高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册1.1 数列的概念巩固练习

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册1.1 数列的概念巩固练习，共10页。试卷主要包含了1　数列的概念，下列说法正确的是，写出下列各数列的一个通项公式等内容，欢迎下载使用。

1.1 数列的概念
1.2 数列的函数特性
基础过关练
题组一 对数列概念的理解
1.下列说法正确的是( )

A.数列1,3,5,7可以表示为{1,3,5,7}
B.数列-2,-1,0,1,2与数列2,1,0,-1,-2是相同的数列
C.数列若用图象表示,从图象看都是一群孤立的点
D.数列的项数一定是无限的
2.下列说法正确的是( 易错 )
A.数列1,2,3,4,…,n是无穷数列
B.数列1,2,3,4,5与数列1,2,3,4,5,…是同一个数列
C.同一个数在数列中不能重复出现
D.数列{2n+1}的第6项是13
题组二 数列的通项公式及其应用
3.已知数列{an}的通项公式为an=1+(−1)n+12,n∈N+,则该数列的前4项依次为( )
A.1,0,1,0B.0,1,0,1
C.12,0,12,0D.2,0,2,0
4.数列{an}的通项公式为an=3n+1,n为奇数,2n-2,n为偶数,则a2a3=( )
A.70B.28C.20D.8
5.(2021陕西汉中五校高二上月考)数列1,-4,9,-16,25,…的一个通项公式是(深度解析)
A.an=n2B.an=(-1)n·n2
C.an=(-1)n+1·n2D.an=(-1)n·(n+1)2
6.(2020山东菏泽高二上期中)已知数列1,3,5,7,…,2n-1,若35是这个数列的第n项,则n=(深度解析)
A.20B.21
C.22D.23
7.如图是关于星星的图案,每个图案中的星星数可构成一个数列,则该数列的一个通项公式是( )
A.an=n2-n+1B.an=n(n-1)2
C.an=n(n+1)2D.an=n(n+2)2
8.写出下列各数列的一个通项公式:
(1)4,6,8,10,…;
(2)12,34,78,1516,3132,…;
(3)-1,85,-157,249,…;
(4)5,55,555,5 555,….
题组三 数列的函数特性
9.已知an+1-an-3=0,n∈N+,则数列{an}是( )
A.递增数列B.递减数列
C.常数列D.不能确定
10.已知数列{an}满足a1>0,且an+1=nn+1an,则数列{an}的最大项是( )
A.a1B.a9
C.a10D.不存在
11.已知an=-2n2+9n+3,则数列{an}中的最大项为( )
A.10B.13
C.12D.14
12.已知数列{an}的通项公式为an=4n-102,则从第 项开始,数列中的项都大于零.
13.(2020湖北武汉外国语学校高一下期中)已知数列{n2+λn+λ}是递增数列,则实数λ的取值范围为 .
能力提升练
题组一 数列的通项公式及其应用
1.(2020天津静海一中高二上期中,)设an=1n+1+1n+2+1n+3+…+12n(n∈N+),那么an+1-an等于( )

A.12n+1B.12n+2
C.12n+1+12n+2D.12n+1-12n+2
2.(多选)(2021河南八市重点高中高二上联考,)已知数列{an}的前4项依次为2,0,2,0,则数列{an}的通项公式可以为( )
A.an=2,n为奇数0,n为偶数B.an=1+(-1)n+1
C.an=2sinnπ2D.an=21−(−1)n2
3.(多选)(2020山东临沭一中高二上开学考试,)如图是一系列有机物的结构图,图中的“小黑点”表示原子,两原子之间的“短线”表示化学键,则结构图中化学键的个数可能为( )
A.31B.32C.36D.37
4.(2021湖北高二上期末联考,)1766年,德国有一位名叫提丢斯的中学数学老师,把数列:0,3,6,12,24,48,96,…经过一定的规律变化,得到新数列:0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,…,科学家发现,新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳之间的平均距离,并据此发现了“天王星”“谷神星”等行星,这个新数列就是著名的“提丢斯-波得定则”.根据规律,新数列的第8项为( )
A.14.8B.19.2C.19.6D.20.4
5.()设数列{an}的通项公式为an=n+2n,要使它的前n项的乘积大于36,则n的最小值为( )
A.6B.7C.8D.9
6.()斐波那契数列(Fibnacci sequence),又称黄金分割数列,因数学家莱昂纳多·斐波那契(Lenard Fibnacci)以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,指的是这样一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,…,则该数列的第11项为 .
