得出，进而推出，由四边形的内角和定理得出结论；

（3）连接CD，由旋转的性质和等腰三角形的性质得出，CG＝DG，FC＝FD，由垂直平分线的判断得出A，F，G都在CD的垂直平分线上，进而得出结论．

【详解】

证明：（1）∵△ADE是由△ABC绕点A逆时针旋转某个角度得到的，

∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，

∴，

∴△ABD∽△ACE，

∴，

∵AB = k·AC，

∴，

∴BD = k·EC；

（2）由（1）证得△ABD∽△ACE，

∴，

∵AB＝AD，AC＝AE，∠BAC = 90°，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴∴在四边形ADGE中，，∠BAC = 90°，

∴∠CGD＝360°－180°－90°＝90°；

（3）连接CD，如图：

∵△ADE是由△ABC绕点A逆时针旋转某个角度得到的，∠BAC = 90°，AB = k·AC，

∴当k = 1时，△ABC和△ADE为等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴，∴CG＝DG

∵，

∴，∴FC＝FD，

∴点A、点G和点F在CD的垂直平分线上，

∴A，F，G三点在同一直线上．

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质和判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，垂直平分线的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和垂直平分线的判定是解题的关键．

5、

（1）见解析

（2）见解析

（3）

【分析】

（1）由旋转的性质得AB=AD，所以，再根据三角形内角和定理可证明即可得到结论；

（2）连接，根据ASA证明≌得，是等边三角形，从而得出，再运用AAS证明≌得，由勾股定理可得出，从而 可得结论；

（3）证明平分，作于点，根据勾股定理得，代入求值即可．

（1）

∵边绕着点逆时针旋转得到线段，

∴．

∵，

∴．

∴．

∵，

∴

又，且∠AEB=∠CEF

∴．

∴．

（2）

连接．

在和中，

∵，

∴≌（ASA）．

∴．

∴，即．

在和中，

∵，

∴≌（AAS）．

∴．

∵，

∴在中，，

即．

∵，，

∴是等边三角形．

∴．

（3）

．

∵，，

∴

∵．

∵，

∴．

∴平分．

作于点，

∴．

∴在中，．

∵≌，≌，

∴，，．

∴在中，，

∵，

∴．

【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形．