精品解析：2020年云南省曲靖市马龙区中考数学一模试题(解析版+原卷版)

2020年中考数学一模试卷

一、选择题

1.曲靖市的职业教育是曲靖市教育的一张名片，现在曲靖市中等职业学校在校生约为130000人，将数字130000用科学记数法表示为（　　）

A. 0.13×105 B. 0.13×106 C. 1.3×105 D. 1.3×106

【答案】C

【解析】

【分析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．

【详解】将数字130000用科学记数法表示为1.3×105，

故选：C．

【点睛】本题考查了科学记数法的表示形式，正确得出n的值是解题的关键．

2.下列计算正确的是（　　）

A. a2+a2＝a4 B. a2•a3＝a6

C. （﹣a2）2＝a4 D. （a+1）2＝a2+1

【答案】C

【解析】

【详解】解：A、根据同类项及合并同类项，可知a2+a2=2a2，错误；

B、根据同底数幂乘法，底数不变，指数相加，可知a2•a3=a5，错误；

C、根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可知（﹣a2）2=a4，正确；

D、根据完全平方公式特点，可知（a+1）2=a2+2a+1，错误；

故选C．

3.如图,在下面的四个几何体中,从它们各自的正面和左面看,不相同的是（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等可对各选项进行判断．

【详解】A、左视图和主视图虽然都是长方形，但是左视图的长方形的宽为三棱柱的底面三角形的高;主视图的长方形的宽为三棱柱的底面三角形的边长，所以A选项正确；

B、左视图和主视图都是相同的正方形，所以B选项错误；
C、左视图和主视图都是相同的长方形，所以C选项错误；
D、左视图和主视图都是相同的等腰三角形，所以D选项错误．
故选A．

【点睛】本题考查了简单几何体的三视图：画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．会画常见的几何体的三视图．

4.已知反比例函数y＝图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是（　　）

A. m＜0 B. m＞0 C. m＜ D. m＞

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征得到图象只能在一、三象限，故

，则1-2m＞0，∴m＞．

故选C．

考点：反比例函数图象上点的坐标特征．

5.为了参加市中学生篮球运动会，一支校篮球队准备购买10双运动鞋，各种尺码统计如下表：

则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（ ）

A. 25．5厘米，26厘米 B. 26厘米，25．5厘米

C. 25．5厘米，25．5厘米 D. 26厘米，26厘米

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：众数是26cm,出现了3次，次数最多；在这10个数中按从小到大来排列最中间的两个数是26，26；它们的中位书为26cm

考点：众数和中位数

点评：本题考查众数和中位数，解本题的关键是熟悉众数和中位数的概念

6.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，将△ABD沿对角线BD对折，得到△EBD，DE与BC交于点F，∠ADB＝30°，则FC为（　　）

A.  B.  C. 2 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】

利用翻折变换的性质得出：∠1＝∠2＝30°，根据矩形的性质可得∠3＝30°，CD＝AB＝3，进而结合锐角三角函数关系求出FC的长．

【详解】解：如图所示：由题意可得：∠1＝∠2＝30°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠3＝30°，CD＝AB＝3，

∴tan30°= ，
解得：FC=．
故选：B．

【点睛】此题考查翻折变换性质以及锐角三角函数关系，得出∠3=30°是解题关键．

7.如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE：S△COB＝（　　）

A. 2 B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

因为BE、CD是△ABC中的两条中线，可知DE是△ABC的中位线，于是DE∥BC，得出△DOE∽△COB，再根据相似比即可求出面积比．

【详解】解：∵BE、CD是△ABC中的两条中线，

∴DE是△ABC的中位线，

于是DE∥BC，

∴ ，△DOE∽△COB，
∴ ，

故选：D．

【点睛】此题考查相似三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，解题关键在于掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

8.如图，在△ABC中，AB＝4，若将ABC绕点B顺时针旋转60°，点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′，点D为A′B的中点，连接AD则点A的运动路径AB与线段AD、A′D围成的阴影部分的面积是（　　）