题组二 数列的函数特性
7.(2021北京密云高二上期末,)若数列{an}中,a1=1,a2=2,an+1=an-an-1(n≥2,n∈N+),则a2 019=( )
A.-2B.-1C.1D.2
8.(多选)(2021重庆巴蜀中学高三上月考,)若数列{an}满足an+1=2an,an≤12,2an-76,an>12,a1=23,则下列数是数列{an}中的项的为( )
A.19B.16C.13D.43
9.(2020辽宁沈阳东北育才学校高二上期中,)已知数列{an}的通项公式为an=nn2+130(n∈N+),且数列{an}从第n项起单调递减,则n的最小值为( )
A.11B.12C.13D.10
10.(2020山东滕州一中高二上阶段检测,)已知数列{an}的通项公式为an=2020−2n2021−2n,且存在正整数T,S,使得aT≤an≤aS对任意的n∈N+恒成立,则T+S=( )
A.15B.17C.19D.21
11.(多选)()若数列{an}满足对任意正整数n,{an+1-an}为递减数列,则称数列{an}为“差递减数列”.给出下列数列{an}(n∈N+),其中是“差递减数列”的有( )
A.an=3nB.an=n2+1
C.an=nD.an=lnnn+1
12.(2020浙南名校联盟高二上期中联考,)已知数列{an}对任意的n∈N+都有an+1A.数列{an+1-an}为递减数列,且a5>1
B.数列{an+1-an}为递增数列,且a5>1
C.数列{an+1-an}为递减数列,且a5<1
D.数列{an+1-an}为递增数列,且a5<1
13.(2021天津一中高二上期末,)已知数列{an}满足an=13-an+2,n>8,n∈N+,an-7,n≤8,n∈N+,若对任意n∈N+都有an>an+1,则实数a的取值范围是 .易错
14.()已知数列{an}的通项公式是an=(n+2)×78n (n∈N+),试问数列{an}是否有最大项?若有,求出最大项;若没有,说明理由.
答案全解全析
第一章 数列
§1 数列的概念及其函数特性
1.1 数列的概念
1.2 数列的函数特性
基础过关练
1.C A中,{1,3,5,7}表示集合,不是数列;B中,两个数列中包含的数虽然相同,但排列顺序不同,不是相同的数列;D中,数列的项数可以是有限的也可以是无限的.故选C.
2.D 数列1,2,3,4,…,n,共n项,是有穷数列,A错误;两数列项的个数不同,不是同一个数列,B错误;数列中的数可以重复出现,C错误;当n=6时,2×6+1=13,D正确.
易错警示
需特别注意的是,数列中的项具有三大特性:确定性,有序性(与各项的排列顺序有关),可重性(允许重复).
3.A 解法一:由an=1+(−1)n+12,n∈N+,可得a1=1,a2=0,a3=1,a4=0.故选A.
解法二:因为当n∈N+且n为奇数时,1+(-1)n+1=2,当n∈N+且n为偶数时,1+(-1)n+1=0,所以数列{an}的奇数项的值为1,偶数项的值为0,故该数列的前4项依次为1,0,1,0.
4.C 由通项公式得a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,所以a2a3=20.
5.C 观察题中数列知数列中每一项的绝对值是该项序号的平方,奇数项的符号为正,偶数项的符号为负,所以an=(-1)n+1·n2 .
故选C.
方法技巧
当一个数列中的项的符号“+”“-”相间时,应把符号分离出来,可用(-1)n或(-1)n+1表示.
6.D 由题意得2n-1=35,即2n-1=45,解得n=23,故选D.
方法技巧
要判断某一个数是不是数列中的项,其实质是看相应方程是否有正整数解.
7.C 从题图中可观察星星的构成规律,当n=1时,有1个;当n=2时,有3个;当n=3时,有6个;当n=4时,有10个;……,
∴an=n(n+1)2.故选C.
8.解析 (1)易知该数列由从4开始的偶数构成,所以该数列的一个通项公式为an=2n+2,n∈N+.
