精品解析：2020年云南省曲靖市罗平县九年级一模数学试题(解析版+原卷版)

罗平县2020年第一次中考模拟试题

数学试题卷

第Ⅰ卷

一、选择题

1. 下列各数是有理数的是(　　)

A.  B.  C.  D. π

【答案】A

【解析】

【分析】

根据实数的分类即可求解．

【详解】有理数为，无理数为，，π．

故选：A．

【点睛】此题主要考查实数的分类，解题的关键是熟知无理数的定义．

2. 如图，将正方形ABCD中的阴影三角形绕点A顺时针旋转90°后，得到的图形为（　　）

A  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

试题分析：顺时针90°后，AD转到AB边上，所以，选A．

考点：旋转的特征

3. 新冠病毒的直径最小大约为0.00000008米，这个数用科学记数法表示为（　　）

A. 8×10﹣8 B. 8×10﹣7 C. 80×10﹣9 D. 0.8×10﹣7

【答案】A

【解析】

【分析】

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【详解】0.00000008＝8×10﹣8．

故选：A．

【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

4. 下列运算正确的是

A.  B. （-2ab）

C. 3a D. a-a=a（a+1）（a-1）

【答案】D

【解析】

选项A，原式= ；选项B，原式=；选项C，不能够计算；选项D，原式= a（a+1）（a-1）.故选D.

5. 式子有意义，则实数a的取值范围是（       ）

A. a≥-1 B. a≠2 C. a≥-1且a≠2 D. a＞2

【答案】C

【解析】

【分析】

根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可.

【详解】解：由题意得，

解得，a≥-1且a≠2，

故答案为：C.

【点睛】本题考查的知识点是根据分式有意义的条件确定字母的取值范围，属于基础题目，比较容易掌握.

6. 一个正多边形的内角和为1080°，则这个正多边形的每个外角为（　　）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 80°

【答案】B

【解析】

【分析】

根据正多边形的内角和公式（n-2）•180°列式进行计算求得边数，然后根据多边形的外角和即可得到结论．

【详解】设正多边形是n边形，

则（n-2）•180°=1080°，

解得n=8，

360°÷8=45°.
故选：B．

【点睛】本题考查了正多边形的内角和公式，外角和为360°，熟记公式是解题的关键．

7. 如图，在半径为4的⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为点E，∠AOB=90°，则阴影部分的面积是（　　）

A. 4π﹣4 B. 2π﹣4 C. 4π D. 2π

【答案】D

【解析】

【分析】

首先证明S△AOE=S△OEB，可得S阴=S扇形OBC，由此即可解决问题．

【详解】解：∵CD是直径，CD⊥AB，∠AOB=90°，

∴AE=EB，∠AOE=∠BOC=45°，

∴S△AOE=S△OEB，

∴S阴=S扇形OBC==2π．

故选D．

8. 如图，已知钝角△ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．

步骤1:以C为圆心，CA为半径画弧①；

步骤2:以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点D；

步骤3:连接AD，交BC延长线于点H.

下列叙述正确的是(       )

A. BH垂直平分线段AD B. AC平分∠BAD

C. S△ABC=BC⋅AH D. AB=AD

【答案】A

【解析】

【分析】

【详解】解：如图连接CD、BD，

∵CA=CD，BA=BD，
∴点C、点B在线段AD的垂直平分线上，
∴直线BC是线段AD的垂直平分线，
故A正确．
B、错误．CA不一定平分∠BDA．
C、错误．应该是S△ABC=•BC•AH．
D、错误．根据条件AB不一定等于AD．
故选A．

第Ⅱ卷

二、填空题

9. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是；今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数.若气温为零上记作，则表示气温为__________．

【答案】零下

【解析】

【分析】

此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可．

【详解】若气温为零上10℃记作+10℃，则-3℃表示气温为零下3℃．

故答案为：零下3℃．

【点睛】此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．

10. 因式分解：__________．

【答案】

【解析】

【分析】

原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．

【详解】解：原式

故答案为：

【点睛】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

11. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB=_______

【答案】15°

【解析】

【分析】

由正方形的性质和等边三角形的性质可得BC=CD=AD=AB、∠ADC=∠BCD=∠CBA =∠BAD= 90°，AE=DE=AD, ∠ADE=∠DEA=∠EAD=60°；再说明△ABE是等腰三角形，最后根据等腰三角形的性质解答即可．

【详解】解：∵正方形ABCD

∴BC=CD=AD=AB, ∠ADC=∠BCD=∠CBA =∠BAD= 90°

∵等边三角形ADE

∴AE=DE=AD, ∠ADE=∠DEA=∠EAD=60°

∴AB=AE,∠BAE=∠BAD+∠EAD=150°

∴∠AEB= ．

故答案为15°．

【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及等量代换思想，掌握运用等量代换思想是解答本题的关键．

12. 小明沿着坡度i为1∶的直路向上走了50 m，则小明沿垂直方向升高了________m.