A. ﹣2 B. ﹣4 C. ﹣2 D. ﹣4

【答案】A

【解析】

【分析】

如图，连接AA′．证明△ABA′是等边三角形，根据S阴＝S扇形BAA′﹣S△ADB求解即可．

【详解】解：如图，连接AA′．

∵BA＝BA′，∠ABA′＝60°，

∴△ABA′是等边三角形，

∴BA＝BA′＝4，

∵DB＝DA′，

∴AD⊥BA′，

∴S阴=S扇形BAA′-S△ADB=，
故选：A．

【点睛】此题考查扇形的面积，旋转变换，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）

9.﹣的相反数是_____．

【答案】

【解析】

根据相反数的定义可知的相反数是．

故填．

10.不等式组的解集为_____．

【答案】-＜x≤4．

【解析】

【分析】

先求出两个不等式的解集，再求其公共解．

【详解】解：，

由①得，x＞﹣，

由②得，x≤4，

所以不等式组的解集为﹣＜x≤4，

故答案为：﹣＜x≤4．

【点睛】此题考查一元一次不等式组的解集，解题关键在于掌握运算法则.

11.如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为点E，∠2=40°，则∠1的度数是______．

【答案】50°

【解析】

【分析】

根据平行线的性质求出∠EDF=∠2=40°，根据垂直求出∠FED=90°，根据三角形内角和定理求出即可．

【详解】解：∵AB∥CD，∠2=40°，

∴∠EDF=∠2=40°，

∵FE⊥DB，

∴∠FED=90°，

∠1=180°-∠FED-∠EDF=180°-90°-40°=50°，

故答案为50°．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，垂直定义，平行线的性质等知识点，能根据平行线的性质求出∠EDF的度数是解此题的关键．

12.关于x的方程mx2﹣4x+1＝0有实数根，则m的取值范围是_____．

【答案】m≤4．

【解析】

【分析】

根据一元二次方程根的判别式列出不等式并求解即可．

【详解】解：当关于x的方程mx2﹣4x+1＝0是一次方程，则m＝0，有实数根；

当是一元二次方程，根据题意得△＝（﹣4）2﹣4m•1≥0，解得m≤4．

综上可得，m≤4．

故答案为m≤4．

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和解不等式以及分类讨论思想，讨论方程为一次方程时得到m=1是解答本题的关键，也是解答本题的易错点．

13.如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为_____．

【答案】13．

【解析】

【分析】

根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE＝BE，然后求出△BEC周长＝AC+BC，代入数据计算即可得解．

【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，

∴AE＝BE，

∴△BEC周长＝BE+CE+BC＝AE+CE+BC＝AC+BC＝8+5＝13，

故答案为：13．

【点睛】此题考查的是垂直平分线性质的应用,掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解决此题的关键．

14.如图，每个图案都由若干个棋子摆成，按照此规律，第n个图案中棋子的总个数可用含n的代数式表示为_____．

【答案】5n﹣1．

【解析】

【分析】

设第n个图案的棋子数为an（n为正整数）．结合图形，列出部分an的值，根据数据的变化找出变化规律．

【详解】第1个图案中棋子的总个数是：，

第2个图案中棋子的总个数是：，

第3个图案中棋子的总个数是：，

那么第n个图案中棋子的总个数可以用含n的代数式表示为：，

故答案为：．

【点睛】本题属于规律题，准确找出题中图像之间的规律并将特殊规律转化为一般规律是解决本题的关键.

三.解答题（本大题共9个小题，满分70分）

15.计算：．

【答案】3．

【解析】

试题分析：本题涉及零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则计算．

试题解析：原式===3．

考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

16.先化简，再求值：，其中．

【答案】，

【解析】

【分析】

先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．

【详解】解：原式

，

当时，原式．

【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

17.如图，四边形ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F、G．求证：AF＝DG

【答案】详见解析

【解析】

【分析】

根据正方形的性质可得AB＝AD，再利用同角的余角相等求出∠BAF＝∠ADG，再利用“角角边”证明△BAF≌△ADG，根据全等三角形对应边相等可得AF＝DG．

【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠DAB＝90°，

∵BF⊥AE，DG⊥AE，

∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG+∠DAG＝90°，

∵∠DAG+∠BAF＝90°，

∴∠ADG＝∠BAF，

在△BAF和△ADG中，

，

∴△BAF≌△ADG（AAS），

∴AF＝DG．

【点睛】此题考查的是正方形的性质和全等三角形的判定及性质,掌握正方形的性质和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．

18.某种洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间的关系如图所示．已知：洗衣机的排水速度为每分钟20升．