(2)易知该数列中每一项分子比分母少1,且分母可写成21,22,23,24,25,…,故所求数列的一个通项公式为an=2n-12n,n∈N+.
(3)通过观察可知,该数列中的奇数项为负,偶数项为正,故选择(-1)n.又第1项可改写成分数-33,所以每一项的分母依次为3,5,7,9,…,可写成2n+1的形式.分子为3=1×3,8=2×4,15=3×5,24=4×6,……,可写成n(n+2)的形式.所以该数列的一个通项公式为an=(-1)n·n(n+2)2n+1,n∈N+.
(4)这个数列的前4项可以变为59×9,59×99,59×999,59×9 999,
即59×(10-1),59×(100-1),59×(1 000-1),59×(10 000-1),
即59×(10-1),59×(102-1),59×(103-1),59×(104-1),
所以它的一个通项公式为an=59×(10n-1),n∈N+.
9.A ∵an+1-an-3=0,n∈N+,∴an+1-an=3>0,n∈N+,∴an+1>an,即该数列中的每一项均小于它的后一项,
∴数列{an}是递增数列,故选A.
10.A ∵a1>0且an+1=nn+1an,∴an>0,an+1an=nn+1<1,∴an+111.B an=-2n2+9n+3=-2n-942+1058,∵n∈N+,∴当n=2时,a2=13最大.故选B.
12.答案 26
解析 令4n-102>0,得n>2512,∴从第26项开始,数列中的项都大于零.
13.答案 (-3,+∞)
解析 因为数列{n2+λn+λ}是递增数列,所以n2+λn+λ<(n+1)2+λ(n+1)+λ对任意n∈N+都成立,整理得λ>-2n-1,因为当n=1时,-2n-1有最大值,且最大值为-3,所以λ>-3.
能力提升练
1.D ∵an=1n+1+1n+2+1n+3+…+12n,
∴an+1=1n+2+1n+3+…+12n+12n+1+12n+2,
∴an+1-an=12n+1+12n+2-1n+1=12n+1-12n+2.
2.ABC 对于A,∵an=2,n为奇数,0,n为偶数,∴a1=2,a2=0,a3=2,a4=0,故A正确;对于B,∵an=1+(-1)n+1,∴a1=1+(-1)2=2,a2=1+(-1)3=0,a3=1+(-1)4=2,a4=1+(-1)5=0,故B正确;对于C,∵an=2sinnπ2,∴a1=2sinπ2=2,a2=2sin2π2=0,a3=2sin3π2=2,a4=2sin4π2=0,故C正确;对于D,∵an=21−(−1)n2,∴a1=21−(−1)2=2,a2=21−(−1)22=1,a3=21−(−1)32=2,a4=21−(−1)42=1,故D错误.故选ABC.
3.AC 由题图知,图(1)中有6个化学键;图(2)中有11个化学键;图(3)中有16个化学键,观察可得,后一个图比前一个图多5个化学键,则图(n)中有6+5(n-1)=5n+1个化学键,当n=6时,5n+1=31,当n=7时,5n+1=36,故选AC.
4.C 观察得原数列:0,3,6,12,24,48,96,…从第3项起,每一项是前一项的2倍,故该数列的第8项为2×96=192,观察可得新数列是将原数列的每一项加4,再除以10,故新数列的第8项为(192+4)÷10=19.6,故选C.
5.C 记数列{an}的前n项的乘积为Dn,则Dn=a1×a2×…×an-1×an=3×42×53×…×n+1n-1×n+2n=(n+1)(n+2)2.依题意有(n+1)(n+2)2>36,整理得(n-7)(n+10)>0,解得n>7或n<-10,因为n∈N+,所以nmin=8,故选C.
6.答案 89
信息提取 ①该数列的前8项分别为1,1,2,3,5,8,13,21;②该数列从第3项起,每一项均等于前面两项之和;③求该数列的第11项.
数学建模 本题为一道涉及数学文化的情境题,从“兔子数列”的前几项入手,挖掘出其内在规律,求得其第11项.
解析 记“兔子数列”为{an},则a9=a7+a8=13+21=34,a10=a8+a9=21+34=55,
a11=a9+a10=34+55=89,即第11项为89.
