【配套新教材】专题四 导数及其应用 第二讲 导数的应用（强基讲义）——2022届新高考数学一轮复习

这是一份【配套新教材】专题四 导数及其应用 第二讲 导数的应用（强基讲义）——2022届新高考数学一轮复习，共6页。试卷主要包含了函数单调性与导数的关系，生活中的优化问题等内容，欢迎下载使用。

（一）核心知识整合
考点1：导数与函数的单调性
1.函数单调性与导数的关系
设函数在(a，b)内可导，是的导数，则在某个区间(a，b)内，如果f′(x0)>0那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x0)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.
[典型例题]
1.已知函数在R上为增函数，则实数m的取值范围为( )
A.B.C.D.
[答案]：A
[解析] 因为函数在R上为增函数，所以对恒成立，即对恒成立，又因为（当且仅当，即时等号成立），所以.故选A.
2.如图是函数的导函数的图像，则下列判断正确的是( )
A.在上，是增函数B.在上，是减函数
C.在上，是增函数D.在上，是增函数
[答案]：C
[解析] 由题图知，当和时，有正有负，故不单调，A,B错误；当时，，所以在上，是增函数，C正确；当时，，所以在上，是减函数，D错误.
故选C.
考点2：导数与函数的极（最）值
1.函数的极值
a.函数的极值的定义
一般地，设函数f（x）在点x=x0及其附近有定义，
（1）若对于x0附近的所有点，都有f（x）（2）若对于x0附近的所有点，都有f（x）f（x0），则f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值=f（x0）.
极大值与极小值统称为极值，在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.
b.求函数极值的基本步骤：
（1）确定函数的定义域；
（2）求导数；
（3）求方程的根；
（4）检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f（x）在这个根处取得极大值；如果左正右负，则f（x）在这个根处取得极小值（最好通过列表法）.
2. 函数的最值
（1）函数的最小值与最大值定理
若函数y=f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上必有最大值和最小值；在开区间
（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值，如.
（2）通过导数求数最值的的基本步骤：
若函数y=f（x）在闭区间[a，b]有定义，在开区间（a，b）内有导数，则求函数y=f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求函数f（x）在（a，b）内的导数；
②求方程f（x）=0在（a，b）内的根；
③求在（a，b）内使f（x）=0的所有点的函数值和f（x）在闭区间端点处的函数值f（a），f（b）；
④比较上面所求的值，其中最大者为函数y=f（x）在闭区间[a，b]上的最大值，最小者为函数y=f（x）在闭区间[a，b]上的最小值.
[典型例题]
1. 已知函数,若在处取得极小值,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
[答案]：D
[解析] 因为，所以，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，满足题意；当且时，，所以在上单调递减，在上单调递增，满足题意；当时，在上单调递减，在上单调递增,满足题意；当时,在上单调递增，在上单调递减，不满足题意.故a的取值范围为，故选D.
2. 已知函数满足，则时，( )
A.有极小值但无极大值B.有极大值但无极小值
C.既有极大值又有极小值D.既无极小值也无极大值
[答案]：B
[解析] 由题意得，
令，则，
所以在上单调递减，又，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以有极大值但无极小值，故选B.
考点3：导数的综合应用
1.不等式恒成立（有解）问题的处理方法
（1）形如恒成立，主要方法如下：
法1：构造函数，使恒成立，即恒成立，求的最小值即可.
法2：参变量分离：或恒成立，即或，求的最大值或最小值即可.
（2）形如有解问题的求解方法：
法1：构造函数：，在时有解，即有解，即求的最大值即可.
法2：参变量分离：有解，即或，即求的最值问题.
2.证明形如的不等式恒成立的方法
法1：构造函数：，即恒成立，转化为求的最小值问题.
法2：若，则恒成立，证明的最小值大于或等于的最大值.
法3：中间变量法：且，则（为中间函数，且为一次函数较多）.
3.生活中的优化问题
（1）生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，导数在这一类问题中有着重要的作用，它是求函数最大（小）值的有力工具.
（2）解决优化问题的基本思路：
[典型例题]
1.李某要建一个面积为512平方米的矩形蔬菜场，一边利用原有的墙壁（墙壁足够长），其他三边要修建栅栏，当修建栅栏所用的材料最省时，矩形蔬菜场的两邻边长分别为( )
A.32米，16米B.30米，15米C.40米，20米D.36米，18米
[答案]：A
[解析] 设需建的矩形蔬菜场与原墙平行的一边边长为x米，与原墙相邻的两边边长均为y米，则，设所修建栅栏的长为l米，则，令，解得（舍去），当时，；当时，，所以当时，l取得极小值，也就是最小值，此时.
故选A.
2. 中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之。各以其广乘之，并，以高乘之，六而一。”其计算方法是:将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘;把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一.已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
[答案]：B
[解析] 设下底面的长为，则下底面的宽为.由题可知上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,所以其体积，故当时，体积取得最大值，最大值为，故选B.