（1）求排水时y与x之间的函数解析式；

（2）洗衣机中的水量到达某一水位后，过13.7分钟又到达该水位，求该水位为多少升．

【答案】（1）y＝﹣20x＋340；（2）该水位为22升．

【解析】

【分析】

（1）由图象可知0﹣4分时是进水时间，4﹣15分钟时是清洗时间，15分钟以后是放水的时间，据此解答即可；

（2）根据图象知，洗衣机的进水速度为40÷4＝10 升/分钟，设洗衣机中的水量第一次到达某一水位的时间是x分钟，则第二次到达该水位的时间为（x＋13.7）分钟，根据题意列方程解答即可．

【详解】解：（1）由图象可知洗衣机进水时间为4分钟，清洗时洗衣机中的水量是40升，

故排水时，y与x之间的函数解析式为y＝40﹣20（x﹣15）＝﹣20x＋340；

（2）根据图象知，洗衣机的进水速度为40÷4＝10 升/分钟，

设洗衣机中的水量第一次到达某一水位的时间是x分钟，

则第二次到达该水位的时间为（x＋13.7）分钟，

根据题意得10x＝﹣20（x＋13.7）＋340，

解得x＝2.2，此时y＝10×2.2＝22，

答：该水位为22升．

【点睛】写函数表达式需要充分理解题意，读懂函数图象.

19.曲靖市某街道学苑社区开展爱心捐赠活动，并决定赠送一批阅读图书，用于贫困学生的课外学习．据了解，科普书的单价比文学书的单价多8元，用12000元购买科普书与用8000元购买文学书的本数相同，求这两类书籍的单价各是多少元．

【答案】文学书每本16元，科普书每本24元．

【解析】

【分析】

设文学书每本x元，则科普书每本（x+8）元，根据题中的等量关系列出分式方程，再求解即可．

【详解】解：设文学书每本x元，则科普书每本（x+8）元，

依题意列方程得＝，

解得x＝16，

经检验，x＝16是原方程的根，且符合题意，

x+8＝24，

答：文学书每本16元，科普书每本24元．

【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意、确定等量关系并列出分式方程是解答本题的关键．

20.已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．

（1）求证：四边形AGBD为平行四边形；

（2）若四边形AGBD是矩形，则四边形BEDF是什么特殊四边形？证明你的结论．

【答案】（1）见解析；（2）四边形DEBF是菱形，理由见解析.

【解析】

分析】

（1）由题意得AD∥BC，所以AD∥BG，又因为AG∥BD，所以四边形AGBD是平行四边形；

（2）根据题意易证四边形DFBE是平行四边形，因为四边形AGBD是矩形，E为AB的中点，得AE=BE=DE，所以平行四边形DEBF是菱形．

【详解】（1）∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，

∴AD∥BG，

又∵AG∥BD，

∴四边形AGBD是平行四边形；

（2）四边形DEBF是菱形，理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD，

∵点E、F分别是AB、CD的中点，

∴BE=AB，DF=CD，

∴BE=DF，BE∥DF，

∴四边形DFBE是平行四边形，

∵四边形AGBD是矩形，E为AB的中点，

∴AE=BE=DE，

∴平行四边形DEBF是菱形．

【点睛】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质和菱形的判定，难度一般，灵活运用平行四边形和矩形的特点是解此题的关键.

21.某校九年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知B、E两组发言人数的比为5：2，请结合图中相关数据回答下列问题：

（1）则样本容量是　   　，并补全直方图；

（2）该年级共有学生500人，请估计全年级在这天里发言次数不少于12的次数；

（3）已知A组发言的学生中恰有1位女生，E组发言的学生中有2位男生，现从A组与E组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率．

