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数学人教版28.2 解直角三角形及其应用学案设计
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这是一份数学人教版28.2 解直角三角形及其应用学案设计，共8页。学案主要包含了新课讲授，例题解析，课堂练习，课堂总结，作业等内容，欢迎下载使用。
教师
科目
数学
班级
时间
教学内容
28.2.2解直角三角形应用举例
教学目标
能从实际问题中构造直角三角形，从而把实际问题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三角函数解决问题.
重点考点
能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角，方向角，坡度有关的实际问题，在解题过程中进一步体会数形结合、转化、方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基本模型及解题思路.
教
学
实
施
过
程
一、新课讲授
（一）知识点框架
知识点一：仰角、俯角
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角.如图所示：
知识点二：方位角
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角. 如图所示：
知识点三：坡度、坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α ，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度.记作，坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶6，如图所示：
二、例题解析
例1.如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.8米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°。求旗杆的高度CD。(结果精确到0.1米)（参考数据: sin32°=0.53，cs32°=0.85，tan32°=0.62）
例2.目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°（tan39°≈0.81）
(1) 求大楼与电视塔之间的距离AC.
(2) 求大楼的高度CD（精确到1米）.
例3.如图②，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得 D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米.
例4.如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
例5.如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1 : 2，走30米到达山顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30°．请求出点B和点C的水平距离.
三、课堂练习
练1.建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC为40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）
练2.如图，小明想测量塔CD的高度，他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，小明的身高1.5 m。你能帮小明算出该塔有多高吗?（结果精确到1 m）
练3.如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处， 从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO.
练4.如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：)
练5.如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO=45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h，经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO=58°，此时B处距离码头O多远？（参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60)
练6.一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是 12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽 (精确到0.1米）
四、课堂总结
能从实际问题中构造直角三角形，从而把实际问题转化为解直角三角形的问题，灵活选择三角函数解决问题.
五、作业
1.如图①，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=_________米.
2.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个破面的坡度为_________.
3.小明同学在东西方向的沿江大道A处，测得江中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处正东400米的B处，测得江中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到沿江大道的距离为___________米．
4.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是，坝高BC=3m，则坡面AB的长度是 .
5.如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为37°和45 °，求飞机的高度 .（结果取整数. 参考数据：sin37°≈0.8，cs37 °≈0.6，tan 37°≈0.75)
6.如右下图，海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离.
7.如图铁路的路基的横截面是等腰梯形，斜坡AB的坡度为，BE为米，基面AD宽2米，求路基的高AE，基底的宽BEC及坡角B的度数.（答案可带根号）
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时间
教学内容
28.2.2解直角三角形应用举例
教学目标
能从实际问题中构造直角三角形，从而把实际问题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三角函数解决问题.
重点考点
能运用解直角三角形知识解决仰角和俯角，方向角，坡度有关的实际问题，在解题过程中进一步体会数形结合、转化、方程的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基本模型及解题思路.
教
学
实
施
过
程
一、新课讲授
（一）知识点框架
知识点一：仰角、俯角
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角.如图所示：
知识点二：方位角
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角. 如图所示：
知识点三：坡度、坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α ，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度.记作，坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶6，如图所示：
二、例题解析
例1.如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.8米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°。求旗杆的高度CD。(结果精确到0.1米)（参考数据: sin32°=0.53，cs32°=0.85，tan32°=0.62）
例2.目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°（tan39°≈0.81）
(1) 求大楼与电视塔之间的距离AC.
(2) 求大楼的高度CD（精确到1米）.
例3.如图②，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得 D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米.
例4.如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？
例5.如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的B点出发时，测得坡面AB的坡度为1 : 2，走30米到达山顶A处．这时，他发现山的另一坡面AC的最低点C的俯角是30°．请求出点B和点C的水平距离.
三、课堂练习
练1.建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC为40m的D处观察旗杆顶部A的仰角为54°，观察底部B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）
练2.如图，小明想测量塔CD的高度，他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，小明的身高1.5 m。你能帮小明算出该塔有多高吗?（结果精确到1 m）
练3.如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处， 从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和45°，求飞机的高度PO.
练4.如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保护区的范围在以P点为圆心，100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：)
练5.如图，轮船甲位于码头O的正西方向A处，轮船乙位于码头O的正北方向C处，测得∠CAO=45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为45km/h和36km/h，经过0.1h，轮船甲行驶至B处，轮船乙行驶至D处，测得∠DBO=58°，此时B处距离码头O多远？（参考数据：sin58°≈0.85，cs58°≈0.53，tan58°≈1.60)
练6.一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是 12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽 (精确到0.1米）
四、课堂总结
能从实际问题中构造直角三角形，从而把实际问题转化为解直角三角形的问题，灵活选择三角函数解决问题.
五、作业
1.如图①，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=_________米.
2.某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为米，则这个破面的坡度为_________.
3.小明同学在东西方向的沿江大道A处，测得江中灯塔P在北偏东60°方向上，在A处正东400米的B处，测得江中灯塔P在北偏东30°方向上，则灯塔P到沿江大道的距离为___________米．
4.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是，坝高BC=3m，则坡面AB的长度是 .
5.如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方P点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为37°和45 °，求飞机的高度 .（结果取整数. 参考数据：sin37°≈0.8，cs37 °≈0.6，tan 37°≈0.75)
6.如右下图，海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离.
7.如图铁路的路基的横截面是等腰梯形，斜坡AB的坡度为，BE为米，基面AD宽2米，求路基的高AE，基底的宽BEC及坡角B的度数.（答案可带根号）
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