【答案】25

【解析】

解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，∵坡度：i=1：，∴tan∠A=1： =，∴∠A=30°，∵AB=50m，∴BE=AB=25（m），∴他升高了25m．故答案为25．

点睛：此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意能构造直角三角形并用解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．

13. 关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围为________．

【答案】k＞．

【解析】

试题解析：根据题意得△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＜0，解得k＞．故答案为k＞．

14. 如图，过点作直线的垂线，垂足为点，过点作轴，垂足为点，过点作，垂足为点…，这样依次下去，得到一组线段…，则线段的长为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据题意分别求出线段AA1，A1A2，A2A3的长度，进而发现规律得到AnAn+1的长度，令n＝2016，即可求出线段A2016A2017的长．

【详解】∵直线，

∴由题可知，直线l与 x轴的夹角为30°，

∵点，即OA＝2，

∴，

∵∠AOA1＝30°，

∴∠A1AO＝60°，

∴∠AA1A2＝30°，

∴A1A2＝AA1cos30°，

同理，A2A3＝A1A2cos30°＝AA1cos230°，

A3A4＝A2A3cos30°＝AA1cos330°，

…，

∴，

当n＝2016时，＝，

故答案为：．

【点睛】本题考查图形的变化规律与解直角三角形，利用从特殊到一般的探究方法发现规律是解题的关键．

三、解答题

15. 计算：（-1）2-|-7|+×（2017-π）0+（）-2

【答案】5.

【解析】

实数运算顺序为：先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右依次进行；有括号的按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行.在进行计算的同时，要注意绝对值的取值、非零数的零次幂及负整数指数幂的运算.

解：（-1）2-|-7|+×（2017-π）0+（）-2

＝1－7+2×1+9

＝5.

16. 先化简，再求值：），其中．

【答案】，．

【解析】

试题分析：先通分，然后进行四则运算，最后将a的值代入计算即可．

试题解析：原式===，

当时，原式===．

考点：分式的化简求值．

17. 如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：．

【答案】证明见解析．

【解析】

【分析】

根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．

【详解】证明：，

，

，

，

即，

在和中，

，

，

．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键，要注意需要求出对应边．

18. 某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同．

（1）求这种笔和本子的单价；

（2）该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔和本子，计划100元刚好用完，并且笔和本子都买，请列出所有购买方案．

【答案】（1）这种笔单价为10元，则本子单价为6元;（2）有三种方案：①购买这种笔7支，购买本子5本；②购买这种笔4支，购买本子10本；③购买这种笔1支，购买本子15本．

【解析】

【分析】

（1）首先设这种笔单价为x元，则本子单价为（x﹣4）元，根据题意可得等量关系：30元买这种本子的数量=50元买这种笔的数量，由等量关系可得方程，再解方程可得答案；

（2）设恰好用完100元，可购买这种笔m支和购买本子n本，根据题意可得这种笔的单价×这种笔的支数m+本子的单价×本子的本数n=100，再求出整数解即可．

【详解】（1）设这种笔单价x元，则本子单价为（x﹣4）元，

由题意得： ，

解得：x=10，

经检验：x=10是原分式方程的解，

则x﹣4=6．

答：这种笔单价为10元，则本子单价为6元；

（2）设恰好用完100元，可购买这种笔m支和购买本子n本，

由题意得：10m+6n=100，整理得：m=10﹣n，

∵m、n都是正整数，

∴①n=5时，m=7，②n=10时，m=4，③n=15，m=1；

∴有三种方案：

①购买这种笔7支，购买本子5本；

②购买这种笔4支，购买本子10本；

③购买这种笔1支，购买本子15本．

考点：分式方程的应用；二元一次方程的应用.

19. 为了解本校九年级学生期末数学考试情况，在九年级随机抽取了一部分学生的期末数学成绩为样本，分为（分）、（分）、（分）、（分）四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下统计图，请你根据统计图解答以下问题：

（1）这次随机抽取的学生共有多少人？

（2）请补全条形统计图．

（3）这个学校九年级共有学生人，若分数为分（含分）以上为优秀，请估计这次九年级学生期末数学考试成绩为优秀的学生大约有多少？

【答案】（1）40人；（2）图见解析；（3）480人．

【解析】

分析】

（1）根据等级的人数和所占的百分比求出这次随机抽取的学生数；

（2）用抽取的总人数乘以等级所占的百分比，从而补全统计图；

（3）用该校九年级的总人数乘以优秀的人数所占的百分比，即可得出答案．

【详解】解：（1）这次随机抽取学生共有：（人；

（2）等级的人数是：人，如图：

（3）根据题意得：（人，

答：这次九年级学生期末数学考试成绩为优秀的学生人数大约有480人．

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．

20. 甲、乙两人进行摸牌游戏.现有三张形状大小完全相同的牌,正面分别标有数字2,3,5.将三张牌背面朝上,洗匀后放在桌子上.