【答案】（1）50，补图见解析;（2）90次;（3）树状图见解析,．

【解析】

试题分析：（1）根据B、E两组发言人数的比和E组所占的百分比，求出B组所占的百分比，再根据B组的人数求出样本容量，从而求出C组的人数，即可补全统计图；

（2）用该年级总的学生数乘以E和F组所占的百分比的和，即可得出答案；

（3）先求出A组和E组的男、女生数，再根据题意画出树状图，然后根据概率公式即可得出答案．

试题解析：（1）∵B、E两组发言人数比为5：2，E占8%，

∴B组所占的百分比是20%，

∵B组的人数是10，

∴样本容量为：10÷20%=50，

∴C组的人数是50×30%=15（人），

∴F组的人数是50×（1﹣6%﹣20%﹣30%﹣26%﹣8%）=5（人），

补图如下：

（2）∵F组的人数是1﹣6%﹣8%﹣30%﹣26%﹣20%=10%，

∴发言次数不少于12的次数所占的百分比是：8%+10%=18%，

∴全年级500人中，在这天里发言次数不少于12的次数为：500×18%=90（次）．

（3）∵A组发言的学生为：50×6%=3人，有1位女生，

∴A组发言的有2位男生，

∵E组发言的学生：4人，

∴有2位女生，2位男生．

∴由题意可画树状图为：

∴共有12种情况，所抽的两位学生恰好是一男一女的情况有6种，

∴所抽的两位学生恰好是一男一女的概率为．

22.如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作AB的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G，且∠ABG=2∠C．

（1）求证：EG是⊙O的切线；

（2）若tanC=，AC=8，求⊙O的半径．

【答案】(1)见解析；（2）⊙O半径为.

【解析】

【分析】

(1)根据∠ABG=2∠C ，可得△ABC是等腰三角形，且BE⊥AC可得(2)由三角函数求出BE、CE的长，再用勾股定理求BC的长即可求长半径的长.

【详解】证明（1）如图：连接OE，BE，

∵∠ABG=2∠C，∠ABG=∠C+∠A.

∴∠C=∠A，

∴BC=AB，

∵BC是直径，

∴∠CEB=90°，且AB=BC，

∴CE=AE，且CO=OB，

∴OE∥AB，

∵GE⊥AB，

∴EG⊥OE，且OE是半径，

∴EG是⊙O的切线，

（2）∵AC=8，

∴CE=AE=4，

∵tan∠C=.

∴BE=2，

∴BC=.

∴CO=.

即⊙O半径为.

【点睛】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理的知识点，解题的关键是灵活运用切线的判定.

23.如图，抛物线y=ax2+bx+3经过点 B（﹣1，0），C（2，3），抛物线与y轴的焦点A，与x轴的另一个焦点为D，点M为线段AD上的一动点，设点M的横坐标为t．

（1）求抛物线的表达式；

（2）过点M作y轴的平行线，交抛物线于点P，设线段PM的长为1，当t为何值时，1的长最大，并求最大值；（先根据题目画图，再计算）

（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△PAD的面积最大？并求最大值；

（4）在（2）的条件下，是否存在点P，使△PAD为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．

【答案】(1)y=﹣x2+2x+3；（2）当t=时，l有最大值，l最大=；（3）t=时，△PAD的面积的最大值为；（4）t=.

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题；

（2）易知直线AD解析式为y=-x+3，设M点横坐标为m，则P（t，-t2+2t+3），M（t，-t+3），可得l=-t2+2t+3-（-t+3）=-t2+3t=-（t-）2+，利用二次函数的性质即可解决问题；

（3）由S△PAD=×PM×（xD-xA）=PM，推出PM的值最大时，△PAD的面积最大；

（4）如图设AD的中点为K，设P（t，-t2+2t+3）．由△PAD是直角三角形，推出PK=AD，可得（t-）2+（-t2+2t+3-）2=×18，解方程即可解决问题；

试题解析：（1）把点 B（﹣1，0），C（2，3）代入y=ax2+bx+3，

则有，

解得，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．

（2）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0可得0=﹣x2+2x+3，解得x=﹣1或x=3，

∴D（3，0），且A（0，3），

∴直线AD解析式为y=﹣x+3，

设M点横坐标为m，则P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），

∵0＜t＜3，

∴点M在第一象限内，

∴l=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣）2+，

∴当t=时，l有最大值，l最大=；

（3）∵S△PAD=×PM×（xD﹣xA）=PM，

∴PM的值最大时，△PAD的面积中点，最大值=×=．

∴t=时，△PAD的面积的最大值为．

（4）如图设AD的中点为K，设P（t，﹣t2+2t+3）．

∵△PAD是直角三角形，

∴PK=AD，

∴（t﹣）2+（﹣t2+2t+3﹣）2=×18，

整理得t（t﹣3）（t2﹣t﹣1）=0，

解得t=0或3或，

∵点P在第一象限，

∴t=.