7.C 数列{an}中,a1=1,a2=2,an+1=an-an-1,所以当n=2时,a3=a2-a1=1,
当n=3时,a4=a3-a2=-1,
当n=4时,a5=a4-a3=-1-1=-2,
当n=5时,a6=a5-a4=-2+1=-1,
当n=6时,a7=a6-a5=1,
当n=7时,a8=a7-a6=2,
……
所以数列{an}是以6为周期的周期数列,
又2 019=336×6+3,
所以a2 019=a3=1.故选C.
8.BC 数列{an}满足an+1=2an,an≤12,2an-76,an>12,a1=23,依次取n=1,2,3代入计算得,a2=2a1-76=16,a3=2a2=13,a4=2a3=23=a1,则数列{an}是周期为3的周期数列,所以an的所有可能取值为16,13,23,故选BC.
9.A ∵an=nn2+130,
∴an+1=n+1(n+1)2+130,
∴an+1-an=n+1n2+2n+131-nn2+130
=-n2-n+130(n2+2n+131)(n2+130).
由数列{an}从第n项起单调递减可得an+1-an<0,即-n2-n+130<0,
即n2+n-130>0,解得n<-1-5212或n>521-12,又n∈N+,∴n>521-12.
∵22<521<23,∴10.5<521-12<11,
∴n≥11,∴n的最小值为11,故选A.
10.D 依题意得an=2020−2n2021−2n=1-12021−2n=1+12n-2021,
当n≥11(n∈N+)时,2n≥211=2 048,数列{an}递减,且an>1,
∴(an)max=a11,
当n≤10(n∈N+)时,2n≤210=1 024,数列{an}递减,且an<1,
∴(an)min=a10,
∴a10≤an≤a11,∴T+S=21,故选D.
11.CD 选项A,由an=3n,得an+1-an=3,则{an+1-an}为常数列,不满足“差递减数列”的定义;
选项B,由an=n2+1,得an+1-an=(n+1)2+1-n2-1=2n+1,则{an+1-an}为递增数列,不满足“差递减数列”的定义;
选项C,由an=n,得an+1-an=n+1-n=1n+1+n,显然{an+1-an}为递减数列,满足“差递减数列”的定义;
选项D,由an=lnnn+1,得an+1-an=lnn+1n+2-lnnn+1=ln(n+1)2n(n+2)=ln1+1n(n+2),随着n的增大,此值变小,所以{an+1-an}为递减数列,满足“差递减数列”的定义.故选CD.
12.D ∵数列{an}对任意的n∈N+都有an+1an+1-an,
∴{an+1-an}为递增数列,
∴a6-a5>a5-a4,即a4+a6>2a5,
a7-a6>a4-a3,即a3+a7>a4+a6,
同理可得,2a5∴a1+a2+a3+…+a9=(a1+a9)+(a2+a8)+(a3+a7)+(a4+a6)+a5>9a5,即9a5<9,∴a5<1,故选D.
13.答案 12,1
解析 根据题意知数列{an}是递减数列,故0易错警示
分段形式的数列的增减性与相应分段函数的单调性有所不同,如本题中数列{an}递减需满足a98,ax-7,x≤8递减则需满足13-a×8+2≤a8-7,二者有较大的区别.
14.解析 解法一:an+1-an=(n+3)×78n+1-(n+2)×78n=78n×5−n8.
当n<5时,an+1-an>0,即an+1>an;
当n=5时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>5时,an+1-an<0,即an+1故a1a7>a8>…,
所以数列{an}有最大项,且最大项为a5或a6,且a5=a6=7685.
解法二:an+1an=(n+3)×78n+1(n+2)×78n=7(n+3)8(n+2).易知an>0.
令an+1an>1,解得n<5;令an+1an=1,解得n=5;令an+1an<1,解得n>5.
故a1a7>…,
所以数列{an}有最大项,且最大项为a5或a6,且a5=a6=7685.
解法三:因为an=(n+2)×78n,所以a1=218,a2=4916,又218<4916,所以a1不是数列{an}中的最大项.假设{an}中有最大项,且最大项为第n(n≥2)项,
则an≥an-1,an≥an+1,n≥2,
即(n+2)×78n≥(n+1)×78n-1,(n+2)×78n≥(n+3)×78n+1,n≥2,
解得5≤n≤6.
故数列{an}有最大项,且最大项为a5或a6,且a5=a6=7685.