(1)甲从中随机抽取一张牌,记录数字后放回洗匀,乙再随机抽取一张.请用列表法或画树状图的方法,求两人抽取相同数字的概率;

(2)若两人抽取的数字和为2的倍数,则甲获胜;若抽取的数字和为5的倍数,则乙获胜.这个游戏公平吗?请用概率的知识加以解释.

【答案】（1）.（2）不公平.

【解析】

【分析】

（1）利用列表法得到所有可能出现的结果，根据概率公式计算即可；

（2）分别求出甲、乙获胜的概率，比较即可．

【详解】（1）所有可能出现的结果如图：

从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为：；

（2）不公平，

从表格可以看出，两人抽取数字和为2的倍数有5种，两人抽取数字和为5的倍数有3种，

所以甲获胜的概率为：，乙获胜的概率为：.

∵>，

∴甲获胜的概率大，游戏不公平．

21. 宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：．

（1）工人甲第几天生产的产品数量为70件；

（2）设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图象如图．工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少．

【答案】（1）第12天；（2），第11天时，利润最大，最大利润是845元．

【解析】

【分析】

（1）根据y=70求得x即可；

（2）先根据函数图象求得P关于x的函数解析式，再结合x的范围分类讨论，根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质求得最值即可．

【详解】解：（1）根据题意，得：

∵若7.5x=70，得：x=＞4，不符合题意；

∴5x+10=70，解得：x=12．

答：工人甲第12天生产的产品数量为70件；

（2）由函数图象知，当0≤x≤4时，P=40，

当4＜x≤14时，设P=kx+b，将（4，40）、（14，50）代入，

得：，解得：，

∴P=x+36；

①当0≤x≤4时，W=（60﹣40）•7.5x=150x，

∵W随x的增大而增大，∴当x=4时，W最大=600元；

②当4＜x≤14时，W=（60﹣x﹣36）（5x+10）=﹣5x2+110x+240=﹣5（x﹣11）2+845，

∴当x=11时，W最大=845，∵845＞600，

∴当x=11时，W取得最大值，845元，

∴

答：第11天时，利润最大，最大利润是845元．

【点睛】本题考查二次函数的应用；二次函数的最值；最值问题；分段函数．

22. 如图，内接于，是的直径，弦交于点，延长到点，连接， ，使得，

（1）求证：是的切线；

（2）若的半径为，，求的长.

【答案】（1）见解析   （2）

【解析】

【分析】

（1）由BC是⊙O的直径，得到∠BAF+∠FAC=90°，等量代换得到∠D+∠AOD=90°，于是得到结论；
（2）连接BF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．

【详解】解（1）是的直径

，

是的切线

（2）连接

23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线对称轴与轴交于点.

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）设点是直线上的一个动点，当的值最小时，求的长；

（3）在直线上是否存在点，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）    （2）   （3）存在，点的坐标为或或或，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）由题意先求得C（0，3）．设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3），将点C的坐标代入可求得a的值即可；

（2）由题意依据轴对称图形的性质可知PA=PB，则PA+PC=PB+PC，则当点P在线段BC上时，PC+AP有最小值，PA+PC的最小值=BC，接下来，依据勾股定理求解即可；

（3）根据题意设点Q的坐标为（1，m），则QM=|m|，然后依据相似三角形的性质可得到∠OQM=∠CAO或∠OQM=∠ACO，然后依据相似三角形的性质列比例求解即可．

【详解】解：(1)把代入抛物线中，得

设抛物线的解析式为

将点的坐标代入，得

解得

抛物线的解析式为.

（2）如图所示：

点与点关于直线对称，点在直线上

两点之间线段最短

当点在线段上时，有最小值，

的最小值即为

，

的最小值为.

（3）抛物线的对称轴为直线

设点的坐标为，则

以，，为顶点的三角形与相似，

或

当时，

即，解得

点的坐标为或

当时，

即，解得

点的坐标为或

综上所述，点的坐标为或或或.

【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、轴对称最短路径、相似三角形的判定和性质，设出抛物线的适当形式是解答问题（1）的关键；利用轴对称的性质和线段的性质将PA+PC的长转化为BC的长是解答问题（2）的关键；利用相似三角形的性质列出比例式是解答问题（3）的关键．