专题强化练5　直线与圆锥曲线的位置关系-2022版数学选择性必修第一册 北师大版（2019） 同步练习 （Word含解析）

专题强化练5　直线与圆锥曲线的位置关系

　一、选择题

1.(2021上海徐汇高二上期中,)直线l:y-kx-1=0与椭圆+=1恒有公共点,则m的取值范围是              (　　)

A.(0,1)　　　　　　　B.(0,5)

C.[1,5)∪(5,+∞)　　　　　　　D.[1,+∞)

2.(2020江西师范大学附属中学高三教学质量检测,)斜率为的直线与双曲线-=1恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围是              (　　)

A.[2,+∞)　　　　　　　B.(2,+∞)

C.(1,)　　　　　　　D.(,+∞)

3.(2021江西南昌新建二中高二上期中,)过点P(4,3)与双曲线-=1只有一个公共点的直线的条数为　              (　　)

A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4

4.(2020陕西西安西北工业大学附属中学高二下月考,)已知抛物线y2=4x的准线与x轴相交于点P,过点P且斜率为k(k>0)的直线l与抛物线交于A,B两点,F为抛物线的焦点,若|FB|=2|FA|,则|AB|=              (　　)

A.　　　　B.2　　　　C.　　　　D.

5.(2021江西临川一中高二上期中,)已知椭圆的方程为+=1(a>b>0),斜率为-的直线l与椭圆交于A,B两点,且线段AB的中点为M(1,2),则该椭圆的离心率为              (　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

二、填空题

6.(2021黑龙江哈尔滨师范大学附属中学高二月考,)已知斜率为1的直线l过椭圆+=1的下焦点,交椭圆于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积是　　　　. 

7.(2021四川西昌高二上期中,)已知抛物线C:x2=4y,AB为过焦点F的弦,过A,B分别作抛物线的切线,两切线交于点P,设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则下列结论正确的有　　　　(填序号). 

①若直线AB的斜率为-1,则|AB|=8;

②若直线AB的斜率为-1,则x0=2;

③点P恒在平行于x轴的直线y=-1上;

④若点M(xM,yM)是弦AB的中点,则xM=x0.

8.(2021福建南平第八中学高二上期中检测,)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点,若|AF|=3|BF|,则l的方程为　　　　　　　. 

三、解答题

9.(2021浙江金华曙光中学高二上期中,)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F恰是椭圆+y2=1的一个焦点,过点F的直线与抛物线交于A,B两点.

(1)求抛物线的方程;

(2)若∠AFx=45°,求|AB|.

10.(2021浙江金华东阳中学高二上期中,)已知椭圆C:+y2=1(a>1)的离心率为.

(1)求椭圆C的方程;

(2)若直线l:x-y+m=0与椭圆交于E、F两点,且线段EF的中点在圆x2+y2=1上,求m的值.

答案全解全析

一、选择题

1.C　直线l:y-kx-1=0恒过点(0,1),

因为直线l:y-kx-1=0与椭圆+=1恒有公共点,所以点(0,1)在椭圆上或在椭圆内即可,

所以

解得m≥1且m≠5,

所以m的取值范围是[1,5)∪(5,+∞),故选C.

2.B　因为斜率为的直线与双曲线-=1恒有两个公共点,

所以>,所以e==>2,

所以双曲线离心率的取值范围是(2,+∞),故选B.

3.B　因为双曲线的方程为-=1,所以a=4,b=3,其渐近线方程为y=±x,易知点P(4,3)在直线y=x上,如图所示:

当过点P(4,3)的直线与直线y=-x平行或与x轴垂直(过右顶点)时,与双曲线只有一个公共点,

所以这样的直线有2条.故选B.

4.C　依题意知P(-1,0),F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),由|FB|=2|FA|,得x2+1=2(x1+1),即x2=2x1+1①,

因为P(-1,0),所以直线AB的方程为y=kx+k,与y2=4x联立,得k2x2+(2k2-4)x+k2=0,则Δ=-4k4>0,x1x2=1②,

解得k2<1,由①②可得x1=(x2=-1舍去),则A,所以k==,所以x1+x2=,

|AB|====,故选C.

5.C　设A(x1,y1),B(x2,y2),

则两式作差得

+=0,

又kAB==-,线段AB的中点为M(1,2),

所以x1+x2=2,y1+y2=4,

所以+=0,

即=-=,

所以该椭圆的离心率e===.

故选C.

二、填空题

6.答案　

解析　椭圆+=1的下焦点的坐标为(0,-2),

∵斜率为1的直线l过椭圆+=1的下焦点,∴可得直线l的方程为y=x-2,

与椭圆方程联立可得3x2-4x-4=0,

∴x=2或x=-,

∴△OAB的面积为×2×2+×2×=.

7.答案　①③④

解析　设直线PA的方程为y-=k(x-x1),与抛物线方程x2=4y联立,得x2-4kx+4kx1-=0,

由Δ=16k2-16kx1+4=0得k=,

所以直线PA的方程为y-=(x-x1),同理得直线PB的方程为y-=(x-x2),

联立解得

所以交点P,即x0==xM,所以④正确;

根据题意知直线AB的斜率必存在,设直线AB的方程为y=tx+1,

联立消去y并整理,

得x2-4tx-4=0,

由根与系数的关系得

所以y0==-1,所以③正确;

当t=-1时,x0==-2,所以②错误;

当t=-1时,根据抛物线的定义可得

|AB|=y1-+y2-=y1+y2+p=-x1+1-x2+1+2=-(x1+x2)+4=4+4=8,所以①正确.

故填①③④.

8.答案　y=±(x-1)

解析　由抛物线C:y2=4x可得,其焦点为F(1,0),

由题意,可设直线l的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),

由消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,

则

且Δ=-4k4=16k2+16>0,

根据抛物线的定义可得,|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,

因为|AF|=3|BF|,所以x1+1=3(x2+1),则x1=3x2+2=+2,解得x1=3或x1=-1(舍去),所以x2=,

所以x1+x2==2+,解得k=±,

即直线l的方程为y=±(x-1).

三、解答题

9.解析　(1)椭圆+y2=1的焦点为(±1,0),由题意可知F(1,0),则=1,解得p=2,则抛物线的方程为y2=4x.

(2)因为∠AFx=45°,所以直线AB的斜率为tan45°=1,

又抛物线的焦点为F(1,0),

所以直线AB的方程为y-0=x-1,即y=x-1,

联立得x2-6x+1=0,

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,

所以|AB|=x1+x2+p=8.

10.解析　(1)由题意,得

解得

故椭圆C的方程为+y2=1.

(2)设E(x1,y1),F(x2,y2),线段EF的中点为M(x0,y0).

联立消去y,得3x2+4mx+2m2-2=0,

所以x0==-,y0=x0+m=,

即M,又Δ=(4m)2-4×3×(2m2-2)>0,所以-<m<.

又因为点M在圆x2+y2=1上,

所以+=1,

解得m=±,满足题意.

故m的值为±.